Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Terasspunkter)
m
 
(574 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[3.3 Kurvkonstruktion med derivata|Teori]]}}
+
{{Selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Kurvkonstruktion med derivata|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Terasspunkter|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Extremvärdesproblem|--> Nästa avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 31 Kurvkonstruktion med derivata I Ruta.pdf|Lektion 31 Kurvkonstruktion med derivata I]]
+
<!-- [[Media: Lektion 25 Terasspunkter Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 25 Terasspunkter</span></b>]] -->
  
−
[[Media: Lektion 32 Kurvkonstruktion med derivata II Ruta.pdf|Lektion 32 Kurvkonstruktion med derivata II]]
+
<big>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Vad är en terasspunkt?</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>[[Image: Kritiska punkter.jpg]]
  
−
__TOC__
+
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
&nbsp;&nbsp;<big>Bilden visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen <math> \, 0 \, </math>:</big>
  
  
−
== Terasspunkter ==
+
* &nbsp;&nbsp; <big>Ett minimum i <math> \, x = -2 \, </math> där gäller<span style="color:black">:</span> <math> \,\, f\,'(-2) \, = \, 0 </math>.</big>
  
−
I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs maxima eller minima:
+
* <div class="ovnE">En <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = 0 \quad </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; <span style="color:black">:</span> <math> \, f\,'(0) \quad = \, 0 </math>.
 +
</div>
  
−
* Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> och andraderivatan <math> \, < \, 0 \, </math> eller <math> \, > \, 0 \, </math> dvs <math> \, \neq \, 0 \, </math>.
+
* &nbsp;&nbsp; <big>Ett maximum i <math> \, x = 2 \, </math> där gäller&nbsp; <span style="color:black">:</span> <math> \,\, f\,'(2) \quad = \, 0 </math>.</big>
 +
  </td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
* Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> och derivatan byter tecken kring sitt nollställe.
 
  
−
Båda metoder uteslöt följande alternativ:
+
Generellt gäller:
  
−
* Både funktionens derivata och andraderivata <math> \, = \, 0 \, </math>.
+
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om terasspunkt med derivator</span></b> ====
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math> f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; {\color {Red} {f\,'''(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \; x = a \; </math>.
 +
----
 +
Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = f\,'''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt&nbsp; [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]]&nbsp; eller högre derivator avgöra saken.<br>
 +
</div>
  
−
* Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> och derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe, utan behåller sitt tecken.
 
  
−
Detta alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata <math> \, = \, 0 \, </math> eller om funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> och behåller sitt tecken kring sitt nollställe?
+
Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.
  
−
Ett sådant fall föreligger i följande enkelt exempel:
+
==== <b><span style="color:#931136">Kritiska punkter</span></b> ====
  
−
:::<math> f(x) \, = \, x^3 </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
En punkt <math> \, x = a \, </math> kallas för <b><span style="color:red">kritisk punkt</span></b> om <math> \, f\,'(a) = 0 \, </math>.
 +
----
 +
En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt, se grafen ovan.
 +
----
 +
Att vara maximi-, minimi- eller terasspunkt kallas för den kritiska punktens <b><span style="color:red">karaktär</span></b> eller <b><span style="color:red">typ</span></b>.
 +
</div>
  
−
::<math> f'(x) \, = \, 3\,x^2 </math>
 
  
−
::<math> f''(x) \, = \, 6\,x </math>
+
<div class="ovnE"><small>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på terasspunkt med derivator</span></b> ====
 +
Undersök med derivator vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.
  
−
[[Image: Terasspunkt 1.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Terasspunkt 2.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Terasspunkt 3.jpg]]
 
  
 +
'''Lösning med derivator:'''
  
−
+++ För att få reda på +++
+
[[Image: Terasspunkt 1.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Terasspunkt 2.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Terasspunkt 3.jpg]]
  
−
== Regeln om terasspunkter ==
+
::<math>\begin{array}{rclclcl}  f(x) & = & x\,^3  &                &    \\
 +
                          f'(x) & = & 3\,x\,^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0  \\
 +
                          f''(x) & = & 6\,x  & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0  \\
 +
                        f'''(x) & = & 6      & \Longrightarrow & f'''(0) = 6  & \neq & 0
 +
        \end{array}</math>
  
−
Två kriterier behövs för att få reda på en funktions maxima och minima: ett om derivatans nollställen, ett om andraderivatans tecken. Båda måste vara uppfyllda. Följande regler gäller:
+
Vi ser att <math> \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, </math> och <math> \, f\,'''(0) \neq 0 </math>. Av regeln ovan följer att <math> \, f(x)\, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = 0 \, </math> som visas på bilden till vänster.
 +
</small></div>
  
