Skillnad mellan versioner av "3.4 Kurvkonstruktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(212 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|--> Nästa avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 32 Kurvkonstruktioner Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 33 Kurvkonstruktioner</span></strong>]]
+
[[Media: Lektion 26 Kurvkonstruktioner Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 26 Kurvkonstruktioner</span></b>]]
−
__NOTOC__
+
 
 
<big>
 
<big>
−
Fortfarande förutsätts att alla funktioner <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> vi behandlar här är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<strong><span style="color:blue">kontinuerliga</span></strong>]] i alla punkter av det betraktade området.
 
  
−
==== <b><span style="color:#931136">En sammanfattning av lokala minimi- och maximipunkter, terasspunkter samt inflexionspunkter</span></b> ====
+
==== <b><span style="color:#931136">Sammanfattning av lokala minimi- och maximipunkter, terasspunkter samt inflexionspunkter</span></b> ====
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
::::::Översikt över punkter som kan identifieras med derivator:
+
:::Översikt över punkter som kan identifieras med derivator:
−
[[Image: Oversikt Punkter_62_Ph.jpg]]
+
&nbsp; [[Image: Oversikt Punkter_650.jpg]]
−
::Med Min och Max i sammanfattningen ovan menas ''lokal'' minimi- och maximipunkt.
+
 
 +
Med Min och Max i sammanfattningen ovan menas ''lokal'' minimi- och maximipunkt.&nbsp;
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<div class="ovnE"><small>
+
==== <b><span style="color:#931136">Globala maxima och minima <math>-</math> en funktions största och minsta värden</span></b> ====
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt</span></b> ====
+
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
+
  
−
::::<math> y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 </math>  
+
I förra avsnitt hade vi tittat på sådana punkter som hade maximala och minimala <math> \, y</math>-värden i sin närmaste omgivning, därför <b><span style="color:red">lokala</span></b> (bilden till höger).
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; där &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \;\, = </math> &nbsp; temperaturen i grader Celsius och
+
I detta avsnitt ska vi betrakta sådana punkter som har största och minsta <math> \, y</math>-värden i ett helt intervall, därför <b><span style="color:red">globala</span></b> (bilden till vänster).
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> x \;\, = </math> &nbsp; tiden i timmar efter midnatt
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>&nbsp; [[Image: Globala maxima & minima.jpg]]</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Globala maxima</i> och <i>minima</i> är en funktions <b><span style="color:red">största och min-</span></b>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Funktionen <math>\, f(x)</math>:s &nbsp; definitionsmängd<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \leq x \leq 8 </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <b><span style="color:red">sta värden</span></b> <i>globalt</i> dvs i ett intervall, närmare bestämt:
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a) &nbsp; Ställ upp första- och andraderivatan.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <b><span style="color:red">Globala maxima</span></b> och <b><span style="color:red">globala minima</span></b> är punkter som har
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Rita graferna till <math> \,f(x) </math>, <math> \,f\,'(x) </math> och <math> \,f\,''(x) </math> i separata koordinatsystem.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; största resp. minsta <math> y</math>-värden i <math> f(x)</math>:s hela definitionsområde.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; b) &nbsp; Bestäm nattens kallaste tidpunkt med andraderivatan.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; På bilden till vänster visas de med &nbsp; <big><big><big>&bull;</big></big></big>&nbsp; . Funktionens största
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; c) &nbsp; Bestäm nattens lägsta temperatur.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; värde är <math> \, 30 \, </math> och dess minsta värde är <math> \, -5 \, </math> (OBS! <math> \, y</math>-värden).
−
</small></div>
+
  
  
−
==== <b><span style="color:#931136">Största och minsta värden: globala maxima och minima</span></b> ====
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Globala max/min antas antingen i <b><span style="color:red">intervallets ändpunkter</span></b>
  
−
I avsnittet om [[3.2_Lokala_maxima_och_minima|<strong><span style="color:blue">Lokala maxima och minima</span></strong>]] hade vi tittat på sådana punkter som hade maximala och minimala <math> \, y</math>-värden i sin närmaste omgivning, därför "lokala", se bilden till höger.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; eller sammanfaller med de lokala extrema.
  
