Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:

\( x\, \)	\( f(x)\, \)
\( 0,5\, \)	\( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \)	\( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \)	\( 2,32751\, \)

Beräkna med 4 decimalers noggrannhet \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:

a) framåtdifferenskvoten

b) bakåtdifferenskvoten

c) centrala differenskvoten

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.

Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) dvs funktionens derivata i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten och steglängden

a) \( h = 0,1\, \)

b) \( h = 0,01\, \)

c) \( h = 0,001\, \)

I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.

Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).

Ett närmevärdes fel definieras som:

Felet \( \, = \, \) exakta värdet \( \, - \, \) närmevärdet

a) Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).

Approximera \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och

b) bakåtdifferenskvoten. Ange felet.

c) centrala differenskvoten. Ange felet.

d) Vilken differenskvot approximerar funktionens derivata \( f\,'(1,8) \) bäst?

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 enligt följande tabell:

År	Folkmängd i tusental
\( 1900\, \)	\( 5\,130 \)
\( 1910\, \)	\( 5\,406 \)
\( 1920\, \)	\( 5\,832 \)
\( 1930\, \)	\( 6\,298 \)
\( 1940\, \)	\( 6\,645 \)
\( 1950\, \)	\( 7\,016 \)
\( 1960\, \)	\( 7\,495 \)
\( 1970\, \)	\( 8\,126 \)
\( 1980\, \)	\( 8\,217 \)
\( 1990\, \)	\( 8\,654 \)
\( 2000\, \)	\( 8\,983 \)

Tabellen ovan definierar en funktion

\[ y \, = \, f(x) \]

där

\[ x =\, \] Tiden i antal år efter 1900

\[ y =\, \] Sveriges befolkning i tusental

Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år

a) \( 1900\, \)

b) \( 1950\, \)

c) \( 2000\, \)

Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot och steglängd.

d) Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-c) om funktionen \( f(x)\, \)?

Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen

\[ y \, = \, f(x) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-x}} \]

där

\[ x \, = \, \] Tiden i minuter

\[ y \, = \, \] Antalet bakterier

a) Kan \( f(x)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?

b) Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.

Följande utdrag ur Skatteverkets skattetabell för 2011 (Kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:

\( x\, \)	\( y\, \)
\( 22\,801-23\,000 \)	\( 5\,510 \)
\( 23\,001-23\,200 \)	\( 5\,572 \)
\( 23\,201-23\,400 \)	\( 5\,638 \)
\( 23\,401-23\,600 \)	\( 5\,700 \)
\( 23\,601-23\,800 \)	\( 5\,763 \)
\( 23\,801-24\,000 \)	\( 5\,826 \)
\( 24\,001-24\,200 \)	\( 5\,889 \)
\( 24\,201-24\,400 \)	\( 5\,952 \)
\( 24\,401-24\,600 \)	\( 6\,017 \)
\( 24\,601-24\,800 \)	\( 6\,080 \)

där

\[ x \, = \, \] Månadslönen i kr

\[ y \, = \, \] Skatten i kr

Åsas får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från \( 23\,150 \) kr till \( 24\,700 \).

a) Bestäm \( \Delta x\, \) för Åsa.

b) Bestäm \( \Delta y\, \) för Åsa.

c) Beräkna \( \Delta y \over \Delta x \) för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön.

Detta belopp kallas marginalskatt. Ange Åsas marginalskatt i procent. Avrunda till heltal.

Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen

\[ y \, = \, x^2 \]

i intervallet

\[ a \,\leq\, x \,\leq\, a+h \]

Förenkla uttrycket i \( a\, \) och \( h\, \) så långt som möjligt.

Följande polynomfunktion är given:

\[ y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 \]

a) Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan \( x\, \) och \( x + h\, \). Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

b) Låt i uttrycket från a) gå \( h\, \) mot 0 så att du får ett uttryck endast i \( x\, \).

c) Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för \( x = 2\, \). Tolka ditt resultat.

d) Ställ upp ekvationen till tangenten till kurvan \( y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 \) i punkten \( x = 2\, \).