Skillnad mellan versioner av "2.7 Numerisk derivering"

Versionen från 19 maj 2011 kl. 14.25

Varför numerisk derivering?

Numerisk derivering är en metod för approximativ (ungefärlig, nära men inte exakt) beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett nämevärde för derivatan. Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett nämevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de deriveringsregler som vi sammanställde i en tabell i förra avsnitt? Svaret är: Ibland eller t.o.m. ofta kan vi inte göra det, vilket blir klarare om vi tittar på den numeriska deriveringens användningsområden.

Numerisk derivering används i följande situationer:

• När vi ska derivera en funktion som inte matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. Ett exempel är:

\[ f(x) = {2 \over e\,^x + 1} \]

Denna funktion kan inte deriveras med någon av de deriveringsregler vi känner till hittills. Senare i Matte D kommer vi att lära oss den s.k. kvotregeln med vars hjälp funktionen ovan kan deriveras. Ett annat exempel är \( f(x) = \ln x\, \) vars numerisk derivering visas i Exempel 2 längre fram.

• När vi har en funktion vars derivata blir så komlicerad att det tar mer tid att ställa upp den än att genomföra numerisk derivering. Exempel:

\[ f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} \]

\[ f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} \]

För det första är det inte enkelt att ställa upp \( f\,'(x) \). Även detta görs med kvotregeln som vi inte känner till än.

För det andra visar exemplet att det är väsentligt enklare att beräkna funktionsvärden av typ \( f(2)\, \) än t.ex. \( f\,'(2) \). I de numeriska deriveringsformlerna ingår endast beräkningar av funktionsvärden för \( f(x)\, \), inte för \( f\,'(x) \).

• När vi ska derivera en funktion som är given endast i tabellform, dvs numeriskt, t.ex.:

Sådana funktioner förekommer ofta som resultat av mätdata. De saknar algebraisk formel. Ändå uppfyller de definitionen på en funktion, nämligen att vara en

"Regel som tilldelar varje \( x\, \)-värde endast ett \( y\, \)-värde."

Pga avsaknaden av en formel finns det ingen annan möjlighet att derivera en sådan funktion än numerisk derivering.

Det finns en uppsjö av numeriska deriveringsformler. Vi behandlar i detta avsnitt de tre enklaste:

• Framåtdifferenskvoten

• Bakåtdifferenskvoten

• Centrala differenskvoten

Framåtdifferenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Framåtdifferenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a + h) \, - \, f(a) \over h} \; = \; \) Sekanten F:s lutning

\( h\, \) kallas steglängden. Approximationen är desto bättre ju mindre steglängden är.

Exempel 1

Givet:

Följande funktion \( f(x)\, \) i tabellform:

\( x\, \)	\( f(x)\, \)
\( 0,5\, \)	\( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \)	\( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \)	\( 2,32751\, \)

Sökt:

Funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) dvs \( f\,'(0,6) \) med framåtdifferenskvoten .

Lösning:

\[ f\,'(0,6) \approx {f(0,6 + 0,1) - f(0,6) \over 0,1} = {f(0,7) - f(0,6) \over 0,1} = {2,32751 - 2,04424 \over 0,1} = {0,28327 \over 0,1} = 2,8327 \]

Bakåtdifferenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Bakåtdifferenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a) \, - \, f(a-h) \over h} \; = \; \) Sekanten B:s lutning

Även här gäller att approximationen är desto bättre ju mindre steglängden \( h\, \) är.

Exempel 2

Givet:

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \)

Steglängden \( h = 0,01\, \)

Sökt:

Funktionens derivata i \( x = 1,8\, \) dvs \( f\,'(1,8) \) med bakåtdifferenskvoten .

Lösning:

\[ f\,'(1,8) \approx {f(1,8) - f(1,8 - 0,01) \over 0,01} = {f(1,8) - f(1,79) \over 0,01} = {\ln(1,8) - \ln(1,79) \over 0,01} = 0,5571 \]

Det exakta värdet avrundat till 4 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,5556\, \).

Centrala differenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Centrala differenskvoten:

Tangentens lutning \( \; = \; f\,'(a) \quad \approx \quad {f(a + h) \, - \, f(a-h) \over 2\,h} \; = \; \) Sekanten C:s lutning

Approximationen är desto bättre ju mindre \( h\, \) är.

Exempel 3

Givet:

Funktionen \( f(x) = x\,^2 \)

Steglängden \( h = 0,5\, \)

Sökt:

Funktionens derivata i \( x = 1\, \) dvs \( f\,'(1) \) med centrala differenskvoten .

Lösning:

\[ f\,'(1) \approx {f(1 + 0,5) - f(1 - 0,5) \over 2\cdot 0,5} = {f(1,5) - f(0,5) \over 2\cdot 0,5} = {1,5^2 - 0,5^2 \over 1} = 2 \]

Funktionens derivata är \( f\,'(x) = 2\,x \) och därmed det exakta värdet \( f\,'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \).

Är det en slump att den numeriska deriveringen ger exakt värde, fast steglängden är relativt stor?

Svar: Nej, den centrala differenskvoten deriverar alla 2:a gradsfunktioner (och även 1:a gradsfunktioner) exakt oberoende av steglängden. Här följer beviset:

Sats:

Bevis\[ {f(x + h) - f(x-h) \over 2\,h} = {(x+h)^2 - (x-h)^2 \over 2\,h} = {(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - (x^2 - 2\,x\,h + h^2) \over 2\,h} = \]

\( = {(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - (x^2 - 2\,x\,h + h^2) \over 2\,h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x \)

Att \( f(x+h) = (x+h)^2\, \) inser man när man i funktionen \( f(x)= x^2\, \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=OyKmc2bPWe0

http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk

http://www.youtube.com/watch?v=OY8CeLUxE64&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=2wH-g60EJ18&feature=related

http://www.larcentrum.org/Safir/MA1203W/htm/m03_deriv1/m03_deriv_definition.htm

http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=129&Itemid=132

Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.