−
<span style="color:white">:</span>
 
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 15px;padding:10px 20px 10px 20px;-webkit-border-radius: 15px;">
 
−
<big>'''Derivatans nollställen och andraderivatans tecken avgör för vilka <math>\, x </math> en funktion har maxima resp. minima''':
 
  
 +
'''Bilden i mitten''' visar att derivatan <math> \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, </math> endast har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math> som är en [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]]. Dvs kurvan skär inte <math> \, x</math>-axeln, utan ''berör'' den endast. Med andra ord, derivatan byter inte tecken i <math> \, x = 0 \, </math> utan är positiv på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math>. Av detta följer att själva funktionen <math> \, f(x) = x^3 \, </math> är växande på båda sidor av <math> \, x = 0 \, </math> <math>-</math> ett kännetecken för terasspunkter. Generellt gäller:
  
−
Funktionen <math> {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} </math> har ett <strong><span style="color:red">maximum</span></strong> i <math> {\color{White} x} x = a {\color{White} x}  </math> om derivatan <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> och andraderivatan <math> {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en terasspunkt i <math> \; x = a \qquad\;\;\, \Longrightarrow \qquad\quad f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math>.
 
----
 
----
−
Funktionen <math> {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} </math> har ett <strong><span style="color:red">minimum</span></strong> i <math> {\color{White} x} x = a {\color{White} x} </math> om derivatan <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> och andraderivatan <math> {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 {\color{White} x}. </math>
+
<math> f\,(x) \, </math> är ett tredjegradspolynom som har en terasspunkt <math> \quad \Longrightarrow \quad f\,'(x) \, </math> är ett andragradspolynom som
−
----
+
−
Om derivatan <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> och andraderivatan <math> {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 {\color{White} x} </math> har funktionen varken ett maximum eller ett minimum.
+
−
</big></div>
+
  
 +
endast har <b><span style="color:red">ett</span></b> nollställe, dvs nollstället är en dubbelrot.
 +
</div>
  
 +
 +
Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:
 +
 +
 +
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om terasspunkt med teckenstudie</span></b> ====
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math> f\,'(a) = 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) </math> <b><span style="color:red">inte byter tecken</span></b> i <math> \, x=a \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \; x = a \; </math>.
 +
<br>
 +
</div>
 +
 +
Med andra ord, i en terasspunkt <math> \, x=a </math> måste derivatan vara <math> \, 0 </math>, utan att byta tecken i <math> \, a </math>, dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på <i>båda</i> sidor av <math> \, x=a </math>.
 +
 +
 +
<div class="ovnE"><small>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på terasspunkt med teckenstudie</span></b> ====
 +
Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>.
 +
 +
'''Lösning med teckenstudie:'''
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>Reglerna ovan säger i ord:
+
   <td>Vi hade redan bestämt att
  
 +
derivatan var <math> \, 0 </math> för <math> \, x = 0 \, </math>:
  
  
  
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
::<math> f(x) = x^3 </math>
  
−
  </td>
+
::<math> f'(x) = 3\,x^2 </math>
−
  <td>Där derivatan är <math> \, 0 </math> och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum.
+
  
−
Där derivatan är <math> \, 0 </math> och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum.
+
::<math> f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 </math>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället <math> \, x = 0 </math>.
  
−
Där både derivatan och andraderivatan är <math> \, 0 </math> föreligger varken ett maximum eller ett minimum. Vad som gäller då behandlas i [[3.3 Kurvkonstruktion med derivata|<strong><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></strong>]].
+
Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = -0,1 </math> och <math> \, x = 0,1 </math> och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:
 +
 
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
::<math> f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 </math>
 +
 
 +
::<math> f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 </math>
 +
</td>
 +
  <td>                <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:50px;">
 +
  <tr>
 +
    <td><math>x</math></td>
 +
    <td><math>-0,1</math></td>
 +
    <td><math>0</math></td>
 +
    <td><math>0,1</math></td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td><math> f\,'(x) </math></td>
 +
    <td><math>+</math></td>
 +
    <td><math>0</math></td>
 +
    <td><math>+</math></td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td><math> \,f(x) </math></td>
 +
    <td> <b><big><big>&#8599;</big></big></b> </td>
 +
    <td> <b><span style="color:red">Terass</span></b> </td>
 +
    <td> <b><big><big>&#8599;</big></big></b> </td>
 +
  </tr>
 +
</table>
 
