Skillnad mellan versioner av "1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (47 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[1. | + | {{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| << Förra avsnitt]]}} |
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}} | {{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}} | ||
{{Selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}} | {{Selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}} | {{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt | + | {{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | <Big><Big><Big><span style="color:# | + | <Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big> |
| + | == <b>Övning 1</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion. | Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion. | ||
| Rad 27: | Rad 27: | ||
| + | == <b>Övning 2</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
a) Rita grafen till den diskreta funktionen | a) Rita grafen till den diskreta funktionen | ||
| Rad 48: | Rad 48: | ||
| + | == <b>Övning 3</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | + | På bilden visas grafen till en funktion. | |
| − | På bilden visas grafen till en funktion. Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen har längdenheten <math> 1\, </math>. | + | |
| + | Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd, | ||
| + | |||
| + | medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. | ||
| + | |||
| + | Anta att varje ruta i grafen har längdenheten <math> 1\, </math>. | ||
[[Image: Övn 3 60a.jpg]] | [[Image: Övn 3 60a.jpg]] | ||
| Rad 58: | Rad 64: | ||
b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>? | b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>? | ||
| − | c) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> | + | c) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad i det ritade intervallet? |
| − | d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> | + | d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig i det ritade intervallet? |
Motivera dina svar. | Motivera dina svar. | ||
| Rad 67: | Rad 73: | ||
| + | == <b>Övning 4</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | + | Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, | |
| − | Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>. | + | |
| + | medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. | ||
| + | |||
| + | Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>. | ||
[[Image: Övn 4 60.jpg]] | [[Image: Övn 4 60.jpg]] | ||
| Rad 79: | Rad 89: | ||
c) Är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet? | c) Är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet? | ||
| − | d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig? | + | d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig? |
Motivera dina svar. | Motivera dina svar. | ||
| Rad 86: | Rad 96: | ||
| + | == <b>Övning 5</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | + | Använd kalkylprogrammet Excel för att lösa följande uppgifter: | |
| − | + | ||
| − | a) | + | a) I genomgången beräknades de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen. |
| − | + | :Komplettera beräkningen med ytterligare <math> \, 12 \, </math> fibonaccital, dvs beräkna <math> \, F(13) - F(24) </math>. | |
| − | + | :Hur många kaninpar kommer att finnas om två år? | |
| + | b) I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen. | ||
| + | |||
| + | :Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen <math> F(12) - F(24) </math>. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5a Svar 5a|Svar 5b|1.5a Svar 5b}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5a Svar 5a|Svar 5b|1.5a Svar 5b}}</div> | ||
| Rad 104: | Rad 117: | ||
| + | == <b>Övning 6</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | + | Använd Excel för att beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. | |
| − | Använd Excel för att beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math> | + | |
| − | Fortsätt i Excel med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} </math> för varje <math> \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. | + | Följ algoritmen i Excel som visades i genomgången. |
| + | <big>{{#NAVCONTENT:Klicka här för att se algoritmen.|Algoritm i Excel}}</big> | ||
| + | |||
| + | Fortsätt i Excel med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} </math> för varje <math> \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. OBS! <math> \, F(0) \, = \, 0 </math>. | ||
a) Mot vilket värde går kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, </math> när <math> n\, </math> växer? Ange svaret med <math> \, 9 \, </math> decimaler. | a) Mot vilket värde går kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, </math> när <math> n\, </math> växer? Ange svaret med <math> \, 9 \, </math> decimaler. | ||
| − | Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande (skala). För att få reda på vad detta innebär lös b): | + | Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande (skala). |
| + | |||
| + | För att få reda på vad detta innebär lös b): | ||
b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>: | b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>: | ||
| Rad 118: | Rad 136: | ||
::::[[Image: Övn 6 60a.jpg]] | ::::[[Image: Övn 6 60a.jpg]] | ||
| − | Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare delen, så sägs sträckan vara delad enligt [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet < | + | Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare |
| + | |||
| + | delen, så sägs sträckan vara delad enligt [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <b><span style="color:blue">gyllene snittet</span></b>]. Översatt till ekvation blir det: | ||
::::::::<math> {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math> | ::::::::<math> {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math> | ||
| − | Lös denna ekvation exakt. Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler. Jämför resultatet med a). | + | Lös denna ekvation exakt. |
| + | |||
| + | Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler. | ||
| + | |||
| + | Jämför resultatet med a). | ||
