Skillnad mellan versioner av "1.6 Absolutbelopp"

Nuvarande version från 11 februari 2025 kl. 13.48

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Några exempel på absolutbelopp

Exempel 1 Åldersskillnad

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara \( \, < \, 6 \, \) år.

I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger

efter att några kunder skickat in sina uppgifter:

\( \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, \)

\( \qquad\qquad \)

\( 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 \)

\( 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 \)

\( 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} \)

\( \quad \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} \)

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger fel resultat: Åldersskillnaden är \( \, > \, 6 \, \) år.

Felet beror på att negativ åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara positiv.

Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:

\( { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} \)

\( \qquad\quad \)

\( { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 \)

\( { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 \)

\( { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} \)

\( \quad \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \)

\( {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} \)

Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) i formeln, vilket korrigerade den sista utskriften:

\[ { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 \]

\( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) tar bort minustecknet från \( -7\, \) och ger \( 7\, \). Därför: \( { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 \).

De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.

Kortare: Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde, t.ex.:

\[ | \, - 7 \, | \, = \, 7 \]

\[ | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 \]

\[ \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} \]

\( \qquad\quad \)

\[ | \; 23 \; | \, = \, 23 \]

\[ | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 \]

\[ \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 \]

\( \qquad\quad \)

\[ \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } \]

\[ \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } \]

\[ \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} \]

\( \qquad\quad \)

\[ | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \] (se Exempel 2)

\[ | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \] (se Exempel 3)

Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är positiva som t.ex. åldersskillnad.

Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, \( \, \ldots \; \).

Vi tittar närmare på avstånd:

Exempel 2 Avstånd mellan två tal

Vad är avståndet mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \)? Svar: \( \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \)

Vad är då avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \)? Gör man samma sak blir svaret: \( \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \)

Men vi vet att avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \) är \( 3 \, \) och inte \( -3 \, \). Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.

Korrekt svar:

\[ {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

\[ { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Generellt gäller:

Absolutbeloppet \( \; | \, a - b \, | \; \) är avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \).

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: \( \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | \)

Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är \( \, 0 \, \):

Exempel 3 Avstånd från \( \, 0 \, \)

Om vi i den nya definitionen för avstånd \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \) för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:

\[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 \]

Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:

\[ | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 \]

\( 5 \, \) är alltså talet \( \, -5\):s avstånd från \( 0 \, \).

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet \( | \, i \, | = 1 \) ovan och motivera!):

Absolutbeloppet \( \; | \, a \, | \; \) är talet \( a\):s avstånd från 0.

Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.

Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:

Allmän definition, funktion och graf

Absolutbeloppet \( \; | \, x \, | \; \) av ett tal \( x\, \) definieras genom:

\[ | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\ -x & \mbox{om } x < 0 \\ \end{cases} \]

Grafen till funktionen \( \; y = | \, x \, | \; \) ser ut så här:

\( \qquad \)

Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla \( x \, \).

OBS! I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.

Exempel 1:

Vad är \( | \, 7 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 7 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 7 \, | = 7\, \).

Svar: \( \; | \, 7 \, | = 7 \).

Exempel 2:

Vad är \( | \, - 5 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = -5 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 \).

Svar: \( \; | \, - 5 \, | = 5 \).

Exempel 3:

Vad är \( | \, 0 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 0 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 0 \, | = 0\, \).

Svar: \( \; | \, 0 \, | = 0 \).

Exempel 4:

Vad är \( | \, a + 2 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom vi inte känner till \( \, a\):s värde och därför inte vet om \( \, a + 2 \) blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

Fall 1 \( \quad a + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a \geq -2 \)

Eftersom \( x = a + 2 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | = a + 2\, \).

Fall 2 \( \quad a + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a < -2 \)

Eftersom \( \; x = a + 2 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, \).

Svar: \( \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\ -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\ \end{cases} \)

Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.

Ekvationer med absolutbelopp

Lös ekvationen \( \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \)

Eftersom vi inte känner till \( \, x \, \) måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:

Fall 1 \( \quad x + 1 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( x + 1\, \).

Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:

\[\begin{align} x + 1 & = 3 \\ x & = 3 - 1 \\ x_1 & = 2 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( \, x \geq -1 \).

Men faktiskt är \( 2 \geq -1 \). Därmed kan vi godta denna lösning.

Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se Falska rötter.

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller kring falska rötter obligatoriska.

Fall 2 \( \quad x + 1 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( -(x + 1) = -x - 1\, \).

