Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 4g"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (8 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | Derivatans nollställen från 4f): | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
:::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & 1 \\ | :::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & 1 \\ | ||
| Rad 9: | Rad 5: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | Vi väljer [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">metoden med andraderivata</span></strong>]] för att skilja mellan minimum och maximum: | |
| − | : | + | ::<math> \begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\ |
| + | f''(x) & = & -18\,x + 36 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| − | : | + | <b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = 1 \quad {\color{White} x} </math> |
| − | + | Vi sätter in <math> x_1 = 1 \, </math> i andraderivatan: | |
::<math> f''(1) \, = \, -18\cdot 1 + 36 = 18 > 0 </math> | ::<math> f''(1) \, = \, -18\cdot 1 + 36 = 18 > 0 </math> | ||
| − | + | Andraderivatan är positiv för <math> x_1 = 1 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = 1 \, </math>. | |
| − | + | <b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 3 \quad {\color{White} x} </math> | |
| − | + | Vi sätter in <math> x_2 = 3 \, </math> in i andraderivatan: | |
::<math> f''(3) \, = \, -18\cdot 3 + 36 = -18 < 0 </math> | ::<math> f''(3) \, = \, -18\cdot 3 + 36 = -18 < 0 </math> | ||
| − | + | Andraderivatan är negativ för <math> x_2 = 3 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> x_2 = 3 \, </math>. | |
| + | |||
| + | Extrempunkternas koordinater: | ||
| + | |||
| + | ::<math> f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> f(1) = - 3\cdot 1^3 + 18\cdot 1^2 - 27\cdot 1 + 14 = 2 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> f(3) = - 3\cdot 3^3 + 18\cdot 3^2 - 27\cdot 3 + 14 = 14 </math> | ||
| + | |||
| + | Minimipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> {\color{White} x} \quad (1,\, 2) </math> | ||
| + | |||
| + | Maximipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> {\color{White} x} \quad (3,\, 14) </math> | ||
Nuvarande version från 13 december 2014 kl. 19.24
Derivatans nollställen från 4f):
- \[ \begin{array}{rcl} x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & 3 \end{array}\]
Vi väljer metoden med andraderivata för att skilja mellan minimum och maximum:
- \[ \begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\ f''(x) & = & -18\,x + 36 \end{array}\]
Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 1 \quad {\color{White} x} \)
Vi sätter in \( x_1 = 1 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(1) \, = \, -18\cdot 1 + 36 = 18 > 0 \]
Andraderivatan är positiv för \( x_1 = 1 \, \). Slutsats: \( f(x) \, \) har ett minimum i \( x_1 = 1 \, \).
Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = 3 \quad {\color{White} x} \)
Vi sätter in \( x_2 = 3 \, \) in i andraderivatan:
- \[ f''(3) \, = \, -18\cdot 3 + 36 = -18 < 0 \]
Andraderivatan är negativ för \( x_2 = 3 \, \). Slutsats: \( f(x) \, \) har ett maximum i \( x_2 = 3 \, \).
Extrempunkternas koordinater:
- \[ f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 \]
- \[ f(1) = - 3\cdot 1^3 + 18\cdot 1^2 - 27\cdot 1 + 14 = 2 \]
- \[ f(3) = - 3\cdot 3^3 + 18\cdot 3^2 - 27\cdot 3 + 14 = 14 \]
Minimipunktens koordinater: \( {\color{White} x} \quad (1,\, 2) \)
Maximipunktens koordinater: \( {\color{White} x} \quad (3,\, 14) \)