c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet? | c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet? | ||
| Rad 129: | Rad 153: | ||
| + | == <b>Övning 7</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Rita graferna till följande funktioner. | Rita graferna till följande funktioner. | ||
| − | Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella <math> x\, </math> | + | Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella <math> x\, </math>. |
| + | Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> de är diskontinuerliga samt [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Olika_typer_av_diskontinuitet|<b><span style="color:blue">diskontuiteternas typ</span></b>]]. | ||
| + | |||
| + | Motivera dina svar. | ||
a) <math> f(x) = </math> <big><big><math> {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} </math></big></big> | a) <math> f(x) = </math> <big><big><math> {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} </math></big></big> | ||
| Rad 140: | Rad 167: | ||
b) <math> g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\ | b) <math> g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\ | ||
| − | + | -2 & \mbox{om } x > 0 \\ | |
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
| Rad 146: | Rad 173: | ||
c) <math> h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\ | c) <math> h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\ | ||
| − | + | 5 & \mbox{om } x > 1 \\ | |
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
| Rad 153: | Rad 180: | ||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | : | + | <table> |
| + | <tr> | ||
| + | <td>Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given: | ||
| + | |||
a) Ställ upp ett funktionsuttryck för <math> f(x)\, </math>. | a) Ställ upp ett funktionsuttryck för <math> f(x)\, </math>. | ||
| − | Utnyttja möjligheten att för en och samma | + | :Utnyttja möjligheten att för en och samma |
| − | + | :funktion ställa upp olika uttryck i olika | |
| + | :delar av funktionens definitionsmängd. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | b) Undersök med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition för kontinuerliga funktioner|<b><span style="color:blue">allmänna</span></b>]] | ||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \quad </math></td> | ||
| + | <td>[[Image: Övn 8.png]]</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | :[[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<b><span style="color:blue"> definitionen</span></b>]] för kontinuerliga funktioner om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5a Svar 8a|Svar 8b|1.5a Svar 8b}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5a Svar 8a|Svar 8b|1.5a Svar 8b}}</div> | ||
| Rad 173: | Rad 213: | ||
| + | == <b>Övning 9</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
::<math> y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} </math> | ::<math> y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} </math> | ||
| − | a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> \,x</math>? Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar. | + | a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> \,x</math>? |
| + | |||
| + | :Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar. | ||
b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan. | b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan. | ||
| − | c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>? Motivera ditt svar. | + | c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>? |
| + | |||
| + | :Motivera ditt svar. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.5a Svar 9a|Svar 9b|1.5a Svar 9b|Svar 9c|1.5a Svar 9c}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.5a Svar 9a|Svar 9b|1.5a Svar 9b|Svar 9c|1.5a Svar 9c}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 10</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
::<math> y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math> | ::<math> y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math> | ||
| − | a) Ange funktionens diskontinuiteter. Vilka är [[ | + | a) Ange funktionens diskontinuiteter. |
| + | |||
| + | :Vilka är [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#H.C3.A4vbara_och_icke-h.C3.A4vbara_diskontinuiteter|<b><span style="color:blue">hävbara</span></b>]] och vilka är [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#H.C3.A4vbara_och_icke-h.C3.A4vbara_diskontinuiteter|<b><span style="color:blue">icke-hävbara</span></b>]] diskontinuiteter? | ||
| + | |||
| + | b) Definiera funktionen <math>\,f(x)</math>:s [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Kontinuerlig_forts.C3.A4ttning|<b><span style="color:blue">kontinuerliga fortsättning</span></b>]] <math> \, g(x)\, </math>. | ||
| − | + | :Dvs ange en funktion som inte längre har <math> \, f(x)</math>:s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med <math> \, f(x) </math>. | |
c) Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp? | c) Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp? | ||
| Rad 203: | Rad 251: | ||
| + | == <b>Övning 11</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Fibonaccis funktion | Fibonaccis funktion | ||
| Rad 213: | Rad 261: | ||
</math> | </math> | ||
| − | är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena. Därför har den också två startvärden. | + | är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena, för att beräkna nästa värde. Därför har den också två startvärden. |
Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och har en vacker struktur: | Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och har en vacker struktur: | ||
| Rad 220: | Rad 268: | ||
Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan. | Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan. | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Ledning 11|1.5a Ledning 11|Lösning 11|1.5a Lösning 11}} | |
| − | {{#NAVCONTENT:Ledning 11|1.5a Ledning 11|Lösning 11|1.5a Lösning 11}}</div> | + | </div> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| Rad 230: | Rad 276: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 12 juni 2025 kl. 11.28
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt >> |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.