Dvs i det här fallet måste vi ersätta \( x + 1\, \) med \( -x - 1\, \), när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

\[\begin{align} -x - 1 & = 3 \\ -3 - 1 & = x \\ -4 & = x \\ x_2 & = -4 \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( \, x < -1\, \).

Men faktiskt är \( -4 < -1\, \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar:

\( x_1 = 2 \quad {\rm och} \quad x_2 = -4 \)

Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:

Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:

\( \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\ \\ y_2 & = 3 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Likheten mellan leden: \( \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, \) innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas \( \, x\)-koordinater.

Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.

Skärningspunkternas \( \, x\)-koordinater \( \, x_1 = 2\, \) och \( \, x_2 = -4\, \) bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU

http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY

http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf

Skillnad mellan versioner av "1.6 Absolutbelopp"

Nuvarande version från 11 februari 2025 kl. 13.48

Några exempel på absolutbelopp

Exempel 1 Åldersskillnad

Exempel 2 Avstånd mellan två tal

Exempel 3 Avstånd från \( \, 0 \, \)

Allmän definition, funktion och graf

Ekvationer med absolutbelopp

Internetlänkar

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 3c

Sök

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+__NOTOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|<-- Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
-{{Selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Teori]]}}
+{{Selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Absolutbelopp|Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: Diagnosprov 1 Ma3c1.pdf|Diagnosprov 1 kap 1]]}}
+{{Not selected tab|[[Diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Diagnosprov 1 kap 1]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: Diagnosprov 2 Ma3c kap 1.pdf|Diagnosprov 2 kap 1]]}}
+{{Not selected tab|[[Diagnosprov 2 kap 1 Algebra & funktioner|Diagnosprov 2 kap 1]]}}
+| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
+|}
+{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
+| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
+{{Not selected tab|     }}
+{{Not selected tab|[[1.6 Fördjupning till Absolutbelopp|Fördjupning]]}}
+{{Not selected tab|     }}
+{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Lösningar Diagnos 1]]}}
+{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov 2 kap 1|Lösningar&nbsp;Diagnos 2]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}
-<div style= "border:1px solid black; display:inline-block !important; margin-left: 30px !important; padding:100px 20px 10px 20px;">
-[[Media: Lösningar diagnos 1 Ma3c1.pdf|<span style="color:blue">Lösningar till diagnosprov 1 kap 1 --></span>]]</div>
-[[Media: Lektion 9 Absolutbelopp Ruta.pdf|Lektion 9 Absolutbelopp]]
-__TOC__
+<!-- [[Media: Lektion 11 Absolutbelopp Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 11 Absolutbelopp</span></b>]] -->
+<big>
+<div class="ovnE">
+<small>
+=== <b><span style="color:#931136">Några exempel på absolutbelopp</span></b> ===
+<br>
+<div class="exempel">
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 &nbsp;&nbsp; Åldersskillnad</span></b> ====
+En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara <b><span style="color:red"><math> \, < \, 6 \, </math> år</span></b>.
-== Exempel 1 Åldersskillnad ==
+I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger
-En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för policyn att åldersskillnaden mellan två partner ska vara mindre än <math> 6 \, </math> år.
+efter att några kunder skickat in sina uppgifter:
-För att beräkna åldersskillnaden i sina webbformulär använder de formeln:
+<table>
+<tr>
+  <td><div style="border:1px solid black;
+	display:inline-block !important;
+	margin-left: 10px !important;
+	padding:10px 10px 10px 10px;
+	-webkit-border-radius: 10px;
+	-moz-border-radius: 5px;
+	border-radius: 5px;"><b><math> \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, </math></b></div></td>
+  <td><math> \qquad\qquad </math></td>
+  <td><math> 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 </math>
+<math> 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 </math>
-::<math> \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, </math>
+<math> 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} </math></td>
+  <td><math> \quad </math></td>
+  <td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>
+<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>
-När några kunder skickar in sina uppgifter får man följande utskrifter:
+<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} </math></td>
+</tr>
+</table>
