Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Exempel 1 Marginalskatt)
m
 
(534 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 +
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion24_Genomsnittlig_förändringshastighet.pdf|Lektion 24: Genomsnittlig förändringshastighet]]
+
<!-- [[Media: Lektion_13_Genomsnittlig_forandringshastigheta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 13: Genomsnittlig förändringshastighet</span></b>]] -->
 +
<big>
 +
=== <b><span style="color:#931136">Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet</span></b> ===
 +
<div class="ovnE">
 +
<small>
 +
<div class="exempel">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ====
 +
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.
  
−
__TOC__
+
I [https://www.skatteverket.se/download/18.3152d9ac158968eb8fd2129/manadslon_tabell35.pdf <b><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></b>] för 2017 hittar vi <math> \, 5\;579 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;955 \, </math> kr skatt för den nya lönen.
  
 +
Beräkna <b><span style="color:#931136">marginalskatten</span></b> som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.
  
−
== Exempel 1 Marginalskatt ==
+
'''Lösning:''' <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Skatten <math> \, y \, </math> som en [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">diskret funktion</span></b>]] av lönen <math> \, x \, </math>:
−
 
+
<table>
−
Martins månadslön höjs från 23 000 kr till 24 200 kr. I [http://www.skatteverket.se/download/18.6fdde64a12cc4eee230800031/skatt_30_29.pdf Skatteverkets skattetabell] för 2011 (sida 2, kolumn 2) hittar vi 5 510 kr skatt för den gamla och 5 889 kr skatt för den nya lönen.
+
<tr>
−
 
+
  <td>
−
Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas <big> <span style="color:red">marginalskatt</span></big>.
+
−
 
+
−
'''Lösning:'''
+
−
 
+
−
Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Detta innebär att skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:
+
−
 
+
−
:::<math> x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
+
−
 
+
−
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
+
−
 
+
−
Då blir <math> y\, </math> är en funktion av <math> x\, </math> som i det här fallet inte är definierad med en formel utan i tabellform:  
+
 
::{| class="wikitable"
 
::{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
 
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>  
 
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,510 </math>  
+
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,579</math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,889 </math>
+
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,955 </math>
 
|}
 
|}
  
−
Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:
 
  
−
<math> {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {{\rm Funktionen } y\, {\rm:s\;ändring} \over x\,{\rm-intervallets\;längd}} = {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {5\,889 - 5\,510 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; 0,316 </math>
+
<math> \quad\;\; x \, = \, </math> Månadslönen i kr.
  
−
Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionens genomsnittliga förändringshastighet: <big> Funktionen <math> y\,</math>:s ändring <math> \big / \,x</math>-intervallets längd</big>.
+
<math> \quad\;\; y \, = \,  </math> Skatten i kr.
 +
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td>[[Image: Diskret loneSkattfkt_235.png]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
Marginalskatten är därmed <math>31,6 %\,</math>.
+
Skattefunktionens <b><span style="color:red">lutning</span></b>, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b>:
  
−
En marginalskatt på <math>31,6 %\,</math> innebär i praktiken att Martin måste betala <math>31,6\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313}  \; = \; 31,3 \, \%</math>
  
−
== Genomsnittlig förändringshastighet - allmän definition ==
+
I intervallet <math> \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, </math> har funktionen <math> \, y \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \; \color{Red} {0,313} </math>.
  
−
'''Givet''':
+
Dvs <math> \, y \, </math> växer i detta intervall med <math> \color{Red} {0,313} \; y</math>-enheter per <math> x</math>-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.
  
−
:::<big>Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
+
'''Matematisk tolkning''': Marginalskatt är <div class="smallBox">Skattens <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b></div> när skatten anses som en <b><span style="color:red">funktion</span></b> av lönen.
  