−
I detta avsnitt ska vi betrakta sådana punkter som har största och minsta <math> \, y</math>-värden i ett intervall, därför "globala", se bilden till vänster.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Globala max/min identifieras inte med hjälp av derivata/tecken-
  
−
<table>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; studie, annars än att de sammanfaller med de lokala extrema.
−
<tr>
+
</td>
−
   <td>&nbsp; [[Image: Globala maxima & minima.jpg]]</td>
+
   <td>&nbsp; [[Image: Lokala_maxima_minima.jpg]]</td>
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Globala maxima</i> och <i>minima</i> är en funktions <strong><span style="color:red">största och minsta värden
+
</tr>
 +
</table>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; </span></strong> <i>globalt</i> dvs i ett intervall, närmare bestämt:
 
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Med <strong><span style="color:red">globala maxima</span></strong> och <strong><span style="color:red">globala minima</span></strong> menas punkter som har
+
<div class="border-divblue">
 +
Gör så här för att hitta en funktions <b><span style="color:red">globala</span></b> maxima och minima:
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; största resp. minsta <math> \, y</math>-värden i funktionens hela definitionsområde.
+
# Hitta funktionens lokala extrema med [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivata|<b><span style="color:blue">reglerna om max/min med andraderivatan</span></b>]] eller [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]].
 +
# Beräkna de lokala maximi- och minimipunkternas <math> y</math>-koordinater.
 +
# Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
 +
# Jämför de lokala extremvärdena med funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
 +
</div>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; På bilden till vänster visas de med &nbsp; <big><big><big>&bull;</big></big></big>&nbsp; . Funktionens största värde är <math> \, 30 \, </math>
 
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; och dess minsta värde är <math> \, -5 \, </math> (OBS! <math> \, y</math>-värden).
+
<div class="ovnE"><small>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på en fullständig kurvkonstruktion</span></b> ====
 +
Följande funktion är definierad i angivet intervall<span style="color:black">:</span>
  
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Globala maxima och minima antas antingen i de lokala maxima och
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> f(x) \, = \, x^3 \, - \, 12\,x^2 \, + \, 45\,x \, - \, 44 \qquad </math> i intervallet<span style="color:black">:</span> <math> \qquad 1 \leq x \leq 7 </math>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; minima eller i <strong><span style="color:red">intervallets ändpunkter</span></strong>.
 
  
 +
'''a)''' &nbsp; Undersök algebraiskt om <math> \,f(x) \, </math> har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter. Om ja, ange deras koordinater.
 +
 +
'''b)''' &nbsp; Bestäm funktionens största och minsta värden i definitionsintervallet.
 +
 +
'''c)''' &nbsp; Skissa för hand det ungefärliga förloppet till <math> \, f(x) \, </math> utgående från information från a) och b).
 +
 +
'''d)''' &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math> med grafräknaren.
 +
 +
'''e)''' &nbsp; Undersök om <math> \,f(x) \, </math> har en inflexionspunkt. Om ja, hitta den och ange dess koordinater.
 +
</small></div>
 +
 +
 +
<div class="ovnE"><small>
 +
'''Lösning: &nbsp;  &nbsp; a) &nbsp; Lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter (i 4 steg):'''
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>'''Steg 1'''&nbsp;&nbsp; Derivera <math> \, f(x) \, </math> två gånger:
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Globala maxima och minima identifieras inte med derivatan, annars än
 
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; att de ev. är identiska med funktionens lokala extrema.
 
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; I ett mindre intervall blir exemplets lokala extrema, även globala.
 