-::<math> 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 </math>
+Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger <b><span style="color:red">fel</span></b> resultat: Åldersskillnaden är <b><span style="color:red"><math> \, > \, 6 \, </math> år</span></b>.
-::<math> 30 \quad - \quad 23 \quad = \quad 7 </math>
+Felet beror på att <b><span style="color:red">negativ</span></b> åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara <b><span style="color:red">positiv</span></b>.
-::<math> 22 \quad - \quad 26 \quad = \quad -4 </math>
+Lovisa som lärt sig <b><span style="color:red">absolutbelopp</span></b> på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:
-Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten blir konfunderad över den sista utskriften och undrar om åldersskillnad kan vara negativ. Faktiskt är det meningslöst att ange åldersskillnaden med ett negativt tal. Åldersskillnad är alltid positiv. Lovisa som har lärt sig om <strong><span style="color:red">absolutbelopp</span></strong> på mattelektionen föreslår att ändra formeln till:
+<table>
+<tr>
+  <td><div style="border:1px solid black;
+	display:inline-block !important;
+	margin-left: 10px !important;
+	padding:10px 10px 10px 10px;
+	-webkit-border-radius: 10px;
+	-moz-border-radius: 5px;
+	border-radius: 5px;"><b><math> { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} </math></b></div></td>
+  <td><math> \qquad\quad </math></td>
+  <td><math> { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 </math>
+<math> { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 </math>
-::<math> | \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, | </math>
+<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} </math></td>
+  <td><math> \quad </math></td>
+  <td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>
+<math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>
-Efter denna ändring blir utskrifterna så här:
+<math> {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} </math></td>
+</tr>
+</table>
-::<math> | \, 25 \quad - \quad 20 \, | \quad = \quad 5 </math>
+Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> i formeln, vilket korrigerade den sista utskriften:
-::<math> | \, 30 \quad - \quad 23 \, | \quad = \quad 7 </math>
+::<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 </math>
-::<math> | \, 22 \quad - \quad 26 \, | \quad = \quad 4 </math>
+<math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> tar bort minustecknet från <math> -7\, </math> och ger <math> 7\, </math>. Därför<span style="color:black">:</span> <math> { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 </math>.
+</div>
-Nu känns det ok. Ändringen i den sista utskriften beror på följande:
-::<math> | \, 22 \quad - \quad 26 \, | \quad = \quad { \color{Red} | \, - 4 \, | \quad = \quad 4 } </math>
-De två raka strecken <math> {\color{White} x} {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} {\color{White} x} </math> som man liknande parenteser sätter kring ett tal, heter <strong><span style="color:red">absolutbelopp</span></strong>. De gör om ett negativt tal till ett positivt tal och låter ett positivt tal (eller <math> 0\, </math>) vara oförändrat. I exemplet ovan tar absolutbeloppet bort minustecknet från <math> -4\, </math> och returnerar <math> 4\, </math>.
+<div class="border-divblue">
+De två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för <b><span style="color:red">absolutbelopp</span></b> och&nbsp;betyder:
-Man kan också säga att absolutbeloppet betyder <strong><span style="color:red">talets positiva värde</span></strong>. Därför blir <math> { \color{Red} | \, - 4 \, | = 4 } </math>. Men även <math> | \, 4 \, | = 4 </math>. Här några fler exempel på absolutbelopp:
+::<b><span style="color:red">Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
-::<math> | \, - 7 \, | = 7 \qquad\quad | \, - 0,5 \, | = 0,5 \qquad\quad \left| \, - {2\over 3} \, \right| = {2\over 3} \qquad\quad \left| \, - \sqrt{5} \, \right| = \sqrt{5} </math>
+Kortare: &nbsp;&nbsp; Ett tals absolutbelopp är talets <b>positiva värde</b>, t.ex.:
+</div>
+<table>
+<tr><td>
+::<math> | \, - 7 \, | \, = \, 7 </math>
-::<math> | \; 23 \; | = 23 \qquad\quad | \, 7,25 \, | = 7,25 \qquad\quad\; \left| \, {13\over 4} \, \right| = {13\over 4} \qquad\quad \left| \, \sqrt{3} \, \right| = \sqrt{3} \qquad\qquad \left| \, 0 \, \right| = 0 </math>
+::<math> | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 </math>
-Som man ser gör absolutbeloppet ingenting när talet är positivt eller <math> 0\, </math>. Men om talet är negativt tar absolutbeloppet bort bara minustecknet och returnerar talets positiva värde.
+::<math> \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} </math>
+</td>
+<td><math> \qquad\quad </math></td>
+<td>
+::::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>
-Därför lämpar sig absolutbeloppet för att modellera storheter som av sin natur är positiva, som t.ex. åldersskillnaden. Ett annat exempel är avståndet.
