Skillnad mellan versioner av "3.3 Lösning 5a"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (9 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
Derivatan har två nollställen, ett i <math> x_1 = 0 </math> och ett i <math> x_2 = -1 </math>. | Derivatan har två nollställen, ett i <math> x_1 = 0 </math> och ett i <math> x_2 = -1 </math>. | ||
| − | <b>Nollställe 1:</b> <math> | + | <b>Nollställe 1:</b> <math> \; x_1 = 0 </math> |
:Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i andraderivatan: | :Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i andraderivatan: | ||
| Rad 25: | Rad 25: | ||
::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 </math> | ::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 </math> | ||
| − | Enligt [[3.3_Terasspunkter# | + | :Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkt med derivator</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \ | + | ::<math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} </math> |
| − | <b>Nollställe 2:</b> <math> | + | :Terasspunktens <math> \, y</math>-koordinat: |
| + | |||
| + | ::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ | ||
| + | f(0) & = & 3\cdot 0^4 + 4\cdot 0^3 \, = \, 3\cdot 0 + 4\cdot 0 \, = \, 0 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | :Terasspunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> (0, 0) </math> | ||
| + | |||
| + | <b>Nollställe 2:</b> <math> \; x_2 = -1 </math> | ||
:Vi sätter in <math> x_2 = -1 \, </math> i andraderivatan: | :Vi sätter in <math> x_2 = -1 \, </math> i andraderivatan: | ||
| Rad 35: | Rad 43: | ||
::<math> f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 </math> | ::<math> f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 </math> | ||
| − | Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima# | + | :Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">regler om max/min med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> |
| + | |||
| + | ::<math> \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;minimipunkt.} </math> | ||
| + | |||
| + | :Minimipunktens <math> \, y</math>-koordinat: | ||
| + | |||
| + | ::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ | ||
| + | f(-1) & = & 3\cdot (-1)^4 + 4\cdot (-1)^3 \, = \, 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) \, = \, 3 - 4 \, = \, -1 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | :Minimipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> (-1, -1) </math> | ||
| + | |||
| − | <math> | + | <math> f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; (0, 0) \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; (-1, -1) \;\; {\rm en\;minimipunkt.} </math> |
Nuvarande version från 19 december 2015 kl. 16.03
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x \\ f'''(x) & = & 72\,x + 24 \end{array}\]
Derivatans nollställen:
\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 & = & 0 \\ & & 12\,x^2\,(x + 1) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & x_2 & = & -1 \end{array}\]
Derivatan har två nollställen, ett i \( x_1 = 0 \) och ett i \( x_2 = -1 \).
Nollställe 1: \( \; x_1 = 0 \)
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(0) \, = \, 36\cdot 0^2 + 24\cdot 0 = 0 \]
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i tredjederivatan:
- \[ f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 \]
- \[ \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} \]
- Terasspunktens \( \, y\)-koordinat:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f(0) & = & 3\cdot 0^4 + 4\cdot 0^3 \, = \, 3\cdot 0 + 4\cdot 0 \, = \, 0 \end{array}\]
- Terasspunktens koordinater: \( (0, 0) \)
Nollställe 2: \( \; x_2 = -1 \)
- Vi sätter in \( x_2 = -1 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 \]
- \[ \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;minimipunkt.} \]
- Minimipunktens \( \, y\)-koordinat:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f(-1) & = & 3\cdot (-1)^4 + 4\cdot (-1)^3 \, = \, 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) \, = \, 3 - 4 \, = \, -1 \end{array}\]
- Minimipunktens koordinater: \( (-1, -1) \)
\( f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; (0, 0) \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; (-1, -1) \;\; {\rm en\;minimipunkt.} \)