  
 
</td>
 
</td>
−
   <td>&nbsp; [[Image: Lokala_maxima_minima.jpg]]</td>
+
   <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td><math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44    \\
 +
                            f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45  \\
 +
                          f''(x) & = & 6\,x - 24
 +
        \end{array}</math>
 +
</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
'''Steg 2'''&nbsp;&nbsp; Sätt derivatan till <math> \, 0 \, </math> och lös ekvationen, dvs beräkna derivatans nollställen:
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><math> \qquad\;\; \begin{array}{rcl}  3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0  \\
 +
                                              x^2 -  8\,x + 15 & = & 0  \\
 +
                        \end{array}</math>
  
  
−
<div class="exempel12"> <!-- exempel12 -->
 
−
I praktiken hittar man en funktions globala extrema genom att:
 
  
−
# Hitta funktionens lokala extrema med någon av de regler vi lärde oss i förra avsnitt ([[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">andraderivatan</span></strong>]] eller [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_teckenstudium|<strong><span style="color:blue">teckenstudium</span></strong>]]).
 
−
# Beräkna de lokala extremvärdena.
 
−
# Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
 
−
# Jämföra de lokala extremvärdena med värdena i definitionsintervallets ändpunkter.
 
−
</div> <!-- exempel12 -->
 
  
  
−
==== <b><span style="color:#931136">När saknas globalt extremum?</span></b> ====
+
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td>[[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler|<b><span style="color:blue">Vieta:</span></b>]]
  
−
En funktion behöver inte nödvändigtvis ha extrema, varken lokala eller globala.
 
  
−
Detta kan hända när man letar efter globala extrema där man förväntar dem, t.ex. i definitionsintervallets ändpunkter. Det ser ut så <math>-</math> t.ex. i grafen <math>-</math> som om funktionen antog sina största (eller minsta) värden i intervallets ändpunkter. Att det inte behöver vara så visar följande exempel:
 
  
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
+
 
 +
 
 +
 
 +
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
<td>
 +
<math> \begin{array}{rclclcl} x_1 \cdot x_2 & = &  q &  &      & = & 15 \\
 +
                              x_1  +  x_2 & = & -p & = & -(-8) & = & 8  \\
 +
                                        &\Downarrow&                      \\
 +
                                        x_1 & = & 3                      \\
 +
                                        x_2 & = & 5
 +
            \end{array}</math>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
   
 +
<math> \qquad\quad x_1 = 3 \, </math> och <math> \, x_2 = 5 \, </math> är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
 +
 
 +
'''Steg 3'''&nbsp;&nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och använd [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<b><span style="color:blue">reglerna om max/min</span></b>]] samt [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_derivator|<b><span style="color:blue">regeln om terasspunkt</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>
+
   <td><math> \qquad\quad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
−
'''Exempel:'''
+
  
−
Följande funktion är definierad i det angivna intervallet<span style="color:black">:</span>
 
  
−
<math> y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \quad </math> Definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad -2 < x < 2 </math>
 
  
−
Av någon anledning är intervallets ändpunkter inte inkluderade i definitionsmängden.
+
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td>
 +
:<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>
  
−
Dvs <math> f(x) </math> är inte definierad för <math> \, x = 2 </math>, inte heller för <math> \, x = -2 </math>.
+
:<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><math> \qquad\quad \underline{x_2 = 5} \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
Grafen till höger visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter.
+
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td>
 +
<math> f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
:::<math> \; f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
  
−
<math> f(x) </math> har i <math> x = 0 </math> ett lokalt minimum som är även funktionens globala minimum.
+
'''Steg 4'''&nbsp;&nbsp; Beräkna de lokala maximi- och minimipunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
  
−
Däremot kan man inte ange något globalt maximum för <math> f(x) </math>, av följande skäl:
+
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
  
−
Om man t.ex. påstår att <math> f(1,99) </math> är funktionens största värde, är <math> f(1,999) </math>  
+
:::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \; \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
  
−
ännu större. Om man påstår att <math> f(1,999) </math> är största värdet, är <math> f(1,9999) </math>  
+
:::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad\; (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
 +
----
  
−
ännu större osv. Denna process har ingen ända och gäller även för <math> f(-1,99\ldots) </math>.
 
