Skillnad mellan versioner av "2.5 Lösning 8"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (20 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Vi sätter <math> t = 0 \, </math> vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till <math> T_0 = 31\, </math>. Med rumstemperaturen | + | Vi sätter <math> t = 0 \, </math> vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till <math> T_0 = 31\, </math>. Med rumstemperaturen <math> T_r = 18\, </math> vid undersökningen blir modellen: |
:<math> \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ | :<math> \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ | ||
| Rad 11: | Rad 11: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | "Kroppstemperaturen minskade med | + | "Kroppstemperaturen minskade med 4,2 grader i timmen vid kl 21" innebär att |
| + | |||
| + | Kroppstemperaturen minskade med 4,2/60 = 0,07 grader i minuten vid kl 21, dvs: | ||
:<math> \begin{array}{rcrcl} T\,'(60) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\,60} & = & -\,0,07 \\ | :<math> \begin{array}{rcrcl} T\,'(60) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\,60} & = & -\,0,07 \\ | ||
& & 13 \cdot k \cdot e\,^{60\,k} & = & -\,0,07 \\ | & & 13 \cdot k \cdot e\,^{60\,k} & = & -\,0,07 \\ | ||
| − | & & 13 \ | + | & & 13\,k\,e\,^{60\,k} \,+\, 0,07 & = & 0 \end{array}</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | För att lösa ekvationen ovan för <math> k\, </math> används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen <math> y \,=\, 13\,x\,e\,^{60\,x} + 0,07 </math> och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet <math> x \approx -\,0,01 </math>. Med detta startvärde får vi i [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<strong><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></strong>]] följande lösning: | |
| − | + | ::::::<math> x \,=\, -\,0,0095501058\ldots \,=\, k </math> | |
| − | + | Med detta värde för <math> k\, </math> specificerar vi vår modell: | |
| − | + | ::::::<math> T\,(t) \, = \, 13\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 </math> | |
| − | + | Nu bestämmer vi tiden <math> t \, </math> när mordet skedde: | |
| − | + | Vi antar att kroppstemperaturen vid den tid då mordet skedde, var normal dvs <math> 37\, </math> grader. Därför sätter vi i modellen ovan kroppstemperaturen <math> T\,(t) </math> vid denna tid till <math> 37\, </math> grader och löser ekvationen för <math> t \, </math>: | |
| − | ::::::<math> t \,=\, | + | ::::::<math> \begin{array}{rclcl} T\,(t) & = & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 & = & 37 \\ |
| + | & & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \,-\, 37 & = & 0 \\ | ||
| + | & & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,-\, 19 & = & 0 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| − | + | Även denna ekvation löses med grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen <math> y = 13\,e\,^{-\,0,0095501058\,x} - 19 </math> och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet <math> x \approx -\,40 </math>. Med detta startvärde får vi i [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<strong><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></strong>]] följande lösning: | |
| − | <math> | + | ::::::<math> x \,=\, -\,39,7367\ldots \,=\, t </math> |
| − | + | Vi kommer ihåg att vi satte tiden <math> t = 0 \, </math> vid kl 20 när mordet upptäcktes, vilket innebär att mordet <math>-</math> enligt resultatet ovan avrundat till hela minuter <math>-</math> skedde <math> 40 \, </math> minuter i kl 20: | |
| − | ::::::<math> | + | ::::::<math> {\rm Mordet\;skedde\;kl\;19.20\;} . </math> |
Nuvarande version från 19 juli 2019 kl. 18.37
Vi sätter \( t = 0 \, \) vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till \( T_0 = 31\, \). Med rumstemperaturen \( T_r = 18\, \) vid undersökningen blir modellen:
\[ \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ T\,(t) & = & (31 - 18)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \\ T\,(t) & = & 13 \cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \end{array}\]
Vi bestämmer \( k \, \):
\[ \begin{array}{rcl} T\,'(t) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} \end{array}\]
"Kroppstemperaturen minskade med 4,2 grader i timmen vid kl 21" innebär att
Kroppstemperaturen minskade med 4,2/60 = 0,07 grader i minuten vid kl 21, dvs:
\[ \begin{array}{rcrcl} T\,'(60) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\,60} & = & -\,0,07 \\ & & 13 \cdot k \cdot e\,^{60\,k} & = & -\,0,07 \\ & & 13\,k\,e\,^{60\,k} \,+\, 0,07 & = & 0 \end{array}\]
För att lösa ekvationen ovan för \( k\, \) används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, 13\,x\,e\,^{60\,x} + 0,07 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx -\,0,01 \). Med detta startvärde får vi i Ekvationslösning med miniräknare följande lösning:
- \[ x \,=\, -\,0,0095501058\ldots \,=\, k \]
Med detta värde för \( k\, \) specificerar vi vår modell:
- \[ T\,(t) \, = \, 13\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \]
Nu bestämmer vi tiden \( t \, \) när mordet skedde:
Vi antar att kroppstemperaturen vid den tid då mordet skedde, var normal dvs \( 37\, \) grader. Därför sätter vi i modellen ovan kroppstemperaturen \( T\,(t) \) vid denna tid till \( 37\, \) grader och löser ekvationen för \( t \, \):
- \[ \begin{array}{rclcl} T\,(t) & = & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 & = & 37 \\ & & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \,-\, 37 & = & 0 \\ & & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,-\, 19 & = & 0 \end{array}\]
Även denna ekvation löses med grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y = 13\,e\,^{-\,0,0095501058\,x} - 19 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx -\,40 \). Med detta startvärde får vi i Ekvationslösning med miniräknare följande lösning:
- \[ x \,=\, -\,39,7367\ldots \,=\, t \]
Vi kommer ihåg att vi satte tiden \( t = 0 \, \) vid kl 20 när mordet upptäcktes, vilket innebär att mordet \(-\) enligt resultatet ovan avrundat till hela minuter \(-\) skedde \( 40 \, \) minuter i kl 20:
- \[ {\rm Mordet\;skedde\;kl\;19.20\;} . \]
