Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(445 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.3 Övningar till Gränsvärde|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.3 Övningar till Gränsvärde|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Nästa avsnitt --> ]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.3 Fördjupning till Gränsvärde|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
 +
<!-- [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]] -->
  
−
 
−
[[Media: Lektion 17 Gransvarde Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 17 Gränsvärde</span></strong>]]
 
−
__NOTOC__
 
 
<big>
 
<big>
−
=== <b><span style="color:#931136">Gränsvärde av en funktion</span></b> ===
+
Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet <b><span style="color:red">derivata</span></b>. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.
  
−
<div class="exempel">
+
Limesbegreppet är centralt inom <b><span style="color:red">Analys</span></b><math>-</math> den gren av matematiken som [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton <b><span style="color:blue">Newton</span></b>] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz <b><span style="color:blue">Leibniz</span></b>] på 1700-talet la grunden till, även kallad <b><span style="color:red">Differential- och Integralkalkyl</span></b>, på engelska <b><span style="color:red">Calculus</span></b>. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".
−
==== Exempel ====
+
  
 +
 +
<big><b><span style="color:#931136">Introduktion till gränsvärde</span></b></big> <!-- &nbsp; <b>Uppgift 3438 (3c-boken, sid 190):</b> -->
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
  <td>Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given.
+
<td><div class="ovnE0">  
 +
<small>En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten
  
−
<b> <strong><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to \infty \; </math>?</span></strong> </b>
+
<math> \qquad\quad\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div>
  
 +
där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en
  
−
:::<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, 0 \; {\rm när} \;\; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \;{\rm .} </math>
+
maximal hastighet <math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan över-
  
−
 
+
skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.</small>
−
Kortare<span style="color:black">:</span> <math> \; \qquad y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty </math>
+
</div>
−
 
+
−
 
+
−
<math>{\rm Gränsvärdet\;\,för} \; \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \; {\rm då} \, x \, {\rm går\;mot} \, \infty \; {\rm är} \;\, 0 {\rm .}</math>
+
 
</td>
 
</td>
 
   <td><math> \quad </math></td>
 
   <td><math> \quad </math></td>
−
   <td>[[Image: Ex 1 Gransvarde.jpg]]</td>
+
   <td>[[Image: 5_186_Uppg_3438_Fritt_fall_250.jpg]]
 +
</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
−
Som grafen visar närmar sig kurvan <math> \, x </math>-axeln när <math> \, x \, </math> växer. <math> \, y\, </math> blir allt mindre ju större <math> \, x \, </math> blir. Men kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Dvs funktionen går mot <math> \, 0\, </math> utan att nå själva värdet <math> \, 0 </math>.
+
<b>Fysikalisk tolkning:</b>
  
−
Funktionens algebraiska uttryck <math> \, y = \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \, </math> bekräftar detta: Täljaren är konstanten <math> 10\, </math> som aldrig kan bli <math> 0\, </math>. Därför kan inte heller hela uttrycket någonsin bli <math> \, 0 </math>. 
+
Grafen till <math> \, v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:
  
−
<b> <strong><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to - \infty \; </math>?</span></strong> </b>
+
Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant<span style="color:black">:</span> <math> \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 </math> m/s. <math> \;\; </math> [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]:
  
−
Grafen visar ett liknande beteende när <math> \, x \, </math> går mot negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: &nbsp; Även där går <math> \,y\, </math> mot <math> \,0\, </math> bara att <math> \, y\, </math> nu närmar sig <math> \, 0 \, </math> nedifrån.
+
<i>När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> (och omvänt).</i>
  
−
"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig <math> \, 0 \, </math> utan att någonsin bli <math> \, 0 </math>, beskrivs matematiskt och löses därmed upp med hjälp av limesbegreppet, i vårt exempel:  
+
Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \quad </math> dvs <math> \quad </math> rörelsen är ett <b><span style="color:red">fritt fall med luftmotstånd</span></b>.
  
