Skillnad mellan versioner av "1.5 Potenslagarna"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Potenslagarna)
m (→‎Internetlänkar)
 
(82 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
{{Selected tab|[[1.5 Potenslagarna|Teori]]}}
 
{{Selected tab|[[1.5 Potenslagarna|Teori]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till 1.5 Potenslagarna|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Potenslagarna|Övningar]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
 +
 +
[[Media: Lektion 9 Potenslagarna.pdf|Lektion 9 Potenslagarna]]
  
 
== Några begrepp ==
 
== Några begrepp ==
Rad 11: Rad 13:
 
Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>.
 
Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>.
  
−
Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av <math> a\, </math> med sig själv:
+
Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 \cdot</math> <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
−
 
+
::::<math> a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
−
::::<math> a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} </math>
+
För negativa heltalexponenter kan potensen <math> a^{-x}\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 /\,</math> <span style="color:red">upprepad division</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
−
T.ex.:  
+
::::<math> a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
 +
Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 dvs <math> {a \over 1} </math> och ersätter i uttrycket ovan divisionerna med a med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket <math> {1 \over a} </math>, kan man skriva om uttrycket ovan så här:
 +
::::<math> a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} </math>
 +
Vi får följande formel för potenser med negativa heltalexponenter:
 +
::::<math> a^{-x} = {1 \over a^x} </math>
 +
Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:
 
::::<math> a^2 = a \cdot a </math>
 
::::<math> a^2 = a \cdot a </math>
  
 
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math>
 
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math>
  
−
Att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> är en räkneoperation som kallas <span style="color:red">exponentiering</span>. När <math> x=2\, </math> pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
+
::::<math> a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math>
  
−
Anta att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
+
::::<math> a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math>
  
−
:::::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
+
----
 +
 
 +
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
 +
 
 +
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
 +
 
 +
:::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
  
−
:::::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
+
:::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
  
−
:::::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = x^b\, </math>.
+
:::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>.
  
−
:::::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
+
:::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
  
−
Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.7 Logaritmer|1.7 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>, t.ex:
+
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
  
 
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
−
                       \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                     \\
+
                       \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                     \\
−
                                   x  & = 2                               \\
+
                                   x  & = 2                               \\
 
                   \end{align}</math>
 
                   \end{align}</math>
−
Alternativt (med bråk som exponent):
+
Alternativt (med bråktal som exponent):
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \\
+
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
                   (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
                   (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
               x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
               x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
Rad 44: Rad 57:
 
                   \end{align}</math>
 
                   \end{align}</math>
  
−
Den alternativa lösningsmetoden använder sig av potenslagar som behandlas nedan. De gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
+
Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
  
 
== Potenslagarna ==
 
== Potenslagarna ==
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math> och exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst.
+
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
  
 
[[Image: Potenslagarna_70a.jpg]] [[Image: Potens_Ex_60.jpg]]
 
[[Image: Potenslagarna_70a.jpg]] [[Image: Potens_Ex_60.jpg]]
Rad 63: Rad 76:
  
 
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
 
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
 +
 +
----
  
 
'''Påstående (Nollte potens)''':
 
'''Påstående (Nollte potens)''':
Rad 74: Rad 89:
 
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
 
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
  
−
'''Påstående (Negativ exponent)''':
+
----
  
−
:::::<math> a^{-x} \; = \; {1 \over a^x} </math>
+
'''Påstående (Rationell exponent)''':
  
−
'''Bevis''':
+
:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
 +
 
 +
'''Bevisidé''':
 +
 
 +
Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
 +
 
 +
:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas samt lagen om nollte potensen:
+
Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
  
−
:::::<math> a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} </math>
+
:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
  
−
== Exempel på potenslagars användning ==
+
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
  
 +
== Blandade exempel ==
 
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]
 
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]
  
Rad 95: Rad 117:
  
 
[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]
 
[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]
 +
 +
== Internetlänkar ==
 +
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
 +
 +
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
 +
 +
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
 +
 +
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
 +
 +
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 8 januari 2012 kl. 18.06

       Teori          Övningar      


Lektion 9 Potenslagarna

Några begrepp

Ett uttryck av formen \( a^x\, \) läses "a upphöjt till x" och kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.

Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a\, \) ett tal \( \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för \(1 \cdot\) upprepad multiplikation av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:

\[ a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} \]

För negativa heltalexponenter kan potensen \( a^{-x}\, \) definieras som en förkortning för \(1 /\,\) upprepad division av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:

\[ a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} \]

Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 dvs \( {a \over 1} \) och ersätter i uttrycket ovan divisionerna med a med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket \( {1 \over a} \), kan man skriva om uttrycket ovan så här:

\[ a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} \]

Vi får följande formel för potenser med negativa heltalexponenter:

\[ a^{-x} = {1 \over a^x} \]

Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:

\[ a^2 = a \cdot a \]
\[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
\[ a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} \]
\[ a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} \]

Själva aktionen \( a^x\, \) dvs att ta \( a\, \) upphöjt till \( x\, \) kallas exponentiering och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om kvadrering.

Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) . Då kallas

funktioner av typ \( y = 10^x\, \) exponentialfunktioner, generellt\[ y = c \cdot a^x\, \].
ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) exponentialekvationer, generellt\[ a^x\, = b \].
funktioner av typ \( y = x^3\, \) potensfunktioner, generellt\[ y = c \cdot x^b\, \].
ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) potensekvationer, generellt\[ x^b\, = c \].

I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom logaritmering (se avsnitt 1.6 Logaritmer), löses potensekvationer genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt (med bråktal som exponent):

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Det alternativa sättet att lösa ekvationen \( x^3 = 8\, \) visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som exponentiering med bråktalsexponenter. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.

Potenslagarna

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:

Potenslagarna 70a.jpg Potens Ex 60.jpg

Bevis av några potenslagar

Påstående (Produkt av potenser med samma bas):

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]

Påstående (Nollte potens):

\[ a^0 \; = \; 1 \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:

\[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]

Påstående (Rationell exponent):

\[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]

Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:

\[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).

Blandade exempel

Potens Ex 1.jpg

Potens Ex 2.jpg

Potens Ex 3.jpg

Internetlänkar

http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar


Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.5_Potenslagarna&oldid=5985"