Skillnad mellan versioner av "2.3a Lösning 11"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (10 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Vi förenklar uttrycket i limes först genom att förlänga det med | + | Vi förenklar uttrycket i limes först genom att förlänga det med konjugatet: |
| − | :<math> x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, | + | :<math> x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \, = \, </math> |
| − | + | :<math> \qquad\qquad\qquad\;\; = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math> | |
| − | :<math> \begin{array}{rcl} {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\ | + | Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med <math> x \, </math>: |
| − | & = & {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - 1 | + | |
| + | :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle{x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\ | ||
| + | & = & {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | Nu kan vi beräkna gränsvärdet: | ||
| + | |||
| + | :<math> \lim_{x \to \infty}\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \,=\, \lim_{x \to \infty}\,{1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - 0}} } \,=\, {1 \over 2} </math> | ||
Nuvarande version från 19 oktober 2017 kl. 23.51
Vi förenklar uttrycket i limes först genom att förlänga det med konjugatet:
\[ x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \, = \, \]
\[ \qquad\qquad\qquad\;\; = \, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} \]
Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med \( x \, \):
\[ \begin{array}{rcl} \displaystyle{x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\ & = & {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } \end{array}\]
Nu kan vi beräkna gränsvärdet:
\[ \lim_{x \to \infty}\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \,=\, \lim_{x \to \infty}\,{1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - 0}} } \,=\, {1 \over 2} \]