  
−
Varken <math> f(2) </math> eller <math> f(-2) </math> kan vara globala maxima, för båda är inte definierade.
+
'''b) &nbsp; Största och minsta värden:''' &nbsp; Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter <math> \, 1 \, </math> och <math> \, 7 </math> och
  
−
Slutligen kan man inte hitta något största värde: <div style="border:1px solid black;
+
:jämför dem med de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
−
display:inline-block !important;
+
−
margin-left: 10px !important;
+
−
padding:10px 10px 10px 10px;
+
−
-webkit-border-radius: 10px;"><strong>Globalt maximum saknas.</strong></div>
+
−
</td>
+
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Globala extrema saknas.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
</div>  <!-- exempel2 -->
+
  
 +
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
  
−
Att globalt maximum saknas har inte med funktionens egenskaper att göra utan snarare med intervallets där <math> f(x) </math> är definierad.
+
:::<math> f(1) \, = \, 1^3 - 12\cdot 1^2 + 45\cdot 1 - 44 = -10 </math>
  
−
På matematiska säger man: Definitionsintervallet <math> \; -2 < x < 2 \; </math> är <strong><span style="color:red">öppet</span></strong>, dvs ändarna tillhör inte intervallet.
+
:::<math> f(7) \, = \, 7^3 - 12\cdot 7^2 + 45\cdot 7 - 44 = 26 </math>
  
−
Hade <math> f(x) </math> däremot varit definierad t.ex. i det "slutna" intervallet<span style="color:black">:</span> <math> -2 \leq x \leq 2 \;\; </math> hade <math> \; f(2) \, = \, f(-2) \, = \, 4 \; </math> varit funktionens globala maximum.
+
::Lokala minimivärdet var <math> \, 6 \, </math>, se a), steg 4.
  
−
I praktiken behöver man inte leta efter globala extrema i definitionsintervallets ändpunkter om funktionen är definierad i ett öppet intervall.
+
:::<math> -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} </math>
  
 +
::Lokala maximivärdet var <math> \, 10 \, </math>, se a), steg 4.
  
−
<div class="exempel">
+
:::<math> 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} </math>
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel på en fullständig kurvkonstruktion</span></b> ==
+
−
<big>
+
−
Funktionen<span style="color:black">:</span>
+
  
 +
:De globala extremvärdena <math> \, -10 \, </math>  och <math> \, 26 </math> antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> f(x) \, = \, x^3 \, - \, 12\,x^2 \, + \, 45\,x \, - \, 44 \qquad </math> är definierad i intervallet <math> \qquad 1 \leq x \leq 7 </math>
+
:därför att intervallet <math> \, 1 \leq x \leq 7 \, </math> är slutet, dvs ändarna tillhör intervallet.
 +
----
  
  
−
a) &nbsp; Undersök algebraiskt om <math> \,f(x) \, </math> har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter. Om ja, ange deras koordinater.
+
'''c) &nbsp; Skiss:''' &nbsp; Resultaten från a) om lokala och från b) om globala extrema ger följande skisser:
  
−
b) &nbsp; Bestäm funktionens största och minsta värden i definitionsintervallet.
+
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_1_80.jpg]]
  
−
c) &nbsp; Skissa för hand det ungefärliga förloppet till <math> \, f(x) \, </math> utgående från information från a) och b).
+
:Förutsätts kontinuitet hos <math> \, f(x) -</math> vilket vi kan göra pga att <math> f(x) </math> är en polynomfunktion <math>-</math> kan vi
  
−
d) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math> med grafräknaren.
+
:förbinda kurvsnuttarna från den högra bilden ovan till den kontinuerliga skissen till vänster nedan:
−
</big>
+
−
</div> <!-- exempel -->
+
  
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_2_80.jpg]]
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad\qquad\qquad </math></td>
 +
  <td>'''d) &nbsp; Kontroll:''' &nbsp; Grafräknaren ger:
  
−
'''Lösning: &nbsp;  &nbsp; a)'''
+
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_3_80.jpg]]
  
−
'''Steg 1'''&nbsp;&nbsp; Derivera <math> \, f(x) \, </math> två gånger:
+
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
:::<math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44    \\
+
----
−
                            f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45  \\
+
−
                          f''(x) & = & 6\,x - 24
+
−
        \end{array}</math>
+
  
−
'''Steg 2'''&nbsp;&nbsp; Sätt derivatan till <math> \, 0 </math>:
 