−
:::Något intervall på <math> x\, </math>-axeln med givna gränser <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> dvs: <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> </big>
+
'''Ekonomisk tolkning''':&nbsp; En marginalskatt på <math> \, 31,3 \, \% </math> innebär att Martin måste betala <math> \, 31,3\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
 +
</div> <!-- exempel1 -->
  
−
'''Sökt''':
 
  
−
:::<big>Funktionens genomsnittliga förändrings<span style="color:red">hastighet</span> i detta intervall. </big>
+
Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:
  
−
'''Lösning''':
+
<div class="exempel">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 </math>
  
−
<big>Funktionens ändring <math> \big / </math> Intervallets längd, dvs: </big>
+
:::Intervallet <math> \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 </math>  
  
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;">
+
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.
−
:<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \, {\color{White} x} </math>
+
−
</div>
+
  
−
En annan form på den genomsnittliga förändringshastigheten får man om man inför den nya beteckningen <math> h\, </math> för intervallets längd:
+
'''Lösning'''<span style="color:black">:</span>
 +
::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 </math>
  
−
:::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
+
I intervallet <math> \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, </math> har funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \, \color{Red} 2 </math>.
−
                  x_1 + h & = x_2                                \\
+
−
          \end{align}</math>
+
  
−
Då kan funktionen <math> y = f\,(x) </math>:s <big> <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> i intervallet <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math> </big> definieras som:
+
Dvs funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> \, \color{Red} 2 \; y</math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet.
  
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;">
+
</td>
−
:<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \, {\color{White} x} </math>
+
  <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1a.jpg]]</td>
−
</div>
+
</tr>
 +
</table>
  
−
Vilket av de två identiska uttrycken ovan man använder beror på sammanhanget. I rent beräkningssammanhang föredras ofta den första formen, medan man i teoretiska resonemang, speciellt när man definierar derivatan exakt eller bevisar deriveringsregler, snarare använder sig av den andra formen.  
+
'''Geometrisk tolkning''': &nbsp;&nbsp; Om kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 \, </math> ersätts av en <b><span style="color:red">rät linje</span></b>, kallad <b><span style="color:red">sekant</span></b>, har denna linje lutningen <math> \, \color{Red} 2 </math>.
  
−
Kärt barn har många namn: De två uttrycken ovan har ett antal namn som allihopa kan anses vara synonymer:
+
:::::::Sekantens <b><span style="color:red">lutning</span></b> är kurvans <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.
 +
</div> <!-- exempel2 -->
 +
</small>
  
−
:::<big>Genomsnittlig förändringshastighet</big>
 
  
−
:::<big>Förändringskvot</big>
+
</div> <!-- "ovnE" -->
  
−
:::<big>Ändringskvot</big>
+
Generellt gäller:
  
−
:::<big>Differenskvot</big>
+
<div class="border-divblue">
 +
En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den <b><span style="color:red">räta linjen (sekanten)</span></b> som ersätter funktionen i intervallet.
 +
</div>  
  
−
Om vi kommer ihåg hur begreppet <big><span style="color:red">lutning</span></big> till en rät linje var definierat i Matte B-kursen, kan vi säga att uttrycket ovan (ta den första formen) är inget annat än lutningen till den räta linje som ersätter kurvan <math> y = f\,(x) </math> i det betraktade intervallet. Dvs om man bortser från kurvans verkliga (kanske krokiga) förlopp och antar istället att det går en rät linje i det betraktade intervallet kan denna räta linjes lutning beräknas med uttrycket ovan. Den räta linjens lutning kallas då kurvans genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade intervallet.
 
  
 +
<div class="ovnC">
  
−
== Exempel 2 Kvadratisk funktion ==
 
  
−
'''Givet''':
+
<small>
−
::::<big> Funktionen <math> y \, = \, f(x) \, = \, x^2 </math> </big>
+
<div class="exempel">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Oljetank</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
  
−
::::<big> Intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 </math> </big>  
+
Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym<span style="color:black">:</span>
  
−
'''Sökt''':
+
:::<math> y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
−
::::<big> Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall. </big>
+
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
  
−
'''Lösning''':
+
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
  
−
::::<big> Funktionens ändring <math> \big / </math> Intervallets längd, dvs: </big>
+
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
  
 +
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans <b><span style="color:red">genomsnittliga utströmningshastighet</span></b>
  
−
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; 2 </math>
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2a.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math>.
  