</td>
 
</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger som visar:
 +
 +
# <math> \, f\,'(0) = 0 \, </math>
 +
# Derivatan har tecknet <math>+</math> till vänster och även <math> + </math> till höger om <math> \, 0 \, </math> dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.
 +
 +
Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen <math> f(x)\, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = 0 </math>.
 +
</small></div>
 +
 +
 +
Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen att <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">kontinuerlig</span></b>]] i alla punkter av det betraktade området.
 +
 +
 +
<div class="forsmak">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Hur grafen kan lura oss</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>[[Image: Hur grafen kan lura oss.jpg]]</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>Har funktionen
 +
 +
:::::<math> f(x) = x^3 + \, 0,5\,x </math>
 +
 +
vars graf visas till vänster en terasspunkt i <math> \, x  = 0 \, </math>?
 +
 +
Kurvan är av samma typ som <math> g(x) = x^3 </math> till höger.
 +
 +
Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens
 +
 +
display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att
 +
 +
även <math> f(x) </math> har en terasspunkt i <math> x  = 0 </math> ligger nära.
 +
 +
Men <math> f\,'(0) \neq 0 </math> visar att detta inte är fallet:
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>[[Image: Hur grafen kan lura oss 2.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
:::<math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x  \\
 +
                            f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5  \\
 +
                            f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0
 +
        \end{array}</math>
 +
 +
Dvs redan första kravet i [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<b><span style="color:blue">regeln om terasspunkt med derivator</span></b>]], nämligen att derivatan ska vara <math> \, 0 \, </math> för <math> \, x  = 0 \, </math> är inte uppfyllt<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) \, </math> har ingen terasspunkt i <math> \, x  = 0 \, </math>. Grafen har lurat oss.
 +
</div> <!-- forsmak -->
 +
 +
 +
Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till <math> \, f(x) \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring <math> \, x = 0 \, </math>:
 +
 +
 +
[[Image: Inflexionspunkt 1a.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Inflexionspunkt 2a.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Inflexionspunkt 3a.jpg]]
 +
 +
 +
'''Bilden till vänster''' visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i <math> \, x = 0 </math>. Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen <math> \, 0 </math>. I beräkningen ovan hade vi fått<span style="color:black">:</span> <math> f'(x) = 0,5 \neq 0 </math>. Därmed är även tangentens lutning <math> \, 0,5 \, </math> och dess ekvation<span style="color:black">:</span> <math> y = 0,5\,x </math>. Därför föreligger i <math> \, x = 0 \, </math> inte en terasspunkt.
 +
 +
'''Bilden i mitten''' visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i <math> x = 0 </math> värdet <math> \, 0,5 \, </math>. Om detta värde hade varit <math> \, 0 \, </math> hade funktionen haft en terasspunkt i <math> x = 0 </math>.
 +
 +
'''Bilden till höger''' visar att andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>, där grafen skär <math> \, x</math>-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från <math> \, 0 \, </math>, men andraderivatan är <math> \, 0 \, </math>. Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara <math> \, 0 \, </math>. Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas <b><span style="color:red">inflexionspunkt</span></b>.
 +
 +
=== <b><span style="color:#931136">Inflexionspunkter</span></b> ===
 +
<div class="ovnC"><small>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>[[Image: Inflexionspunkt 4.jpg]]</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster,
 +
 +
svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt<span style="color:black">:</span>
 +
     