−
<div class="border-divblue">Gränsvärdet för <big><math> \; {10 \over x\,-\,2} \; </math></big> då <math> \,x </math> går mot <math> \infty \, </math> <strong><span style="color:red">existerar</span></strong> och <strong><span style="color:red">är <math> \, 0</math></span></strong>, &nbsp;kort<span style="color:black">:</span>
+
<b>Matematisk beskrivning:</b>
  
 +
<div class="border-divblue"><small><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>,&nbsp; då <math> \,t \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp; <b><span style="color:red">är <math> \, 80</math></span></b>.<br>Man skriver<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <div class="smallBoxVariant"><math> \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} \color{Red} { \; = \; 80} </math></div> <math> \quad </math> och läser<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 </math>
+
<math> \qquad\;\; </math> Limes av <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>, då <math> t </math> går mot <math> \infty \, </math>, är <math> 80 </math>.
−
</div>
+
−
Läs så här<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad {\rm Limes\;\,av} \; \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \;\, 0 {\rm .}</math>
+
  
−
Förkortningen&nbsp;&nbsp;<math> {\color{Red} {\lim}} </math>&nbsp;&nbsp;står för det latinska ordet&nbsp;&nbsp;<math> {\color{Red} {\rm limes}} </math>&nbsp;&nbsp; som betyder gräns.
+
<math> \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, </math> står för det latinska ordet <math> \, {\color{Red} {\rm limes}} \, </math> som betyder gräns.
−
</div>
+
</small></div>
  
 +
<b>Limes kan <span style="color:red">beräknas</span> utan graf:</b>
  
−
Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i detta kapitel för att definiera derivatan som är ett gränsvärde.
+
<math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, </math>,
  
−
Limes av en funktion kan i princip beräknas genom att sätta in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket. Men ofta ger detta odefinierade uttryck. Man lyckas först efter <strong><span style="color:red">förenkling av uttrycket</span></strong>, ev. flera gånger. Vi ska ta upp några exempel.
+
eftersom <math> \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.
 +
 
 +
<b>Experiment:</b> &nbsp;Ta upp din miniräknare och slå in<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \,  </math>. Vad händer?
 +
 
 +
<math> \qquad\qquad\quad </math> Är detta ett bevis för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>? Nej, men:
 +
 
 +
<b>Generellt:</b> <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, </math>, om <math> \, a \, < \, 1 \,</math>. Kan bevisas.
 
</big>
 
</big>
  
  
 
== <b><span style="color:#931136">Beräkning av gränsvärden</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Beräkning av gränsvärden</span></b> ==
 +
 +
<big>
 +
I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.
 +
 +
Därför måste man först <b><span style="color:red">förenkla uttrycket</span></b>, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket.
 +
</big>
 +
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
Rad 73: Rad 87:
 
<b>Lösning:</b>
 
<b>Lösning:</b>
  
−
För <math> \, x = 0 \, </math> är uttrycket <math> \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, </math> inte definierat.  
+
För <math> \, x = 0 \, </math> är uttrycket <math> \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, </math> inte definierat därför att nämnaren blir <math> \, 0 </math>.  
  
−
Därför måste vi faktorisera uttryckets täljare för att se om man ev. kan förkorta.
+
Därför måste vi förenkla uttrycket.
 +
 
 +
Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.
  
 
Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:
 
Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:
Rad 90: Rad 106:
 
<b>Lösning:</b>
 
<b>Lösning:</b>
  
−
För att kunna beräkna limes förenklar vi uttrycket i limes:
+
När <math> x \to \infty </math> går uttrycket i limes <math> \displaystyle \to \frac{\infty}{\infty} </math> som är odefinierat. Därför:
 +
 
 +
Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan:
  
 
::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>
 
::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>
  
−
<math> \displaystyle{5 \over x} </math> går mot <math> 0 </math><span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>
+
::<math> \displaystyle{5 \over x} \; {\rm går\;mot\;} 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \quad {\rm dvs} \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>
 +
 
 +
:Se [[2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde#Gr.C3.A4nsv.C3.A4rde_f.C3.B6r_en_funktion|<b><span style="color:blue">Gränsvärde för en funktion</span></b>]]: Samma typ av gränsvärde.
  
 
Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
 
Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
Rad 103: Rad 123:
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
 +
 
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ====
  
Rad 109: Rad 130:
 
<b>Lösning:</b>
 
<b>Lösning:</b>
  
−
Insättningen av <math> \, x = 2 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>.
+
Insättningen av <math> \, x = 2 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>. Därför:
  
−
För att kunna beräkna limes faktoriserar vi både täljaren och nämnaren för att se om man ev. kan förkorta uttrycket.
+
Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.
  