 +
'''Lösning:'''
  
−
::::[[Image: Ex1_70.jpg]]
+
'''a)'''&nbsp;&nbsp;Se grafen ovan.
  
−
Funktionen <math> y = x^2 \, </math> växer i hela intervallet <math> 0 \leq x \leq 2 </math> (dvs i genomsnitt) med 2 y-enheter per x-enhet. Detta är innebörden av att funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 0 \leq x \leq 2 </math> är <math>2\,</math>.
+
'''b)'''&nbsp;&nbsp;Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. <math> \, 45 \, </math> minuter.
  
−
Ersätter man i detta intervall kurvan med en rät linje, är det i själva verket linjens lutning som är <math>2\,</math>. Denna lutning är identisk med kurvans genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade intervallet.
+
:Den exakta tiden får man genom att sätta volymen <math> \, y \, </math> till <math> \, 0 \, </math> dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>
  
 +
::::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
  
−
== Exempel 3 Oljetank ==
+
:[[Grafritning och ekvationslösning med räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<b><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></b>]] visar att <math> \, x = 45\, </math> är även den exakta lösningen.
  
−
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
+
:Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} </math>
  
−
:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
+
:I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet<span style="color:black">:</span>
  
−
där
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} </math>
  
−
:::<math> x \, = \, </math> Tiden i minuter
+
:Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 200 \, </math> liter per minut.
  
−
:::<math> y \, = \, </math> Oljans volym i liter
 
  
−
'''a)''' Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
+
'''c)'''&nbsp;&nbsp;Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
'''b)''' Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.
+
:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
  
−
'''c)''' Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>.
+
:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
  
−
'''d)''' När är oljans (genomsnittliga) utströmningshastighet störst? Ange den så noggrant som möjligt.
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} </math>
  
−
'''Lösning''':
+
:Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 180 \, </math> liter per minut.
 +
</div> <!-- exempel3 -->
 +
</small>
  
−
'''a)'''
 
−
::[[Image: Ex2_70.jpg]]
 
  
 +
</div> <!-- "ovnC" -->
  
−
'''b)''' Grafen tyder pår att tanken är tom efter ca. 45 minuter. Den exakta tiden får man genom att lösa 2:a gradsekvationen:
 
  
−
::::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
+
=== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ===
 +
'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
  
−
Räknarens ekvationslösare visar att <math> x = 45\, </math> är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom <math> 0 \leq x \leq 45 </math>. I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
+
:::Något intervall på <math> \, x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> och <math> \, x_1 \neq x_2 </math>.
  
−
<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 </math>
+
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
  
−
I hela tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 45 </math> sjunker oljans volym med 200 liter per minut.
+
'''Lösning''': &nbsp; &nbsp; <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad </math> Detta uttryck har använts i exemplen ovan.
  
 +
'''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>''':
  
−
'''c)''' I tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math> är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
+
Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.
  
−
:<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
+
Denna variant som används vid [[2.4 Derivatans definition|<b><span style="color:blue">derivatans definition</span></b>]] får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning <math> \, h\, </math> för <math> \, x</math>-intervallets längd:
  
−
:<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
+
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
 +
                  x_1 + h & = x_2                                \\
 +
          \end{align}</math>
  
−
:<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 </math>
+
Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>, får vi den allmänna definitionen:
  
−
I tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math> sjunker oljans volym med 180 liter per minut.
+
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Funktionen <math> \, y = f\,(x)\,</math>:s &nbsp; <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> &nbsp; i ett intervall av längden <math> \, h \neq 0 \, </math> är:</span></b>
  