 +
<math> \, x = 2 \, </math>. Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.
 +
 +
Punkten i <math> \, x = 2 \, </math> där du byter svängriktning kallas för <b><span style="color:red">inflexionspunkt</span></b>.
 +
 +
Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng
 +
 +
(''konkav'' kurva) till en vänstersväng (''konvex'' kurva) eller tvärtom <math>-</math>
 +
 +
allt sett från vänster och underifrån.
 +
 +
På bilden finns även tangenten ritad i <math> \, x = 2 \, </math> vars lutning är negativ.
 +
 +
Hade lutningen varit <math> \, 0 \, </math> hade <math> \, x = 2 \, </math> varit en terasspunkt. Därför:
 +
  </td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.
 +
 +
Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.
 +
 +
Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen <math> \, 0 \, </math>.
 +
 +
Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.
 +
</small></div>
 +
 +
==== <b><span style="color:#931136">Regeln om inflexionspunkter</span></b> ====
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math> f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> har en <b><span style="color:red">inflexionspunkt</span></b> i <math> \; x = a \; </math>.
 +
----
 +
Om dessutom <math> \; f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> är <math> \; x = a \; </math> en terasspunkt. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (Samma som [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<b><span style="color:blue">tidigare</span></b>]])
 +
----
 +
En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.
 +
</div>
 +
 +
För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till <math> \, 0 \, </math> och beräknar<math> \, x </math>, dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från <math> \, 0 \, </math> för andraderivatans nollställen.
 +
 +
I inflexionspunkter går funktionens graf över från en konkav kurva till en konvex kurva eller tvärtom. När är en funktion konvex eller konkav?
 +
 +
 +
 +
=== <b><span style="color:#931136">Konvexa och konkava funktioner</span></b> ===
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math> f\,''(x) > 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är <b><span style="color:red">konvex</span></b> i intervallet.
 +
 +
T.ex. är kurvan konvex till höger om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
 +
----
 +
<math> f\,''(x) < 0 \, </math> i ett visst intervall <math> \; \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> är <b><span style="color:red">konkav</span></b> i intervallet.
 +
 +
T.ex. är kurvan konkav till vänster om inflexionspunkten <math> \, x = 2 \, </math> i grafen ovan.
 +
----
 +
Allt sett från vänster och underifrån, dvs i axlarnas växande riktning.
 +
</div>
 +
</big>
 +
  
  
−
== Ingen terasspunkt ==
 
  
  
−
== Globala maxima och minima ==
 
  
  
−
== Exempel på kurvkonstruktion ==
 
  
  
−
== Ett lurigt fall ==
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2019 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 28 februari 2019 kl. 15.41

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Vad är en terasspunkt?

Kritiska punkter.jpg     

  Bilden visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen \( \, 0 \, \):


  •    Ett minimum i \( \, x = -2 \, \) där gäller: \( \,\, f\,'(-2) \, = \, 0 \).
  • En terasspunkt i \( \, x = 0 \quad \)     : \( \, f\,'(0) \quad = \, 0 \).
  •    Ett maximum i \( \, x = 2 \, \) där gäller  : \( \,\, f\,'(2) \quad = \, 0 \).


Generellt gäller:

Regeln om terasspunkt med derivator

\( f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; {\color {Red} {f\,'''(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \; \).

Om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = f\,'''(a) = 0 \, \) kan endast en korrekt  teckenstudie  eller högre derivator avgöra saken.


Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.

Kritiska punkter

En punkt \( \, x = a \, \) kallas för kritisk punkt om \( \, f\,'(a) = 0 \, \).

En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt, se grafen ovan.

Att vara maximi-, minimi- eller terasspunkt kallas för den kritiska punktens karaktär eller typ.


Exempel på terasspunkt med derivator

Undersök med derivator vilken typ av kritisk punkt funktionen \( \, f(x) = x\,^3 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \, \).


Lösning med derivator:

Terasspunkt 1.jpg      Terasspunkt 2.jpg      Terasspunkt 3.jpg

\[\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x\,^3 & & \\ f'(x) & = & 3\,x\,^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\ f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\ f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0 \end{array}\]

Vi ser att \( \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, \) och \( \, f\,'''(0) \neq 0 \). Av regeln ovan följer att \( \, f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \) som visas på bilden till vänster.


Bilden i mitten visar att derivatan \( \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, \) endast har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \) som är en dubbelrot. Dvs kurvan skär inte \( \, x\)-axeln, utan berör den endast. Med andra ord, derivatan byter inte tecken i \( \, x = 0 \, \) utan är positiv på båda sidor av \( \, x = 0 \, \). Av detta följer att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande på båda sidor av \( \, x = 0 \, \) \(-\) ett kännetecken för terasspunkter. Generellt gäller:

Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \qquad\;\;\, \Longrightarrow \qquad\quad f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; \).

\( f\,(x) \, \) är ett tredjegradspolynom som har en terasspunkt \( \quad \Longrightarrow \quad f\,'(x) \, \) är ett andragradspolynom som

endast har ett nollställe, dvs nollstället är en dubbelrot.


Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:


Regeln om terasspunkt med teckenstudie

\( f\,'(a) = 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \) inte byter tecken i \( \, x=a \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \; \).

Med andra ord, i en terasspunkt \( \, x=a \) måste derivatan vara \( \, 0 \), utan att byta tecken i \( \, a \), dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på båda sidor av \( \, x=a \).


Exempel på terasspunkt med teckenstudie

Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen \( \, f(x) = x\,^3 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \, \).