+::::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>
+::::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
+</td>
+<td><math> \qquad\quad </math></td>
+<td>
+::::<math> \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } </math>
-== Exempel 2 Avstånd mellan två tal ==
+::::<math> \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } </math>
-Vad är avståndet mellan <math> 2 \, </math> och <math> 5 \, </math>? Tydligen <math> 3 \, </math>. Man drar av <math> 2 \, </math> från <math> 5 \, </math> för att få detta resultat:
+::::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
+</td>
+<td><math> \qquad\quad </math></td>
+<td>
+::::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math> (se <small><b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b></small>)
-::<math> 5 - 2 = 3\, </math>
+::::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1  </math> (se <small><b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b></small>)
+</td></tr>
+</table>
+<div class="border-divblue">
+Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är <b>positiva</b> som t.ex. åldersskillnad.
-Vad är då avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math>? Gör man samma sak för att beräkna detta avstånd, nämligen att dra av <math> -2 \, </math> från <math> -5 \, </math> så får man:
+Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
+</div>
-::<math> -5 - (-2) = -5 + 2 = -3\, </math>
+Vi tittar närmare på avstånd:
-Men vi vet att avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> är <math> 3 \, </math> och inte <math> -3 \, </math>. Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.
+<div class="exempel">
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 &nbsp;&nbsp; Avstånd mellan två tal</span></b> ====
-Därför måste vi modifiera vår metod att beräkna avståndet mellan två tal. Vi definierar avståndet mellan två tal så här:
+Vad är avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>? &nbsp;&nbsp; Svar<span style="color:black">:</span> <math> \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 </math>
-:::<big> <strong><span style="color:red">Avståndet</span></strong> mellan talen <math> a \, </math> och <math> b </math> är <math> | \, a - b \, | \, </math> </big>
+Vad är då avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math>? Gör man samma sak blir svaret<span style="color:black">:</span> <math> \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 </math>
-Här drar man fortfarande av talen från varandra, men lägger till absolutbeloppet kring hela operationen för att garantera att resultatet blir positivt.
+Men vi vet att avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> är <math> 3 \, </math> och inte <math> -3 \, </math>. Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.
-Om vi använder denna definition på avstånd för att beräkna avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> blir resultatet korrekt:
+Korrekt svar<span style="color:black">:</span>
-::<math> | -5 - (-2) \, | \, = \, | -5 + 2 \, | \, = \, | -3 \, | \, = \, 3 </math>
+:::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
-Det roliga med den nya definitionen är att det är irrelevant i vilken ordning vi sätter in talen i definitionen. Det gäller nämligen generellt:
+Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.
-::::<math> {\color{White} x} \qquad\, | \, a - b \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>
+Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat<span style="color:black">:</span>
-Kastar vi om talens ordning när vi beräknar avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> blir det samma resultat:
+:::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
+</div>
-::<math> | -2 - (-5) \, | \, = \, | -2 + 5 \, | \, = \, | \, 3 \, | \, = \, 3 </math>
+Generellt gäller:
-Om vi i den nya definitionen för avstånd <math> | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math> för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:
+<div class="border-divblue">
+Absolutbeloppet <math> \; | \, a - b \, | \; </math> är avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>.
+</div>
-::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 \qquad{\color{White} x} \, </math>
+Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller<span style="color:black">:</span> <math> \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>
-Om vi kastar om ordningen blir det samma resultat:
-::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>
+Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är <math> \, 0 \, </math>:
-<math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, -5</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>. Detta gäller för alla tal, vilket ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet:
+<div class="exempel">
