Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 9c"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med 'Räta linjens ekvation i <math>\,k</math>-form: ::<math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math> Tangenten till kurvan    <math> y = f(x) = 3\,x^2 - 2\,x - 4 </math> &nbs...')
 
m
 
(6 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
Räta linjens ekvation i <math>\,k</math>-form:
+
Vi har:
  
::<math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math>
+
::<math> f(x) = \, x^3 </math>
  
Tangenten till kurvan &nbsp;&nbsp; <math> y = f(x) = 3\,x^2 - 2\,x - 4 </math> &nbsp;&nbsp; i &nbsp;&nbsp; <math> x = 1 </math> &nbsp;&nbsp; har samma lutning <math>\,k</math> som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i &nbsp;&nbsp; <math> x = 1 </math> &nbsp;&nbsp; är <math> f\,'(1) </math>. Därför:
+
::<math> f\,'(x) = 3\,x^2 </math>
  
::<math> k \, = \, f\,'(1) </math>
+
::<math> c = 2,081\,666 </math>
  
Från uppgiftens [[2.3_Lösning_8a|<strong><span style="color:blue">del a)</span></strong>]] har vi att <math> f\,'(1) = 4 </math>. Således:
+
Tangenten<span style="color:black">:</span> <math> {\color{White} x} y \, = \, k\,x \, + \, m </math>
  
::<math> k \, = \, 4 </math>
+
Tangentens lutning = kurvans lutning i &nbsp;&nbsp; <math> x = 2,081\,666 </math> &nbsp;&nbsp;. Därför:
  
Tangentens ekvation:
+
::<math> k = f\,'(2,081\,666) = 3\cdot 2,081\,666^2 = 13</math>
  
::<math> y \, = \, 4\,x \, + \, m </math>
+
Tangentens ekvation<span style="color:black">:</span> <math> {\color{White} x} y \, = \, 13\,x \, + \, m </math>
  
 
Beröringspunktens koordinater:
 
Beröringspunktens koordinater:
  
::<math> x = 1 </math>
+
::<math> x = 2,081\,666 </math>
::<math> y = f(1) = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 3 - 2 - 4 = -3 </math>
+
::<math> y = f(2,081\,666) = 2,081\,666^3 = 9,020\,553 </math>
  
 
Beröringspunkten ligger på tangenten:
 
Beröringspunkten ligger på tangenten:
  
:<math>\begin{array}{rcl}  y & = & 4\,x \, + \, m         \\
+
:<math>\begin{array}{rcl}  y & = & 13\,x \, + \, m               \\
                          -3 & = & 4 \cdot 1 \, + \, m  \\
+
                  9,020\,553 & = & 13 \cdot 2,081\,666 \, + \, m  \\
                          -3 & = & 4 \, + \, m             \\
+
                  9,020\,553 & = & 27,061\,658 \, + \, m         \\
                      -3 - 4 & = & m                       \\
+
                -18,041\,105 & = & m                             \\
                        - 7 & = & m
+
 
       \end{array}</math>
 
       \end{array}</math>
  
 
Tangentens ekvation:
 
Tangentens ekvation:
  
::<math> y \, = \, 4\,x \, - \, 7 </math>
+
::<math> y \, = \, 13\,x \, - \, 18,041\,105 </math>

Nuvarande version från 5 december 2014 kl. 17.13

Vi har:

\[ f(x) = \, x^3 \]
\[ f\,'(x) = 3\,x^2 \]
\[ c = 2,081\,666 \]

Tangenten: \( {\color{White} x} y \, = \, k\,x \, + \, m \)

Tangentens lutning = kurvans lutning i    \( x = 2,081\,666 \)   . Därför:

\[ k = f\,'(2,081\,666) = 3\cdot 2,081\,666^2 = 13\]

Tangentens ekvation: \( {\color{White} x} y \, = \, 13\,x \, + \, m \)

Beröringspunktens koordinater:

\[ x = 2,081\,666 \]
\[ y = f(2,081\,666) = 2,081\,666^3 = 9,020\,553 \]

Beröringspunkten ligger på tangenten:

\[\begin{array}{rcl} y & = & 13\,x \, + \, m \\ 9,020\,553 & = & 13 \cdot 2,081\,666 \, + \, m \\ 9,020\,553 & = & 27,061\,658 \, + \, m \\ -18,041\,105 & = & m \\ \end{array}\]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, 13\,x \, - \, 18,041\,105 \]