Skillnad mellan versioner av "1.2 Lösning 11a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(13 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
<math> { 87+13 \over (x+9)/5 } = { 100 \over (x+9)/5 } </math>
+
<math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math>
  
−
För att uttrycket till höger ska bli störst måste nämnaren <math> \displaystyle (x+9)/5 </math> bli minst, för ju mindre ett tal som man delar med är, desto större blir resultatet.
+
<math> Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0 </math>
  
−
För att uttrycket <math> \displaystyle (x+9)/5 </math> ska bli minst måste <math> \displaystyle x </math> bli minst, för alla andra tal utom <math> \displaystyle x </math> är fasta dvs oföränderliga.
+
<math> P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0 </math>  
  
−
Men eftersom uppgiften kräver ett positivt heltal för <math> \displaystyle x </math> måste <math> \displaystyle x </math> bli <math> 1 </math>, för <math> 1 </math> är det minsta positiva heltalet. Därför:
+
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math> leder till:
  
−
<math> \displaystyle x = 1 </math>
+
:::<math>\begin{align} - (a+b) & = - 10      \\
 +
                        a + b  & =  10      \\
 +
                            b  & =  10 - a  \\
 +
        \end{align} </math>
 +
 
 +
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 </math> leder till:
 +
 
 +
:::<math> a \cdot b = 16 </math>
 +
 
 +
Sätter man in i denna relation <math> b = 10 - a </math> får man:
 +
 
 +
:::<math>\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16                    \\
 +
                            10\,a - a^2 & = 16                    \\
 +
                                      0 & = a^2 - 10\,a + 16      \\
 +
                                a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16}  \\
 +
                                    a_1 & = 8                    \\
 +
                                    a_2 & = 2                    \\
 +
        \end{align} </math>
 +
 
 +
Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man:
 +
 
 +
:::::<math>\begin{align}      8 \cdot b_1 & = 16                  \\
 +
                                      b_1 & = 2                  \\
 +
                              2 \cdot b_2 & = 16                  \\
 +
                                      b_2 & = 8                  \\
 +
          \end{align} </math>
 +
 
 +
Polynomen <math> P(x)\, </math> och <math> Q(x)\, </math> är lika med varandra för <math> a = 8 </math> och <math> b = 2 </math> och för <math> a = 2 </math> och <math> b = 8 </math>. I båda fall kan vi konstatera följande intressant identitet som direkt leder oss till nästa avsnittet ''Faktorisering av polynom'':
 +
 
 +
:::<math> P(x) = x^2 - 10 \, x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)</math>
 +
 
 +
Vi har fått fram en faktorisering av polynomet <math> \, P(x) </math>.

Nuvarande version från 30 april 2016 kl. 21.55

\( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b \)

\( Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0 \)

\( P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0 \)

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \) leder till:

\[\begin{align} - (a+b) & = - 10 \\ a + b & = 10 \\ b & = 10 - a \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \) leder till:

\[ a \cdot b = 16 \]

Sätter man in i denna relation \( b = 10 - a \) får man:

\[\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16 \\ 10\,a - a^2 & = 16 \\ 0 & = a^2 - 10\,a + 16 \\ a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16} \\ a_1 & = 8 \\ a_2 & = 2 \\ \end{align} \]

Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man:

\[\begin{align} 8 \cdot b_1 & = 16 \\ b_1 & = 2 \\ 2 \cdot b_2 & = 16 \\ b_2 & = 8 \\ \end{align} \]

Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för \( a = 8 \) och \( b = 2 \) och för \( a = 2 \) och \( b = 8 \). I båda fall kan vi konstatera följande intressant identitet som direkt leder oss till nästa avsnittet Faktorisering av polynom:

\[ P(x) = x^2 - 10 \, x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)\]

Vi har fått fram en faktorisering av polynomet \( \, P(x) \).

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.2_Lösning_11a&oldid=28952"