 
Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
 
Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
Rad 121: Rad 142:
 
Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
 
Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
  
−
::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 </math>
+
::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} </math>
 
</div>
 
</div>
  
  
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
 +
 
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ====
  
Rad 138: Rad 160:
 
::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>
 
::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>
  
−
<math>p</math>-<math> q</math>-formeln kan användas, men Vieta går snabbare: För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> gäller enligt [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Vieta</span></strong>]]:
+
Enligt [[Ekvationer#Vietas_formler|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
 
::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-1) = 1  \\
 
::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-1) = 1  \\
Rad 144: Rad 166:
 
           \end{align}</math>
 
           \end{align}</math>
  
−
Två tal vars produkt är <math> -6 \, </math> är <math> 3 \, </math> och <math> -2 </math>. Även deras summa är <math> \, 1 </math>. Därför:
+
Två tal vars produkt är <math> \, -6 \, </math> och deras summa är <math> \, 1 </math>, är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, -2 </math>. Därför:
  
 
::<math> \begin{align} x_1 & = 3  \\
 
::<math> \begin{align} x_1 & = 3  \\
Rad 156: Rad 178:
 
Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
 
Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
  
−
::<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 </math>
+
<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 </math>
 
</div>
 
</div>
  
  
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
 +
 
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ====
  
Rad 206: Rad 229:
 
<b>Lösning:</b>
 
<b>Lösning:</b>
  
−
Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, h \, </math> kommer även limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck.
+
Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, h \, </math> kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i <math> \, x </math>.
  
 
<math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, </math> innebär att gränsvärdet ska bildas för <math> \, {\color{Red} {h \to 0}} </math>. Därför borde <math> \, x\, </math> under gränsprocessen anses som en konstant.
 
<math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, </math> innebär att gränsvärdet ska bildas för <math> \, {\color{Red} {h \to 0}} </math>. Därför borde <math> \, x\, </math> under gränsprocessen anses som en konstant.
  
−
::<math> f(x+h) \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} </math>  
+
::<math> {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} </math>  
  
−
::<math> f(x) \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} </math>
+
::<math> {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} </math>
  
−
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
+
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
  
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  2\,x </math>
+
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  \boxed{2\,x} </math>
  
−
Observera att <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> är ett specialfall av <b><span style="color:#931136">Exempel 7</span></b> för <math> x = 2 \, </math>.
+
Observera att <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ovan är ett specialfall av detta exempel för <math> x = 2 \, </math>.
−
</div>
+
  
 +
Jämför även med förra avsnittets [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_2_Kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
  
−
<big>
+
<math> y \, = \, \boxed{2\,x} \, </math> är derivatan av <math> \, y \, = \, x^2 \, </math>, se [[2.4_Derivatans_definition#Derivatan_som_en_ny_funktion|<b><span style="color:blue">derivatan som en ny funktion</span></b>]].
−
=== <b><span style="color:#931136">Existens av gränsvärden</span></b> ===
+
−
 
+
−
Inledningsvis bestämdes i detta avsnitt inte bara gränsvärdet <math> \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2}\,=\,0 \, </math> utan det sades också att gränsvärdet ''existerade''. Anledningen till det var att det finns även fall där ett gränsvärde ''inte'' existerar.
+
−
 
+
−
Vi tar samma funktion <math> \, y = f(x) = </math> <math> \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math>, men byter frågeställningen: Vi tittar inte längre på vad som händer när <math> \, x \to \infty \, </math> utan när <math> \, {\color{Red} {x \to 2}} </math>.
+
−
 
+
−
<div class="exempel">
+
−
==== Exempel på att <span style="color:#931136">gränsvärde saknas</span> ====
+
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
  <td>Bestäm <math> \qquad\qquad\quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} </math>
+
−
 
+
−
 
+
−
<math> y \;{\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger.} </math>
+
−
 
+
−
Kort<span style="color:black">:</span> <math> \; \qquad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ </math>
+
−
 
+
−
 
+
−
<math> y \; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster.} </math>
+
−
 
