Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 4g"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(11 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
::<math>\begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\
+
Derivatans nollställen från 4f):
−
                          f''(x) & = & -18\,x  + 36
+
−
        \end{array}</math>
+
  
−
b) &nbsp; Derivatan är en 2:a gradsfunktion och har två reella nollställen. För att få reda på dem sätter vi derivatan till <math> \, 0 </math>:
+
:::<math> \begin{array}{rcl}  x_1 &  = & 1  \\
 +
                              x_2 &  = & 3
 +
          \end{array}</math>
  
−
::<math>\begin{array}{rcrcl}  V'(t) & = & -9\,t^2 + 54\,t - 72 & = & 0  \\
+
Vi väljer [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">metoden med andraderivata</span></strong>]] för att skilja mellan minimum och maximum:
−
                                    &  &    t^2 - 6 \,t +  8 & = & 0
+
−
        \end{array}</math>
+
  
−
:2:a gradsekvationen kan enkelt och snabbt lösas med [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Vieta</span></strong>]]:
+
::<math> \begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\
−
 
+
                          f''(x) & = & -18\,x  + 36
−
:::::::<math> \begin{array}{rcl} t_1 \cdot t_2 &     =   & 8        \\
+
        \end{array}</math>
−
                                t_1  +  t_2 &    =    & -(-6) = 6 \\
+
−
                                              &\Downarrow&          \\
+
−
                                          t_1 &     =   & 2        \\
+
−
                                          t_2 &    =    & 4
+
−
              \end{array}</math>
+
  
−
:Dvs <math> V'(2) = V'(4) = 0\, </math> vilket innebär att tangenterna till kurvan <math> V(t)\, </math> i punkterna <math> t_1 = 2 \, </math> och <math> t_2 = 4 \, </math> har lutningen <math> 0\, </math> dvs är horisontella. Horisontella tangenter kan innebära att kurvan har maximum eller minimum i dessa punkter. För att skilja mellan maximum och minimum har vi två metoder till förfogande: andraderivatan och teckentabellen. Vi använder dem en i taget:
+
<b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = 1 \quad {\color{White} x} </math>
−
----
+
  
 +
Vi sätter in <math> x_1 = 1 \, </math> i andraderivatan:
  
−
:'''1) &nbsp; Lösning med andraderivata:'''
+
::<math> f''(1) \, = \, -18\cdot 1 + 36 = 18 > 0 </math>
  
−
:[[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">Reglerna om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]] som kräver andraderivatans tecken tillämpas enskilt på vart och ett nollställe till derivatan.  
+
Andraderivatan är positiv för <math> x_1 = 1 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = 1 \, </math>.
  
−
:<b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} t_1 = 2 \quad {\color{White} x} </math>
+
<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 3 \quad {\color{White} x} </math>
  
−
:Vi sätter in <math> t_1 = 2 \, </math> i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
+
Vi sätter in <math> x_2 = 3 \, </math> in i andraderivatan:
  
−
::<math> V''(t) \, = \, -18\,t + 54 </math>
+
::<math> f''(3) \, = \, -18\cdot 3 + 36 = -18 < 0 </math>
  
−
::<math> V''(2) \, = \, -18\cdot 2 + 54 = 18 > 0 </math>
+
Andraderivatan är negativ för <math> x_2 = 3 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> x_2 = 3 \, </math>.
  
−
:Andraderivatan är positiv för <math> t_1 = 2 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> V(t) \, </math> har ett <strong><span style="color:red">minimum</span></strong> i <math> t_1 = 2 \, </math>.
+
Extrempunkternas koordinater:
  
−
:<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} t_2 = 4 \quad {\color{White} x} </math>
+
::<math> f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math>
  
−
:Vi sätter in <math> t_2 = 4 \, </math> in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
+
::<math> f(1) = - 3\cdot 1^3 + 18\cdot 1^2 - 27\cdot 1 + 14 = 2 </math>
  
−
::<math> V''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 </math>
+
::<math> f(3) = - 3\cdot 3^3 + 18\cdot 3^2 - 27\cdot 3 + 14 = 14 </math>
  
−
:Andraderivatan är negativ för <math> t_2 = 4 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> V(t) \, </math> har ett <strong><span style="color:red">maximum</span></strong> i <math> t_2 = 4 \, </math>.
+
Minimipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> {\color{White} x} \quad (1,\, 2) </math>
  
−
:Alltså har företaget sin största vinst efter <math> t_2 = 4 \, </math> år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
+
Maximipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> {\color{White} x} \quad (3,\, 14) </math>

Nuvarande version från 13 december 2014 kl. 19.24

Derivatans nollställen från 4f):

\[ \begin{array}{rcl} x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & 3 \end{array}\]

Vi väljer metoden med andraderivata för att skilja mellan minimum och maximum:

\[ \begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\ f''(x) & = & -18\,x + 36 \end{array}\]

Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 1 \quad {\color{White} x} \)

Vi sätter in \( x_1 = 1 \, \) i andraderivatan:

\[ f''(1) \, = \, -18\cdot 1 + 36 = 18 > 0 \]

Andraderivatan är positiv för \( x_1 = 1 \, \). Slutsats: \( f(x) \, \) har ett minimum i \( x_1 = 1 \, \).

Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = 3 \quad {\color{White} x} \)

Vi sätter in \( x_2 = 3 \, \) in i andraderivatan:

\[ f''(3) \, = \, -18\cdot 3 + 36 = -18 < 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( x_2 = 3 \, \). Slutsats: \( f(x) \, \) har ett maximum i \( x_2 = 3 \, \).

Extrempunkternas koordinater:

\[ f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 \]
\[ f(1) = - 3\cdot 1^3 + 18\cdot 1^2 - 27\cdot 1 + 14 = 2 \]
\[ f(3) = - 3\cdot 3^3 + 18\cdot 3^2 - 27\cdot 3 + 14 = 14 \]

Minimipunktens koordinater: \( {\color{White} x} \quad (1,\, 2) \)

Maximipunktens koordinater: \( {\color{White} x} \quad (3,\, 14) \)

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.2_Lösning_4g&oldid=19076"