 +
::::<small><math> \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>
  
−
'''d)''' Grafen i '''a)''' visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden <math> x = 0\, </math> när oljan har mest volym, nämligen 9 000 liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller <big><span style="color:red">momentan</span></big>.
+
Andra beteckningar som allihopa är synonymer<span style="color:black">:</span></small> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Förändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Ändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Differenskvot</span></b>
 +
</div>
  
−
För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> måste man bestämma funktionen <math> y\, </math>:s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.  
+
Uttrycket ovan användes redan i [[2.1_Introduktion_till_derivata|<b><span style="color:blue">Aktiviteten</span></b>]] och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.
  
−
För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med <math> x = 0\, </math> som undre intervallgräns.
 
  
−
Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math>:
+
=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===
 +
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM
 +
 
 +
http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf
 +
 
 +
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
 +
</big>
 +
 
  
−
:<math> f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 </math>
 
  
−
:<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 </math>
 
  
−
I tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math> sjunker oljans volym med <math> 379,6\, </math> liter per minut.
 
  
−
Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math>, för det exakta värdet är <math> -380\, </math>. I nästa avsnitt kommer vi att lära oss hur man får reda på det.
 
  
  
−
== Internetlänkar ==
 
−
http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf
 
  
−
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
 
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 31 december 2024 kl. 23.13

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2017 hittar vi \( \, 5\;579 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;955 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Beräkna marginalskatten som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.

Lösning: \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Skatten \( \, y \, \) som en diskret funktion av lönen \( \, x \, \):

\( x\, \) \( y\, \)
\( 23\,000 \) \( 5\,579\)
\( 24\,200 \) \( 5\,955 \)


\( \quad\;\; x \, = \, \) Månadslönen i kr.

\( \quad\;\; y \, = \, \) Skatten i kr.

\( \quad \) Diskret loneSkattfkt 235.png

Skattefunktionens lutning, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens genomsnittliga förändringshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313} \; = \; 31,3 \, \%\]

I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; \color{Red} {0,313} \).

Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( \color{Red} {0,313} \; y\)-enheter per \( x\)-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.

Matematisk tolkning: Marginalskatt är
Skattens genomsnittliga förändringshastighet
när skatten anses som en funktion av lönen.

Ekonomisk tolkning:  En marginalskatt på \( \, 31,3 \, \% \) innebär att Martin måste betala \( \, 31,3\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.


Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:

Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet:        Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 \]

I intervallet \( \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \color{Red} 2 \).

Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, \color{Red} 2 \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet.

    Ex1a.jpg

Geometrisk tolkning:    Om kurvan \( \, y = x^2 \, \) i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) ersätts av en rät linje, kallad sekant, har denna linje lutningen \( \, \color{Red} 2 \).

Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).


Generellt gäller:

En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den räta linjen (sekanten) som ersätter funktionen i intervallet.



Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.

Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym:

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet

        i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.

    Ex2a.jpg

c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \).

Lösning:

a)  Se grafen ovan.

b)  Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.

Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:
\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]
Ekvationslösning med miniräknare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.
Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \)
I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} \]
Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.


c)  Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} \]
Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.



Allmän definition

Givet:        Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( \, x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) och \( \, x_1 \neq x_2 \).

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Lösning:     \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad \) Detta uttryck har använts i exemplen ovan.

Övergång till notation med intervallängden \( \, h \, \):

Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.

Denna variant som används vid derivatans definition får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning \( \, h\, \) för \( \, x\)-intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \), får vi den allmänna definitionen:

Funktionen \( \, y = f\,(x)\,\):s   genomsnittliga förändringshastighet   i ett intervall av längden \( \, h \neq 0 \, \) är:

\( \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)

Andra beteckningar som allihopa är synonymer: \( \quad \) Förändringskvot \( \quad \) Ändringskvot \( \quad \) Differenskvot

Uttrycket ovan användes redan i Aktiviteten och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf






Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet&oldid=36936"