Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 8a"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (9 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | För att faktorisera polynomet <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math> beräknar vi dess nollställen: | + | För att faktorisera polynomet <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math> beräknar vi dess nollställen<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 = 0 </math> | + | ::<math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 = 0 </math> |
| − | För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform: | + | För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform<span style="color:black">:</span> |
| − | <math>\begin{align} 9\,x^2 - 6\,x + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 9 \\ | + | ::<math>\begin{align} 9\,x^2 - 6\,x + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 9 \\ |
x^2-{6\over 9}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ | x^2-{6\over 9}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ | ||
x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ | x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Normalformen ger Vietas formler: | + | Normalformen ger Vietas formler<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> \begin{align} x_1 + x_2 & = {2\over 3} \\ | + | ::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = {2\over 3} \\ |
x_1 \cdot x_2 & = {1\over 9} | x_1 \cdot x_2 & = {1\over 9} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Man hittar lösningarna <math> x_1 = {1\over 3}\,</math> och <math> x_2 = {1\over 3}\,</math> eftersom | + | Man hittar lösningarna <math> x_1 = {1\over 3}\,</math> och <math> x_2 = {1\over 3}\,</math> eftersom<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> \begin{align} {1\over 3} + {1\over 3} & = {2\over 3} \\ | + | ::<math> \begin{align} {1\over 3} + {1\over 3} & = {2\over 3} \\ |
{1\over 3}\cdot {1\over 3} & = {1\over 9} | {1\over 3}\cdot {1\over 3} & = {1\over 9} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Därför har normalformen <math> x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} </math> | + | Därför har normalformen <math> \; x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} \; </math> faktoriseringen <math> \; \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) </math>. |
| − | Därmed | + | Därmed har det ursprungliga polynomet <math> \; 9\,x^2 - 6\,x + 1 \; </math> följande faktorisering: |
| − | <math> 9 \cdot (x-{1\over 3}) \cdot (x-{1\over 3}) = 3\cdot | + | ::<math> 9 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = 3\cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot 3 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = </math> |
| − | <math> = (3\,x-1)\cdot (3\,x-1) = (3\,x-1)^2 </math> | + | ::<math> = (3\,x-1)\cdot (3\,x-1) = (3\,x-1)^2 </math> |
| − | Kontroll: | + | Kontroll<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> 3 \ | + | ::<math> (3\,x-1)^2 = 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math> |
| − | + | Det sista enligt kvadreringsregeln. | |
Nuvarande version från 9 september 2016 kl. 12.17
För att faktorisera polynomet \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \) beräknar vi dess nollställen:
- \[ 9\,x^2 - 6\,x + 1 = 0 \]
För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform:
- \[\begin{align} 9\,x^2 - 6\,x + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 9 \\ x^2-{6\over 9}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ \end{align}\]
Normalformen ger Vietas formler:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = {2\over 3} \\ x_1 \cdot x_2 & = {1\over 9} \end{align}\]
Man hittar lösningarna \( x_1 = {1\over 3}\,\) och \( x_2 = {1\over 3}\,\) eftersom:
- \[ \begin{align} {1\over 3} + {1\over 3} & = {2\over 3} \\ {1\over 3}\cdot {1\over 3} & = {1\over 9} \end{align}\]
Därför har normalformen \( \; x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} \; \) faktoriseringen \( \; \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \).
Därmed har det ursprungliga polynomet \( \; 9\,x^2 - 6\,x + 1 \; \) följande faktorisering:
- \[ 9 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = 3\cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot 3 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = \]
- \[ = (3\,x-1)\cdot (3\,x-1) = (3\,x-1)^2 \]
Kontroll:
- \[ (3\,x-1)^2 = 9\,x^2 - 6\,x + 1 \]
Det sista enligt kvadreringsregeln.
