Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 8"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (12 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | För att kunna derivera <math> | + | För att kunna derivera <math> \, f(x) \, </math> utvecklar vi funktionsuttrycket till ett polynom som en summa av termer: |
:<math> f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} = {1 \over 3}\,(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) = </math> | :<math> f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} = {1 \over 3}\,(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) = </math> | ||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
:<math> f\,''(x) = 2\,x - 8 </math> | :<math> f\,''(x) = 2\,x - 8 </math> | ||
| − | Derivatans nollställen: | + | Derivatans nollställen = extrempunkter: |
:<math>\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ | :<math>\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ | ||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | Andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span> | + | Andraderivatans tecken och max/min<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> f\,''(2) = 2 \cdot 2 - 8 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = 2 | + | <math> f\,''(2) = 2 \cdot 2 - 8 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = 2 \, </math> är en maximipunkt. |
| + | |||
| + | <math> f\,''(6) = 2 \cdot 6 - 8 = \; 4 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_2 = 6 \, </math> är en minimipunkt. | ||
| − | |||
Extremvärden<span style="color:black">:</span> | Extremvärden<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 33: | Rad 34: | ||
:<math> f(6) = {1 \over 3} \cdot 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 12 \cdot 6 - {25 \over 3} \, = \, -{25 \over 3} </math> | :<math> f(6) = {1 \over 3} \cdot 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 12 \cdot 6 - {25 \over 3} \, = \, -{25 \over 3} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Koordinaterna<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | :<math> f(x) \, \rm har\;ett\;maximum\;i\;punkten \, \left(2,\, {7 \over 3}\right). </math> | ||
| + | :<math> f(x) \, \rm har\;ett\;minimum\;i\;punkten \, \left(6,\, -{25 \over 3}\right). </math> | ||
Nuvarande version från 22 januari 2016 kl. 10.41
För att kunna derivera \( \, f(x) \, \) utvecklar vi funktionsuttrycket till ett polynom som en summa av termer:
\[ f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} = {1 \over 3}\,(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) = \]
\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x \,- \, (x^2 - 11\,x + 25)) = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x - x^2 + 11\,x - 25) = \]
\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 12\,x^2 + 36\,x - 25) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]
Nu deriverar vi två gånger:
\[ f(x) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]
\[ f\,'(x) = x^2 - 8\,x + 12 \]
\[ f\,''(x) = 2\,x - 8 \]
Derivatans nollställen = extrempunkter:
\[\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ {\rm Vieta:} & & x_1 & = & 2 \\ & & x_2 & = & 6 \end{array}\]
Andraderivatans tecken och max/min:
\( f\,''(2) = 2 \cdot 2 - 8 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = 2 \, \) är en maximipunkt.
\( f\,''(6) = 2 \cdot 6 - 8 = \; 4 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_2 = 6 \, \) är en minimipunkt.
Extremvärden:
\[ f(2) = {1 \over 3} \cdot 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - {25 \over 3} \, = \, {7 \over 3} \]
\[ f(6) = {1 \over 3} \cdot 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 12 \cdot 6 - {25 \over 3} \, = \, -{25 \over 3} \]
Koordinaterna:
\[ f(x) \, \rm har\;ett\;maximum\;i\;punkten \, \left(2,\, {7 \over 3}\right). \] \[ f(x) \, \rm har\;ett\;minimum\;i\;punkten \, \left(6,\, -{25 \over 3}\right). \]