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 &nbsp;&nbsp; Avstånd från <math> \, 0 \, </math></span></b> ====
-<big>
+Om vi i den nya definitionen för avstånd <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math> för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:
-:::Absolutbeloppet av ett tal är <strong><span style="color:red">talets avstånd från</span></strong> <math> {\color{Red} 0}\, </math>.
-</big>
-Sammanfattningsvis har vi hittills kommit fram till följande tolkningar av absolutbeloppet:
+:::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 </math>
-<big>
+Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:
-Absolutbeloppet
-::::<strong><span style="color:red">är talets positiva värde.</span></strong>
+:::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>
-::::<strong><span style="color:red">är talets avstånd från <math> {\color{Red} 0}\, </math> .</span></strong>
+<math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, -5</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
+</div>
-::::<strong><span style="color:red">gör om ett negativt tal till ett positivt tal och låter ett positivt tal vara oförändrat.</span></strong>
+Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):
-Dessutom:
+<div class="border-divblue">
+Absolutbeloppet <math> \; | \, a \, | \; </math> är talet <math> a</math>:s avstånd från 0.
+</div>
-::::<strong><span style="color:red"><math> {\color{Red} | \, a - b \, | } </math> = &nbsp;talen <math> {\color{Red} a} \, </math> och <math> {\color{Red} b}\, </math>:s avstånd från varandra.</span></strong>
+</small>
-</big>
+</div> <!-- "ovnE" -->
-Den sista tolkningen kan man uppfatta som en <strong><span style="color:red">avståndsformel</span></strong> på tallinjen.
-Alla dessa tolkningar är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet absolutbelopp. Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:
+Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.
+Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:
-== Allmän definition & graf ==
+<div class="ovnC">
+<small>
+=== <b><span style="color:#931136">Allmän definition, funktion och graf</span></b> ===
+<div class="border-divblue">
+<table>
+<tr>
+  <td>Absolutbeloppet <math> \; | \, x \, | \; </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom<span style="color:black">:</span>
-<big><strong><span style="color:red">Absolutbeloppet</span></strong> <math> {\color{White} x} | \, x \, | {\color{White} x} </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom</big> <math> {\color{White} x} \quad | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x   \geq  0  \\
+::::<math> | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x   \geq  0  \\
-                                                  -x & \mbox{om } x   <  0     \\
+                                               -x & \mbox{om } x   <  0     \\
-                                \end{cases}
+\end{cases}
 </math>
-<big>Grafen till funktionen <math> {\color{White} x} y = | \, x \, | {\color{White} x} </math> ser ut så här:</big>
+Grafen till &nbsp; <b><span style="color:#931136">funktionen <math> \; y = | \, x \, | \; </math></span></b> ser ut så här:
+</td>
+  <td><math> \qquad </math></td>
+  <td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
+</tr>
+</table>
+Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
+</div>
+</small>
+</div>
-:[[Image: Övn 8.png]]
+<div class="ovnC">
+<small>
+<b>OBS!</b> &nbsp; I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.
+<!-- I förra avsnittets  [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_8|<b><span style="color:blue">övn 8</span></b>]] hade vi redan stiftat bekantskap med den utan att nämna dess namn. -->
-----
+<div class="exempel">
+<b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b>
+::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan?
-Absolutbeloppet är en funktion som är definierad för alla <math> x \, </math>. Den är även kontinuerlig för alla <math> x \, </math>. I förra avsnittets  [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_8|<strong><span style="color:blue">övn 8</span></strong>]] hade vi redan stiftat bekantskap med den utan att nämna dess namn.
+::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 7 \, | = 7\, </math>.
-<b>Exempel 1:</b>
+::<b>Svar:</b> <math> \; | \, 7 \, | = 7 </math>.
+</div>
-::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan?
-::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> x = 7\, </math>.
+<div class="exempel">
+<b><span style="color:#931136">Exempel 2:</span></b>
-::<u>Svar:</u> <math> {\color{White} x} | \, 7 \, | = 7 </math>.
+::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan?
-<b>Exempel 2:</b>
+::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 </math>.
-::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan?
+::<b>Svar:</b> <math> \; | \, - 5 \, | = 5 </math>.
+</div>