  
−
:::<math>\begin{array}{rcl}  3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0    
+
'''e) &nbsp; Inflexionspunkt:''' &nbsp; Sätt andraderivatan till <math> \, 0 \, </math> och lös ekvationen<span style="color:blue">:</span>
−
        \end{array}</math>
+
  
−
'''Steg 3'''&nbsp;&nbsp; Lös ekvationen som uppstår (beräkna derivatans nollställen):
+
<math> \qquad\;\; \begin{array}{rcl} f\,''(x) \, = \, 6\,x - 24 & = & 0  \\
 +
                                                              x & = & 4  \\
 +
                        \end{array}</math>
  
−
:::<math>\begin{array}{rcl}  3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0  \\
+
:Sätt in andraderivatans nollställe i tredjederivatan och använd [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_inflexionspunkter|<b><span style="color:blue">regeln om inflexionspunkter</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
−
                                x^2 -  8\,x + 15 & = & 0  \\
+
−
  \end{array}</math>
+
  
−
:::<math> \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 &    =    & 15        \\
+
:::<math> f\,'''(x) \, = \, 6 </math>
−
                              x_1  +  x_2 &    =    & -(-8) = 8 \\
+
−
                                            &\Downarrow&          \\
+
−
                                        x_1 &    =    & 3        \\
+
−
                                        x_2 &    =   & 5
+
−
          \end{array}</math>
+
  
−
::Dessa är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
+
:::<math> f\,'''(4) \, = \, 6 \, \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \quad {\rm är\;en\;inflexionspunkt.} </math>
  
−
'''Steg 4'''&nbsp;&nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>
+
:Beräkna inflexionspunktens <math> y</math>-koordinat<span style="color:black">:</span>
  
−
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
+
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
  
−
:::<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>
+
:::<math> f(4) \, = \, 4^3 - 12\cdot 4^2 + 45\cdot 4 - 44 = 8 \quad \Longrightarrow \quad {\rm Inflexionspunkten\;har\;koordinaterna} \; (4, 8)\,. </math>
 +
</small></div>
  
−
:::<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
 
  
−
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 5} \, </math><span style="color:black">:</span>
+
==== <b><span style="color:#931136">När saknas globalt extremum?</span></b> ====
  
−
:::<math> f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
+
En funktion behöver inte nödvändigtvis ha extrema, varken lokala eller globala.
  
−
:::<math> f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
+
Detta kan hända när man letar efter globala extrema där man förväntar dem, t.ex. i definitionsintervallets ändpunkter. Det ser ut så <math>-</math> t.ex. i grafen <math>-</math> som om funktionen antog sina största (eller minsta) värden i intervallets ändpunkter. Att det inte behöver vara så visar följande exempel:
  
−
'''Steg 5'''&nbsp;&nbsp; Beräkna de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
+
<div class="exempel"> <!-- exempel -->
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ====
  
−
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
+
Följande funktion är definierad i det angivna intervallet<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
+
<math> y = f(x) = x^2 \; </math> Definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \; -2 < x < 2 </math>
  
−
:::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
 
−
----
 
  
 +
:[[Image: Globala extrema saknas.jpg]]
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>OBS! &nbsp;&nbsp; Intervallets ändpunkter är inte inkluderade i funktionens definitionsmängd.
  
−
'''b)''' &nbsp; Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter <math> \, 1 \, </math> och <math> \, 7 </math> och jämför dem med de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
+
Dvs <math> \, f(x) \, </math> är inte definierad i ändpunkterna <math> \, x = 2 \, </math> och <math> \, x = -2 </math>.
  
−
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
+
Grafen till vänster visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter.
  
−
:::<math> f(1) \, = \, 1^3 - 12\cdot 1^2 + 45\cdot 1 - 44 = -10 </math>
+
<math> \, f(x) \, </math> har i <math> \, x = 0 \, </math> ett lokalt minimum som är även funktionens globala minimum.
  