Ange även om och i så fall för vilka \( x \, \) funktionerna har diskontinuiteter.
Motivera dina svar.
Hämtar...
Övning 2
a) Rita grafen till den diskreta funktionen
- \[ y = x^2\, \]
vars definitionsmängd är alla heltal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.
b) Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen
- \[ y = x^2\, \]
vars definitionsmängd är alla reella tal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).
Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).
Övning 3
På bilden visas grafen till en funktion.
Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd,
medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.
Anta att varje ruta i grafen har längdenheten \( 1\, \).
a) Är funktionen \( f(x)\, \) diskret eller kontinuerlig?
b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?
c) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) definierad i det ritade intervallet?
d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig i det ritade intervallet?
Motivera dina svar.
Övning 4
Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd,
medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.
Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten \( 1\, \).
a) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?
b) Är funktionen \( f(x)\, \) definierad för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?
c) Är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?
d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?
Motivera dina svar.
Övning 5
Använd kalkylprogrammet Excel för att lösa följande uppgifter:
a) I genomgången beräknades de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen.
- Komplettera beräkningen med ytterligare \( \, 12 \, \) fibonaccital, dvs beräkna \( \, F(13) - F(24) \).
- Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?
b) I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen.
- Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen \( F(12) - F(24) \).
C-övningar: 6-8
Övning 6
Använd Excel för att beräkna de första \( \, 24 \, \) fibonaccitalen \( \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \).
Följ algoritmen i Excel som visades i genomgången.
Fortsätt i Excel med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \) för varje \( \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \). OBS! \( \, F(0) \, = \, 0 \).
a) Mot vilket värde går kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, \) när \( n\, \) växer? Ange svaret med \( \, 9 \, \) decimaler.
Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande (skala).
För att få reda på vad detta innebär lös b):
b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är \( \, 1 \, \) och den kortare delen är \( x\, \):
Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare
delen, så sägs sträckan vara delad enligt gyllene snittet. Översatt till ekvation blir det:
- \[ {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} \]
Lös denna ekvation exakt.
Ange dess positiva lösning - kallad \( g\, \) (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till \( g\, \) med nio decimaler.
Jämför resultatet med a).
c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?
Övning 7
Rita graferna till följande funktioner.
Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella \( x\, \).
Om inte, ange för vilka \( x\, \) de är diskontinuerliga samt diskontuiteternas typ.
Motivera dina svar.
a) \( f(x) = \) \( {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} \)
b) \( g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\
-2 & \mbox{om } x > 0 \\
\end{cases}
\)
c) \( h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\
5 & \mbox{om } x > 1 \\
\end{cases}
\)
Övning 8
| Följande graf till en funktion \( y = f(x)\, \) är given:
|
\( \quad \) |  |
- definitionen för kontinuerliga funktioner om \( f(x)\, \) är kontinuerlig för \( x = 0\, \).
A-övningar: 9-11
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} \]
a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att \( f(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( \,x\)?
- Om inte, ange för vilka \( x\, \) funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.
b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.
c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen \( f(x)\, \)?
- Motivera ditt svar.
Övning 10
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} \]
a) Ange funktionens diskontinuiteter.
- Vilka är hävbara och vilka är icke-hävbara diskontinuiteter?
b) Definiera funktionen \(\,f(x)\):s kontinuerliga fortsättning \( \, g(x)\, \).
- Dvs ange en funktion som inte längre har \( \, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( \, f(x) \).
c) Rita graferna till \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?
Övning 11
Fibonaccis funktion
- \[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \]
är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena, för att beräkna nästa värde. Därför har den också två startvärden.
Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och har en vacker struktur:
- \[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan.
Copyright © 2025 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