-::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>,  dvs <math> -x = -(-5)\, </math> vilket ger <math> 5\, </math>.
-::<u>Svar:</u> <math> {\color{White} x} | \, - 5 \, | = 5 </math>.
+<div class="exempel">
+<b><span style="color:#931136">Exempel 3:</span></b>
-<b>Exempel 3:</b>
+::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan?
-::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan?
+::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 0 \, | = 0\, </math>.
-::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> x = 0\, </math>.
+::<b>Svar:</b> <math> \; | \, 0 \, | = 0 </math>.
+</div>
-::<u>Svar:</u> <math> {\color{White} x} | \, 0 \, | = 0 </math>.
-<b>Exempel 4:</b>
+<div class="exempel">
+<b><span style="color:#931136">Exempel 4:</span></b>
 ::Vad är <math> | \, a + 2 \, | </math> enligt definitionen ovan?
@@ Rad 177: / Rad 274: @@
 ::Eftersom vi inte känner till <math> \, a</math>:s värde och därför inte vet om <math> \, a + 2 </math> blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:
-::<b>Fall 1:</b> <math> {\color{White} x} a + 2 \geq 0 \quad {\color{White} x} </math> eller <math> {\color{White} x}\quad a \geq -2 </math>
+::<u><b>Fall 1</b></u> <math> \quad a + 2 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a \geq -2 </math>
-::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> x = a + 2\, </math>.
+::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | = a + 2\, </math>.
-::<b>Fall 2:</b> <math> {\color{White} x} a + 2 < 0 \quad {\color{White} x} </math> eller <math> {\color{White} x}\quad a < -2 </math>
+::<u><b>Fall 2</b></u> <math> \quad a + 2 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a < -2 </math>
-::Eftersom <math> {\color{White} x} x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> -x = -(a + 2)\, </math> vilket ger <math> -a - 2\, </math>.
+::Eftersom <math> \; x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, </math>.
-::<b>Svar:</b> <math> {\color{White} x} | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\
+::<b>Svar:</b> <math> \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\
-                                                                                    -a-2 & \mbox{om } a < -2   \\
+                                                                     -a-2 & \mbox{om } a < -2    \\
                                         \end{cases}
 </math>
+</div> <!-- "exempel" -->
-Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.
+</small>
+</div> <!-- "ovnC" -->
-== Ekvationer med absolutbelopp ==
+Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.
-=== Exempel 1 ===
-Lös ekvationen <math> {\color{White} x} \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 </math>
+== <b><span style="color:#931136">Ekvationer med absolutbelopp</span></b> ==
-::Eftersom vi inte känner till <math> \, x</math> måste vi skilja mellan två fall:
+<br>
-::<b>Fall 1:</b> <math> {\color{White} x} x + 1 \geq 0 \quad {\color{White} x} </math> eller <math> {\color{White} x}\quad x \geq -1 </math>
+<div class="ovnC">
+<small>
+<div class="ovnE">
+Lös ekvationen <math> \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 </math>
+</div>
-::Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> x + 1\, </math>. Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgäd. Ekvationen blir:
-::::<math>\begin{align}  x + 1 & = 3     \\
+Eftersom vi inte känner till <math> \, x \, </math> måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:
-                         x     & = 3 - 1 \\
-                         x_1   & = 2
-    \end{align}</math>
-::Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättnigen vi gjorde i <b>Fall 1</b>, nämligen <math> x \geq -1 </math>. Men faktiskt är <math> 2 \geq -1 </math>. Därmed kan vi godta denna lösning. Annars hade den varit en falsk rot.
+<u><b>Fall 1</b></u> <math> \quad x + 1 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x \geq -1 </math>
-::I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller obligatoriska. I [[1.6_Absolutbelopp#Exempel_2|<strong><span style="color:blue">Exempel 2</span></strong>]] förekommer faktiskt en falsk rot.
+Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> x + 1\, </math>.
-::<b>Fall 2:</b> <math> {\color{White} x} x + 1 < 0 \quad {\color{White} x} </math> eller <math> {\color{White} x}\quad x < -1 </math>
+Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:
-::Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> -(x + 1) = -x - 1\, </math>. Dvs i det här fallet måste vi ersätta <math> x + 1\, </math> med <math> -x - 1\, </math>, när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:
+::<math>\begin{align}  x + 1 & = 3     \\
+                         x     & = 3 - 1 \\
-::::<math>\begin{align}  -x - 1 & = 3   \\
+                         x_1   & = 2
-                      -3 - 1 & = x   \\
-                          -4 & = x   \\
-                         x_2 & = -4
      \end{align}</math>