−
:::<math> f(7) \, = \, 7^3 - 12\cdot 7^2 + 45\cdot 7 - 44 = 26 </math>
+
Däremot kan man inte ange något globalt maximum för <math> \, f(x) \, </math>, av följande skäl:
  
−
::Lokala minimivärdet var <math> \, 6 \, </math>, se a).
+
Om man t.ex. påstår att <math> \, f(1,99) \, </math> är funktionens största värde, är <math> \, f(1,999) \, </math>
  
−
:::<math> -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde.} </math>
+
ännu större. Om man påstår att <math> \, f(1,999) \, </math> är största värdet, är <math> \, f(1,9999) </math>  
  
−
::Lokala maximivärdet var <math> \, 10 \, </math>, se a).
+
ännu större osv. Denna process har ingen ända. Samma sak gäller även för <math> \, f(-1,99\ldots) </math>.
  
−
:::<math> 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde.} </math>
+
Varken <math> \, f(2) \, </math> eller <math> \, f(-2) \, </math> kan vara globala maxima, för båda är inte definierade.
  
−
:De globala extremvärdena <math> \, -10 \, </math>  och <math> \, 26 </math> antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter därför att intervallet <math> \, 1 \leq x \leq 7 \, </math> är slutet.
+
Slutligen kan man inte hitta något största värde. Man drar slutsatsen:
−
----
+
  
  
−
'''c)''' &nbsp; Information från a) om lokala och från b) om globala extrema ger följande skisser:
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="border-divblue">
 +
Globalt maximum saknas.
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
</div>  <!-- exempel -->
  
−
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_1_80.jpg]]
 
  
 +
Att globalt maximum saknas har i detta exempel inte med funktionens utan snarare med definitionsmängdens egenskaper att göra.
  
−
:Förutsätts kontinuitet hos <math> \, f(x) -</math> vilket vi kan göra pga att <math> f(x) </math> är en polynomfunktion <math>-</math> kan vi förbinda kurvsnuttarna från den högra bilden till följande kontinuerlig skiss:
+
Man säger: Definitionsintervallet <math> \; -2 < x < 2 \; </math> är öppet, dvs ändarna tillhör inte intervallet.
  
−
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_2_80.jpg]]
+
Hade <math> f(x) </math> däremot varit definierad t.ex. i det slutna intervallet<span style="color:black">:</span> <math> -2 \leq x \leq 2 \;\; </math> hade <math> \; f(2) \, = \, f(-2) \, = \, 4 \; </math> varit funktionens globala maximum.
  
 +
 +
<div class="border-divblue">
 +
Ett intervall <math> \, a < x < b \, </math> där ändarna <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> inte tillhör intervallet, kallas för <b><span style="color:red">öppet</span></b>, annars för <b><span style="color:red">slutet</span></b>.
 
----
 
----
  
 +
En funktion som är definierad i ett öppet intervall har inga globala extrema i definitionsintervallets ändpunkter.
 +
</div>
  
−
'''d)''' &nbsp; Grafräknaren ger:
 
−
 
−
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_3_80.jpg]]
 
  
 +
I så fall kan globala extrema, om de existerar, sammanfalla med de lokala extrema eller saknas. I exemplet ovan sammanfaller funktionens globala minimum med dess lokala minimum i <math> \, x = 0 </math>. Men funktionen saknar globalt maximum.
 
</big>
 
</big>
  
Rad 267: Rad 323:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 11 januari 2018 kl. 14.49

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Lektion 26 Kurvkonstruktioner

Sammanfattning av lokala minimi- och maximipunkter, terasspunkter samt inflexionspunkter

Översikt över punkter som kan identifieras med derivator:

  Oversikt Punkter 650.jpg

Med Min och Max i sammanfattningen ovan menas lokal minimi- och maximipunkt. 


Globala maxima och minima \(-\) en funktions största och minsta värden

I förra avsnitt hade vi tittat på sådana punkter som hade maximala och minimala \( \, y\)-värden i sin närmaste omgivning, därför lokala (bilden till höger).

I detta avsnitt ska vi betrakta sådana punkter som har största och minsta \( \, y\)-värden i ett helt intervall, därför globala (bilden till vänster).