Lösning med teckenstudie:

Vi hade redan bestämt att

derivatan var \( \, 0 \) för \( \, x = 0 \, \):


     
\[ f(x) = x^3 \]
\[ f'(x) = 3\,x^2 \]
\[ f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 \]

Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället \( \, x = 0 \).

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = -0,1 \) och \( \, x = 0,1 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
\[ f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
\(x\) \(-0,1\) \(0\) \(0,1\)
\( f\,'(x) \) \(+\) \(0\) \(+\)
\( \,f(x) \) ↗ Terass ↗

Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger som visar:

  1. \( \, f\,'(0) = 0 \, \)
  2. Derivatan har tecknet \(+\) till vänster och även \( + \) till höger om \( \, 0 \, \) dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.

Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).


Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen att \( \; y \, = \, f(x) \; \) är kontinuerlig i alla punkter av det betraktade området.


Hur grafen kan lura oss

Hur grafen kan lura oss.jpg        Har funktionen
\[ f(x) = x^3 + \, 0,5\,x \]

vars graf visas till vänster en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)?

Kurvan är av samma typ som \( g(x) = x^3 \) till höger.

Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens

display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att

även \( f(x) \) har en terasspunkt i \( x = 0 \) ligger nära.

Men \( f\,'(0) \neq 0 \) visar att detta inte är fallet:

       Hur grafen kan lura oss 2.jpg
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\ f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\ f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0 \end{array}\]

Dvs redan första kravet i regeln om terasspunkt med derivator, nämligen att derivatan ska vara \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \) är inte uppfyllt: \( \, f(x) \, \) har ingen terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Grafen har lurat oss.


Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till \( \, f(x) \, \) i \( \, x = 0 \, \). Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring \( \, x = 0 \, \):


Inflexionspunkt 1a.jpg      Inflexionspunkt 2a.jpg      Inflexionspunkt 3a.jpg


Bilden till vänster visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i \( \, x = 0 \). Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen \( \, 0 \). I beräkningen ovan hade vi fått: \( f'(x) = 0,5 \neq 0 \). Därmed är även tangentens lutning \( \, 0,5 \, \) och dess ekvation: \( y = 0,5\,x \). Därför föreligger i \( \, x = 0 \, \) inte en terasspunkt.

Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i \( x = 0 \) värdet \( \, 0,5 \, \). Om detta värde hade varit \( \, 0 \, \) hade funktionen haft en terasspunkt i \( x = 0 \).

Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \), där grafen skär \( \, x\)-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från \( \, 0 \, \), men andraderivatan är \( \, 0 \, \). Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara \( \, 0 \, \). Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.

Inflexionspunkter

Inflexionspunkt 4.jpg       Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster,

svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt:

\( \, x = 2 \, \). Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.

Punkten i \( \, x = 2 \, \) där du byter svängriktning kallas för inflexionspunkt.

Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng

(konkav kurva) till en vänstersväng (konvex kurva) eller tvärtom \(-\)

allt sett från vänster och underifrån.

På bilden finns även tangenten ritad i \( \, x = 2 \, \) vars lutning är negativ.

Hade lutningen varit \( \, 0 \, \) hade \( \, x = 2 \, \) varit en terasspunkt. Därför:

Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.

Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.

Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen \( \, 0 \, \).

Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.

Regeln om inflexionspunkter

\( f\,''(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) har en inflexionspunkt i \( \; x = a \; \).

Om dessutom \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) är \( \; x = a \; \) en terasspunkt.            (Samma som tidigare)

En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.

För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till \( \, 0 \, \) och beräknar\( \, x \), dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från \( \, 0 \, \) för andraderivatans nollställen.

I inflexionspunkter går funktionens graf över från en konkav kurva till en konvex kurva eller tvärtom. När är en funktion konvex eller konkav?


Konvexa och konkava funktioner

\( f\,''(x) > 0 \, \) i ett visst intervall \( \; \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \, y = f(x) \, \) är konvex i intervallet.

T.ex. är kurvan konvex till höger om inflexionspunkten \( \, x = 2 \, \) i grafen ovan.

\( f\,''(x) < 0 \, \) i ett visst intervall \( \; \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \, y = f(x) \, \) är konkav i intervallet.

T.ex. är kurvan konkav till vänster om inflexionspunkten \( \, x = 2 \, \) i grafen ovan.

Allt sett från vänster och underifrån, dvs i axlarnas växande riktning.





Copyright © 2011-2019 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.3_Terasspunkter&oldid=36534"