+
−
Kort<span style="color:black">:</span> <math> \; \qquad y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- </math>
+
−
 
+
−
<math>{\rm Slutsats: \qquad\quad Gränsvärde\;\,saknas.}</math>
+
−
</td>
+
−
  <td><math> \quad </math></td>
+
−
  <td>[[Image: Ex 2 Gransvarde.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
 
+
−
Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten <math> \, x = 2 </math>. Dvs <math> \, f(x)\, </math> går mot <math> +\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från höger och mot <math> -\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från vänster. <math> \, f(x)\, </math> är inte definierad för <math> x = 2\, </math>, därför att <math> \displaystyle{10 \over x\,-\,2} </math>:s nämnare blir <math> \, 0\, </math> för <math> \, x = 2 </math>.
+
−
 
+
−
Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:
+
−
 
+
−
:::<math> {10 \over x - 2} \to +\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^+ \qquad \; {\rm och} \; \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^- </math>
+
−
 
+
−
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
+
−
 
+
−
Eftersom det finns två olika resultat beroende på om <math> \, x </math> går mot <math> \, 2 </math> från höger eller från vänster säger man:
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue">Gränsvärdet för <big><math> \; {10 \over x\,-\,2} \; </math></big> då <math> \,x </math> går mot <math> \, 2 \, </math> <strong><span style="color:red">existerar inte</span></strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; kort<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
 
+
−
<math> \qquad\qquad\qquad\quad </math> <strong>Gränsvärde saknas.</strong>
+
−
</div>
+
 
</div>
 
</div>
  
−
Funktionen går mot två olika håll när <math> \, x \to 2 </math>. Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma <math> \,x </math> är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde, annars existerar den inte. En modifierad variant av Exempel 2 (<math> \, {\color{Red} {x \to 0}} \, </math> istället för <math> \, x \to \infty </math>) visar samma sak:
 
−
</big>
 
  
−
 
+
=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===
−
<div class="ovnE">
+
−
 
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 a</span></b> ====
+
−
 
+
−
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
+
−
 
+
−
<b>Lösning:</b>
+
−
 
+
−
::<math> \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty </math>
+
−
 
+
−
::<math> \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty </math>
+
−
 
+
−
där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>).
+
−
 
+
−
Svar: Gränsvärde saknas.
+
−
</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
<big>
+
−
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} </math> för <math> \, x = 0 </math>, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord: 
+
−
 
+
−
 
+
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-block !important;margin-left: 50px !important;padding:10px 20px 10px 20px; -webkit-border-radius: 5px; -moz-border-radius: 5px;border-radius: 5px;"><big><strong>Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.</strong></big>
+
−
</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
Därför är det strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena <math> \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} </math> och <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} </math> saknas. Detta gäller i alla fall enligt en strikt definition av gränsvärdesbegreppet vars intuitiva innebörd återgavs ovan.
+
−
 
+
−
 
+
−
=== <b><span style="color:#931136">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b> ===
+
−
 
+
−
Skiljer man däremot närmandet från höger till <math> \, x = 2 </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. <strong><span style="color:red">ensidiga gränsvärden</span></strong>:
+
−
 
+
−
:::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math>
+
−
 
+
−
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
+
−
 
+
−
Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>, därav beteckningen <strong><span style="color:red">ensidig</span></strong>. I vårt exempel ger de också två olika resultat.
+
−
 
+
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
  <td>Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man <strong><span style="color:red">oegentliga gränsvärden</span></strong>. Ett exempel på ett oegentligt gränsvärde är:
+
−
 
+
−
::<span style="color:black"> </span> <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty </math>
+
−
 
+
−
där funktionen <math> \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} </math> (se grafen till höger) går mot <math> +\,\infty </math> både när <math> \, x \to 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och från vänster (<math> \, x < 0 </math>). Gränsvärdet är alltså entydigt men oändligt och därför oegentligt, till skillnad från <math> \displaystyle f(x) = {10 \over x - 2} </math> vars [[2.3_Gränsvärde#Existens_av_gr.C3.A4nsv.C3.A4rden|<strong><span style="color:blue">gränsvärde</span></strong>]] varken är entydigt eller ändligt när <math> x \to 2 </math> och därför inte existerar.
+
−
 
+
−
Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar är det o.k.
+
−
 
+
−
OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att <math> \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} </math> eller <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} </math> <strong><span style="color:red">existerar</span></strong>.
+
−
</td>
+
−
  <td>[[Image: y = 1 genom x^2.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
</big>
+
−
 
+
−
 
+
−
== Internetlänkar ==
+
  
 
https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
 
https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
Rad 345: Rad 264:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 21.19

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet derivata. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.