  Globala maxima & minima.jpg      Globala maxima och minima är en funktions största och min-

     sta värden globalt dvs i ett intervall, närmare bestämt:

     Globala maxima och globala minima är punkter som har

     största resp. minsta \( y\)-värden i \( f(x)\):s hela definitionsområde.

     På bilden till vänster visas de med   •  . Funktionens största

     värde är \( \, 30 \, \) och dess minsta värde är \( \, -5 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden).


     Globala max/min antas antingen i intervallets ändpunkter

     eller sammanfaller med de lokala extrema.

     Globala max/min identifieras inte med hjälp av derivata/tecken-

     studie, annars än att de sammanfaller med de lokala extrema.

  Lokala maxima minima.jpg


Gör så här för att hitta en funktions globala maxima och minima:

  1. Hitta funktionens lokala extrema med reglerna om max/min med andraderivatan eller teckenstudie.
  2. Beräkna de lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater.
  3. Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
  4. Jämför de lokala extremvärdena med funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.


Exempel på en fullständig kurvkonstruktion

Följande funktion är definierad i angivet intervall:


     \( f(x) \, = \, x^3 \, - \, 12\,x^2 \, + \, 45\,x \, - \, 44 \qquad \) i intervallet: \( \qquad 1 \leq x \leq 7 \)


a)   Undersök algebraiskt om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter. Om ja, ange deras koordinater.

b)   Bestäm funktionens största och minsta värden i definitionsintervallet.

c)   Skissa för hand det ungefärliga förloppet till \( \, f(x) \, \) utgående från information från a) och b).

d)   Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \) med grafräknaren.

e)   Undersök om \( \,f(x) \, \) har en inflexionspunkt. Om ja, hitta den och ange dess koordinater.


Lösning:     a)   Lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter (i 4 steg):

Steg 1   Derivera \( \, f(x) \, \) två gånger:



\( \quad \) \(\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45 \\ f''(x) & = & 6\,x - 24 \end{array}\)

Steg 2   Sätt derivatan till \( \, 0 \, \) och lös ekvationen, dvs beräkna derivatans nollställen:

\( \qquad\;\; \begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0 \\ x^2 - 8\,x + 15 & = & 0 \\ \end{array}\)



\( \quad \) Vieta:




\( \quad \)

\( \begin{array}{rclclcl} x_1 \cdot x_2 & = & q & & & = & 15 \\ x_1 + x_2 & = & -p & = & -(-8) & = & 8 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 5 \end{array}\)

\( \qquad\quad x_1 = 3 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \) är \( x\)-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

Steg 3   Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och använd reglerna om max/min samt regeln om terasspunkt:

\( \qquad\quad \underline{x_1 = 3} \, \):


\( \quad \)

\[ f''(x) \, = \, 6\,x - 24 \]

\[ f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \]
\( \qquad\quad \underline{x_2 = 5} \, \): \( \quad \)

\( f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \)

\[ \; f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \]

Steg 4   Beräkna de lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:

\[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
\[ f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \; \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
\[ f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad\; (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]


b)   Största och minsta värden:   Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, 1 \, \) och \( \, 7 \) och

jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:
\[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
\[ f(1) \, = \, 1^3 - 12\cdot 1^2 + 45\cdot 1 - 44 = -10 \]
\[ f(7) \, = \, 7^3 - 12\cdot 7^2 + 45\cdot 7 - 44 = 26 \]
Lokala minimivärdet var \( \, 6 \, \), se a), steg 4.
\[ -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} \]
Lokala maximivärdet var \( \, 10 \, \), se a), steg 4.
\[ 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} \]
De globala extremvärdena \( \, -10 \, \) och \( \, 26 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter
därför att intervallet \( \, 1 \leq x \leq 7 \, \) är slutet, dvs ändarna tillhör intervallet.


c)   Skiss:   Resultaten från a) om lokala och från b) om globala extrema ger följande skisser:

