Skillnad mellan versioner av "Kapitel 5 Trigonometri"

Utdrag ur planeringen:

5.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar \( \qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 208

Tangens för \( \, v \, < \, 90^\circ \)

Flera exempel på tangens Flera exempel på tangens Exempel på tangens   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Sinus och Cosinus för \( \, v \, < \, 90^\circ \)

5.2 Exakta trigonometriska värden / Enhetscirkeln \( \;\; \) Övningar:   Boken, sid 209 / 210

Två speciella vinklar: \( \, 45^\circ \, \) och \( \, 60^\circ \, \)

Pythagoras satsen används på halva kvadraten med sidan \( \, 1 \, \) för att få diagonalen \( \, \sqrt{2} \). Sedan bestäms \( \, \sin 45^\circ \, \) och \( \, \tan 45^\circ \):

På liknande sätt används Pythagoras på halva liksidiga triangeln med sidan \( \, 2 \, \) för att få höjden \( \, \sqrt{3} \). Sedan bestäms \( \, \sin 60^\circ \) och \( \, \cos 60^\circ \).

"Exakt" betyder: Gå inte över till decimaltal, dvs:

•    Bibehåll bråk med endast heltal i täljare och nämnare,
•    Bibehåll rötter som inte ger heltal.

En konsekvens blir att inte ens rötter ska stå kvar i bråkens nämnare. Ta upp dem genom förlängning med \( \, \sqrt{{\color{White} {\cdots}}} \), t.ex.:

\[ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \, = \, \frac{1 \, \cdot \, {\color{Red} {\sqrt{2}}}}{\sqrt{2} \cdot {\color{Red} {\sqrt{2}}}} \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, = \, \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \]

Ytterligare exakta trigonometriska värden

Andra geometriska satser ger följande exakta värden:

Enhetscirkeln

Cirkel \( \, = \, \) Mängden av alla punkter som har samma avstånd (radien \( \, r \, \)) från en punkt (medelpunkten \( \, M \, \)).

Cirkelns ekvation:

Enhetscirkeln är cirkeln med radien \( \, r \, = \, 1 \, \) och medelpunkten \( \, M \, = \, O \, \) (origo).

Om en punkt \( \, P\,(x, y) \, \) snurrar på enhetscirkeln och \( \, v \, \) är vinkeln mellan \( \, x\)-axeln och \( \, \overline{OP} \), så gäller:

\( \qquad\qquad\quad \)

\(\begin{array}{rcl} x & = & \cos v \\ y & = & \sin v \end{array}\)

I cirklar med radien \( \, r \, > \, 1 \, \) förblir vinkeln \( \, v \, \) den samma och därmed \( \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, \) och \( \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y \), precis som ovan.

Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar \( \, v \, \geq \, 90^\circ \, \).

5.3 Godtyckliga trianglar \( \qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 215

Sinus och Cosinus för vinklar i intervallet: \( \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ \)

Exempel:

\[ \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2} \]

\[ \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2} \]

Förklaring med enhetscirkeln:

Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, y\)-koordinat (\(=\sin v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \).

Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, x\)-koordinat (\(=\cos v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \, \) med omvänt tecken.

Ekvationer           med    Sin & Cos:

Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar

En gång till      Sin & Cos   för \( v \geq 90^\circ \)    i trianglar:

5.4 Triangelsatserna \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 218

Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.

Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:

Areasatsen

Givet: \( \quad \) Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns area.

Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar): En triangels area är produkten av två sidor och den mellanliggande vinkelns sinus, delad med \( \, 2 \, \) (SVS-struktur).

Det omvända problemet:

Givet: \( \quad \) Arean och två sidor av en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Den mellanliggande vinkeln \( \, v \, \).

Varför två lösningar? Varför två lösningar? Varför två lösningar   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:

Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.

5.5 Sinussatsen \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 220 / 224-225

Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida eller två andra sidor.

Sinussatsen i vanliga ord (utan beteckningar): I en triangel är kvoten mellan vinklarnas sinus och deras motstående sidor lika stor.

Exempel på sinussatsen (två lösningar)

Givet: \( \quad \) Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.

Varför två lösningar? Varför två lösningar? Varför två lösningar   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:

Triangelns två sidor \( \, b = 27 \, \) och \( \, c = 35 \, \) är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot \( \, b \).

5.6 Cosinussatsen \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 229-230

Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.

Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med en \( \cos\)-term som involverar högerledets två sidor och den mellanliggande vinkeln.

Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: \( \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 \). Då försvinner \( \cos\)-termen i cosinussatsen.

När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: endast en lösning.

När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.

Samma exempel som ovan, nu med cosinussatsen

Varför två lösningar? Varför två lösningar? Varför två lösningar   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.

5.7 Användning av trigonometri \( \qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 232-233

Svar Svar 5.7 Svar fel i 5.7   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

\[ \underline{\rm Lösning:} \quad {\rm Vi\;ritar\;figuren\;till\;höger\;(modellering).} \] \[{\rm Sidovinkeln} \quad u \, = \, 180^\circ - 72,5^\circ \, = \, 107,5^\circ \] \[{\rm Vinkelsumman\;i\;triangeln\;} ABC {\rm \;ger} \] \[ v \, = \, 180^\circ - 56,4^\circ - 107,5^\circ\, = \, 16,1^\circ \]