Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 7d"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (14 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Från c) vet vi att derivatan <math> \, f\,'(x) \,=\, x^3 - 16\,x \, </math> har tre nollställen. Vi | + | Från c) vet vi att derivatan <math> \, f\,'(x) \,=\, x^3 - 16\,x \, </math> har tre nollställen. Vi ordnar (sorterar) dem efter storlek på <math>\,x</math>-axeln genom att numrera om dem<span style="color:black">:</span> <math> \, x_1 = -4 \, </math>, <math> \, x_2 = 0 \, </math> och <math> \, x_3 = 4 \, </math>. |
| − | + | Teckenstudie kring | |
* nollstället <math> \, x_1 = -4 \, </math>: | * nollstället <math> \, x_1 = -4 \, </math>: | ||
| − | ::<math> f\,'\,( | + | ::<math> f\,'\,(-4,1) \,=\, (-4,1)^3 - 16\cdot (-4,1) \,=\, -3,321 \,<\, 0 </math> |
| − | ::<math> f\,'\,( | + | ::<math> f\,'\,(-3,9) \,=\, (-3,9)^3 - 16\cdot (-3,9) \,=\, 3,081 \,>\, 0 </math> |
* nollstället <math> \, x_2 = 0 \, </math>: | * nollstället <math> \, x_2 = 0 \, </math>: | ||
| − | ::<math> f\,'\,( | + | ::<math> f\,'\,(-0,1) \,=\, (-0,1)^3 - 16\cdot (-0,1) \,=\, 1,599 \,>\, 0 </math> |
| − | ::<math> f\,'\,( | + | ::<math> f\,'\,(0,1) \,=\, 0,1^3 - 16\cdot 0,1 \,=\, -1,599 \,<\, 0 </math> |
* nollstället <math> \, x_3 = 4 \, </math>: | * nollstället <math> \, x_3 = 4 \, </math>: | ||
| − | ::<math> f\,'\,( | + | ::<math> f\,'\,(3,9) \,=\, 3,9^3 - 16\cdot 3,9 \,=\, -3,081 \,<\, 0 </math> |
| − | ::<math> f\,'\,( | + | ::<math> f\,'\,(4,1) \,=\, 4,1^3 - 16\cdot 4,1 \,=\, 3,321 \,>\, 0 </math> |
Vi inför resultaten i en teckentabell: | Vi inför resultaten i en teckentabell: | ||
| Rad 27: | Rad 27: | ||
<td><math>x</math></td> | <td><math>x</math></td> | ||
<td> </td> | <td> </td> | ||
| − | <td><math> | + | <td><math>-4</math></td> |
<td> </td> | <td> </td> | ||
| − | <td><math> | + | <td><math>0</math></td> |
| + | <td> </td> | ||
| + | <td><math>4</math></td> | ||
<td> </td> | <td> </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
| Rad 39: | Rad 41: | ||
<td><math>0</math></td> | <td><math>0</math></td> | ||
<td><math>-</math></td> | <td><math>-</math></td> | ||
| + | <td><math>0</math></td> | ||
| + | <td><math>+</math></td> | ||
</tr> | </tr> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 47: | Rad 51: | ||
<td> </td> | <td> </td> | ||
<td> <strong><big><big>↘</big></big></strong> </td> | <td> <strong><big><big>↘</big></big></strong> </td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td> <strong><big><big>↗</big></big></strong> </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | Eftersom derivatan är en | + | Eftersom derivatan är en 3:e gradsfunktion och därmed inte har fler än tre nollställen kan vi enligt [[3.1_Växande_och_avtagande#Regler_om_v.C3.A4xande_och_avtagande|<strong><span style="color:blue">reglerna om växande och avtagande</span></strong>]] dra slutsatserna: |
| + | |||
| + | För alla <math> {\color{White} {xxxxxxx}} x < -4 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. | ||
| − | | + | I intervallet <math> \, -4 < x < 0 {\color{White} {xx}} </math> är <math>\, f(x) </math> växande. |
| − | I intervallet <math> {\color{White} x} | + | I intervallet <math> {\color{White} x} \; 0 < x < 4 \,{\color{White} {xx}} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. |
| − | För alla <math> {\color{White} {xxxxxx}} x > | + | För alla <math> {\color{White} {xxxxxx}} \; x > 4 \,{\color{White} {xx}} </math> är <math>\, f(x) </math> växande. |
Nuvarande version från 23 februari 2016 kl. 17.49
Från c) vet vi att derivatan \( \, f\,'(x) \,=\, x^3 - 16\,x \, \) har tre nollställen. Vi ordnar (sorterar) dem efter storlek på \(\,x\)-axeln genom att numrera om dem: \( \, x_1 = -4 \, \), \( \, x_2 = 0 \, \) och \( \, x_3 = 4 \, \).
Teckenstudie kring
- nollstället \( \, x_1 = -4 \, \):
- \[ f\,'\,(-4,1) \,=\, (-4,1)^3 - 16\cdot (-4,1) \,=\, -3,321 \,<\, 0 \]
- \[ f\,'\,(-3,9) \,=\, (-3,9)^3 - 16\cdot (-3,9) \,=\, 3,081 \,>\, 0 \]
- nollstället \( \, x_2 = 0 \, \):
- \[ f\,'\,(-0,1) \,=\, (-0,1)^3 - 16\cdot (-0,1) \,=\, 1,599 \,>\, 0 \]
- \[ f\,'\,(0,1) \,=\, 0,1^3 - 16\cdot 0,1 \,=\, -1,599 \,<\, 0 \]
- nollstället \( \, x_3 = 4 \, \):
- \[ f\,'\,(3,9) \,=\, 3,9^3 - 16\cdot 3,9 \,=\, -3,081 \,<\, 0 \]
- \[ f\,'\,(4,1) \,=\, 4,1^3 - 16\cdot 4,1 \,=\, 3,321 \,>\, 0 \]
Vi inför resultaten i en teckentabell:
| \(x\) | \(-4\) | \(0\) | \(4\) | ||||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \( f(x) \) | ↘ | ↗ | ↘ | ↗ |
Eftersom derivatan är en 3:e gradsfunktion och därmed inte har fler än tre nollställen kan vi enligt reglerna om växande och avtagande dra slutsatserna:
För alla \( {\color{White} {xxxxxxx}} x < -4 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( \, -4 < x < 0 {\color{White} {xx}} \) är \(\, f(x) \) växande.
I intervallet \( {\color{White} x} \; 0 < x < 4 \,{\color{White} {xx}} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} \; x > 4 \,{\color{White} {xx}} \) är \(\, f(x) \) växande.