Fullstandig kurvkonstruktion 1 80.jpg
Förutsätts kontinuitet hos \( \, f(x) -\) vilket vi kan göra pga att \( f(x) \) är en polynomfunktion \(-\) kan vi
förbinda kurvsnuttarna från den högra bilden ovan till den kontinuerliga skissen till vänster nedan:
Fullstandig kurvkonstruktion 2 80.jpg
\( \qquad\qquad\qquad \) d)   Kontroll:   Grafräknaren ger:
Fullstandig kurvkonstruktion 3 80.jpg


e)   Inflexionspunkt:   Sätt andraderivatan till \( \, 0 \, \) och lös ekvationen:

\( \qquad\;\; \begin{array}{rcl} f\,''(x) \, = \, 6\,x - 24 & = & 0 \\ x & = & 4 \\ \end{array}\)

Sätt in andraderivatans nollställe i tredjederivatan och använd regeln om inflexionspunkter:
\[ f\,'''(x) \, = \, 6 \]
\[ f\,'''(4) \, = \, 6 \, \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \quad {\rm är\;en\;inflexionspunkt.} \]
Beräkna inflexionspunktens \( y\)-koordinat:
\[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
\[ f(4) \, = \, 4^3 - 12\cdot 4^2 + 45\cdot 4 - 44 = 8 \quad \Longrightarrow \quad {\rm Inflexionspunkten\;har\;koordinaterna} \; (4, 8)\,. \]


När saknas globalt extremum?

En funktion behöver inte nödvändigtvis ha extrema, varken lokala eller globala.

Detta kan hända när man letar efter globala extrema där man förväntar dem, t.ex. i definitionsintervallets ändpunkter. Det ser ut så \(-\) t.ex. i grafen \(-\) som om funktionen antog sina största (eller minsta) värden i intervallets ändpunkter. Att det inte behöver vara så visar följande exempel:

Exempel

Följande funktion är definierad i det angivna intervallet:

\( y = f(x) = x^2 \; \) Definitionsmängden: \( \; -2 < x < 2 \)


Globala extrema saknas.jpg
        OBS!    Intervallets ändpunkter är inte inkluderade i funktionens definitionsmängd.

Dvs \( \, f(x) \, \) är inte definierad i ändpunkterna \( \, x = 2 \, \) och \( \, x = -2 \).

Grafen till vänster visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter.

\( \, f(x) \, \) har i \( \, x = 0 \, \) ett lokalt minimum som är även funktionens globala minimum.

Däremot kan man inte ange något globalt maximum för \( \, f(x) \, \), av följande skäl:

Om man t.ex. påstår att \( \, f(1,99) \, \) är funktionens största värde, är \( \, f(1,999) \, \)

ännu större. Om man påstår att \( \, f(1,999) \, \) är största värdet, är \( \, f(1,9999) \)

ännu större osv. Denna process har ingen ända. Samma sak gäller även för \( \, f(-1,99\ldots) \).

Varken \( \, f(2) \, \) eller \( \, f(-2) \, \) kan vara globala maxima, för båda är inte definierade.

Slutligen kan man inte hitta något största värde. Man drar slutsatsen:


                 

Globalt maximum saknas.


Att globalt maximum saknas har i detta exempel inte med funktionens utan snarare med definitionsmängdens egenskaper att göra.

Man säger: Definitionsintervallet \( \; -2 < x < 2 \; \) är öppet, dvs ändarna tillhör inte intervallet.

Hade \( f(x) \) däremot varit definierad t.ex. i det slutna intervallet: \( -2 \leq x \leq 2 \;\; \) hade \( \; f(2) \, = \, f(-2) \, = \, 4 \; \) varit funktionens globala maximum.


Ett intervall \( \, a < x < b \, \) där ändarna \( \, a \, \) och \( \, b \, \) inte tillhör intervallet, kallas för öppet, annars för slutet.

En funktion som är definierad i ett öppet intervall har inga globala extrema i definitionsintervallets ändpunkter.


I så fall kan globala extrema, om de existerar, sammanfalla med de lokala extrema eller saknas. I exemplet ovan sammanfaller funktionens globala minimum med dess lokala minimum i \( \, x = 0 \). Men funktionen saknar globalt maximum.





Copyright © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.4_Kurvkonstruktioner&oldid=35042"