-::Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättnigen vi gjorde i <b>Fall 2</b>, nämligen <math> x < -1\, </math>. Men faktiskt är <math> -4 < -1\, </math>. Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.
+Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i <b>Fall 1</b>, nämligen <math> \, x \geq -1 </math>.
-::<b>Svar:</b> <math>\begin{align} {\color{White} x} \, {\color{White} x}
+Men faktiskt är <math> 2 \geq -1 </math>. Därmed kan vi godta denna lösning.
-                         x_1 & = 2   \\
-                         x_2 & = -4
-        \end{align}</math>
-::Vi ritar i samma koordinatsystem.graferna till de två funktionerna:
+Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se [[1.6_Fördjupning_till_Absolutbelopp#Falska_r.C3.B6tter|<b><span style="color:blue">Falska rötter</span></b>]].
-::::::<math>\begin{align}  y_1 & = | \, x + 1 \, |  \\
+<b><span style="color:red">I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller kring falska rötter obligatoriska.</span></b>
-                           y_2 & = 3
-                     \end{align}</math>
-::[[Image: Ex 1a.png]]
+<u><b>Fall 2</b></u> <math> \quad x + 1 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x < -1 </math>
-::Graferna bekräftar att det finns två lösningar. Även grafernas skärningspunkter <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -4\, </math> bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen <math> {\color{White} x} | \, x + 1 \, | \, = \, 3 {\color{White} x} </math>.
+Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> -(x + 1) = -x - 1\, </math>.
-=== Exempel 2 ===
+Dvs i det här fallet måste vi ersätta <math> x + 1\, </math> med <math> -x - 1\, </math>, när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:
-Lös ekvationen <math> {\color{White} x} \, | \, x - 3 \, | - 2\,x\, = \, 1 </math>
+::<math>\begin{align}  -x - 1 & = 3   \\
+                      -3 - 1 & = x   \\
-::<b>Fall 1:</b> <math> {\color{White} x} x - 3 \geq 0 \quad {\color{White} x} </math> eller <math> {\color{White} x}\quad x \geq 3 </math>
+                          -4 & = x   \\
+                         x_2 & = -4
-::Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall <math> | \, x - 3 \, | = x - 3\, </math> och ekvationen blir:
-::::<math>\begin{align}  x - 3 - 2\,x & = 1  \\
-                             -\,x - 3 & = 1  \\
-                              - 3 - 1 & = x  \\
-                                  - 4 & = x  \\
-                                 x_1  & = - 4
      \end{align}</math>
-::Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättnigen vi gjorde i <b>Fall 1</b>, nämligen <math> x \geq 3 </math>. Faktiskt är <math> - 4 \not\ge 3 </math>. Därmed måste vi <strong><span style="color:red">förkasta</span></strong> denna lösning. <math> x_1  = - 4\, </math> är en <strong><span style="color:red">falsk rot</span></strong>.
+Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i <b>Fall 2</b>, nämligen <math> \, x < -1\, </math>.
-::<b>Fall 2:</b> <math> {\color{White} x} x - 3 < 0 \quad {\color{White} x} </math> eller <math> {\color{White} x}\quad x < 3 </math>
+Men faktiskt är <math> -4 < -1\, </math>. Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.
-::Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall <math> | \, x - 3 \, | = -(x - 3) = -x + 3\, </math> och ekvationen blir:
+<b>Svar:</b> <div class="ovnE"><math> x_1 = 2 \quad {\rm och} \quad x_2 = -4 </math></div>
+</small>
+</div> <!-- "ovnC" -->
-::::<math>\begin{align}  -\,x + 3 - 2\,x & = 1     \\
+<b>Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:</b>
-                             -\,3\,x + 3 & = 1     \\
-- 1 & = 3\,x  \\
-& = 3\,x  \\
-                             {2 \over 3} & = x
-          \end{align}</math>
-::Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättnigen vi gjorde i <b>Fall 2</b>, nämligen <math> x < 3\, </math>. Det stämmer att <big><math> {2 \over 3} </math></big> <math> < 3 </math>. Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har endast denna lösning.
+Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:
+<table>
+<tr>
+  <td><math> \qquad\qquad \begin{align}  y_1 & = | \, x + 1 \, |  \\
+                                                                  \\
+                                         y_2 & = 3
+                          \end{align}</math></td>
+  <td><math> \qquad\qquad </math></td>
+  <td>[[Image: Ex 1a.png]]</td>
+</tr>
+</table>
+Likheten mellan leden<span style="color:black">:</span> <math> \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, </math> innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater.
-::<b>Svar:</b> <math>\begin{align} {\color{White} x} \, {\color{White} x}
+Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.
-                         x & = {2 \over 3}
-        \end{align}</math>
-::Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:
+Skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater <math> \, x_1 = 2\, </math> och <math> \, x_2 = -4\, </math> bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.
-::::::<math>\begin{align}  y_1 & = | \, x - 3 \, |  \\
-                           y_2 & = 2\,x + 1
-                     \end{align}</math>
-::[[Image: Ex 2.png]]
+== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
-::Graferna bekräftar att det finns endast en lösning. Även grafernas skärningspunkt <big><math> {2 \over 3} </math></big> bekräftar den lösning vi fått för ekvationen <math> {\color{White} x} \, | \, x - 3 \, | - 2\,x \, = \, 1  {\color{White} x} </math>.
+http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU
+http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY
-== Olikheter med absolutbelopp ==
+http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf
-=== Exempel ===
+http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf
+</big>
-Lös olikheten <math> {\color{White} x} \, | \, x + 2 \, | \, < \, 4 </math>
-::<u><b>Fall 1:</b></u> <math> {\color{White} x} x + 2 \geq 0 \quad {\color{White} x} </math> eller <math> {\color{White} x}\quad x \geq -2 </math>
-::Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall <math> | \, x + 2 \, | = x + 2\, </math> och olikheten blir:
-::::<math>\begin{align}  x + 2 & < 4     \\
-                         x     & < 4 -2  \\
-                         x     & < 2  \\
-    \end{align}</math>
-::Kombinerad med <b>Fall 1:</b>s förutsättning <math> {\color{White} x} x \geq -2 {\color{White} x} </math> ger detta:
-::<b>Svar Fall 1:</b> <math> {\color{White} x} \;\; -2 \leq x < 2\, </math>
-::<u><b>Fall 2:</b></u> <math> {\color{White} x} x + 2 < 0 \quad {\color{White} x} </math> eller <math> {\color{White} x}\quad x < -2 </math>
-::Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall <math> | \, x + 2 \, | = -(x + 2) = -x - 2\, </math> och olikheten blir:
-::::<math>\begin{align}  -\,x - 2 & < 4     \\
-                         -\,4 - 2 & < x     \\
-                             -\,6 & < x     \\
-                                x & > -\,6  \\
-          \end{align}</math>
-::Kombinerad med <b>Fall 2:</b>s förutsättning <math> {\color{White} x} x < -2 {\color{White} x} </math> ger detta:
-::<b>Svar Fall 2:</b> <math> {\color{White} x} \;\; -6 < x < -2\, </math>
-::Om vi nu sammanfogar <b>Svar Fall 1</b> med <b>Svar Fall 2</b> får vi:
-::<b>Olikhetens lösning:</b> <math> {\color{White} x} \;\; -6 < x < 2\, </math>
-::[[Image: Ex Olikhet.png]]
-::På bilden ovan visas i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:
-::::::<math>\begin{align}  y & = | \, x + 2 \, |  \\
-                           y & = 4
-            \end{align}</math>
-::Olikhetens lösning är markerad med rött. Den består av alla <math> x \, </math> för vilka grafen till <math> y = | \, x + 2 \, | </math> befinner sig under grafen till <math> y = 4\, </math> dvs alla <math> x \, </math> för vilka <math> | \, x + 2 \, | \, < \, 4 </math>.
-::<b>Svar:</b> Olikheten <math> | \, x + 2 \, | \, < \, 4 </math> har lösningen <math> \, -6 < x < 2 </math> .
-== Intervall med absolutbelopp ==
-<b>Uppgift:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Skriv om intervallet <math> -6 < x < 2 </math> till en olikhet med hjälp av absolutbelopp.
-Vi vänder alltså om frågeställningen i [[1.6_Absolutbelopp#Exempel|<strong><span style="color:blue">Exemplet</span></strong>]] ovan. Vi antar att vi har lösningen <math> -6 < x < 2\, </math> (till Exemplet) och söker olikheten som har denna lösning.
-<b>Lösning:</b> Sådana uppgifter löses i två steg:
-* Hitta intervallets mittpunkt.
-* Hitta intervallets halva längd.
-Då kan intervallet skrivas om till olikeheten:
-:<math> {\color{White} x} | \, x \,- {\rm mittpunkt} \, | < \, {\rm halva\;längd} </math>
-Låt oss börja med att hitta mittpunkten till intervallet <math> \,-6 < x < 2 </math>. Det görs bäst med intervallgränsernas medelvärde:
-::<math> {-6 + 2 \over 2} = {-4 \over 2} = -2 </math>
-Sedan beräknar vi intervallets halva längd genom dra av intervallgränserna från varandra (oavsett ordning), dela med 2 och sätta det hela inom absolutbelopp eftersom längd alltid är positiv:
-::<math> \left| {-6 - 2 \over 2} \, \right| = \left| {-8 \over 2} \, \right| = | -4 \, | = 4 </math>
-Därmed kan intervallet skrivas om till olikeheten:
-:<math> {\color{White} x} | \, x \,- {\rm mittpunkt} \, | < \, {\rm halva\;längd} {\color{White} x} = {\color{White} x} | \, x - (-2) \, | < 4 {\color{White} x} \; {\rm dvs} \; {\color{White} x} | \, x + 2 \, | < 4 </math>
-<b>Svar:</b> Intervallet <math> -6 < x < 2 \, </math> kan skrivas om till olikheten <math> | \, x + 2 \, | \, < \, 4 </math> .
-== Internetlänkar ==
-http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU
-http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY
-http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf
-http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.