Limesbegreppet är centralt inom Analys\(-\) den gren av matematiken som Newton och Leibniz på 1700-talet la grunden till, även kallad Differential- och Integralkalkyl, på engelska Calculus. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".


Introduktion till gränsvärde

En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten

\( \qquad\quad\;\; \)
\( v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \)

där \( \, t = \, \) tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en

maximal hastighet \( \, v_{max} \, \) som hopparen inte kan över-

skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.

\( \quad \) 5 186 Uppg 3438 Fritt fall 250.jpg

Fysikalisk tolkning:

Grafen till \( \, v(t) \, \) visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:

Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant: \( \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 \) m/s. \( \;\; \) Newtons fösta lag:

När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter \( \, = 0 \, \) (och omvänt).

Därav följer: \( \qquad \) Luftmotstånd \( \, \approx \, \) gravitation \( \quad \) dvs \( \quad \) rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.

Matematisk beskrivning:

Gränsvärdet  för \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \),  då \( \,t \, \) går mot \( \, \infty \; \),  är \( \, 80\).
Man skriver: \( \quad \)
\( \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} \color{Red} { \; = \; 80} \)
\( \quad \) och läser:

\( \qquad\;\; \) Limes av \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( t \) går mot \( \infty \, \), är \( 80 \).

\( \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, \) står för det latinska ordet \( \, {\color{Red} {\rm limes}} \, \) som betyder gräns.

Limes kan beräknas utan graf:

\( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, \),

eftersom \( \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \).

Experiment:  Ta upp din miniräknare och slå in: \( \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \, \). Vad händer?

\( \qquad\qquad\quad \) Är detta ett bevis för \( \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, \)? Nej, men:

Generellt: \( \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, \), om \( \, a \, < \, 1 \,\). Kan bevisas.


Beräkning av gränsvärden

I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som \( \,x \, \) ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.

Därför måste man först förenkla uttrycket, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket.


Exempel 1

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)

Lösning:

För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat därför att nämnaren blir \( \, 0 \).

Därför måste vi förenkla uttrycket.

Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]


Exempel 2

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)

Lösning:

När \( x \to \infty \) går uttrycket i limes \( \displaystyle \to \frac{\infty}{\infty} \) som är odefinierat. Därför:

Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan:

\[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]
\[ \displaystyle{5 \over x} \; {\rm går\;mot\;} 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \quad {\rm dvs} \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \]
Se Gränsvärde för en funktion: Samma typ av gränsvärde.

Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]


Exempel 3

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \). Därför:

Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]
\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \]


Exempel 4

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).

För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]

Enligt Vieta gäller för lösningarna \( \, x_1\,\) och \( \, x_2 \, \):

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Två tal vars produkt är \( \, -6 \, \) och deras summa är \( \, 1 \), är \( \, 3 \, \) och \( \, -2 \). Därför:

\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]

Täljarens faktorisering blir då:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]


Exempel 5

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)

Lösning:

För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]


För att förenkla sista uttrycket använder vi:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]

Insatt i det sista uttrycket blir det:

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]


Exempel 6

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given.   Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).

Lösning:

\[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]
\[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]
\[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]
\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]


Exempel 7

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given.   Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).

Lösning:

Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( \, x \).

\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.

\[ {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]
\[ {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]
\[ \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]
\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = \boxed{2\,x} \]

Observera att Exempel 6 ovan är ett specialfall av detta exempel för \( x = 2 \, \).

Jämför även med förra avsnittets Exempel 2 Kvadratisk funktion:

\( y \, = \, \boxed{2\,x} \, \) är derivatan av \( \, y \, = \, x^2 \, \), se derivatan som en ny funktion.


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0






Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.3_Gränsvärde&oldid=36738"