Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (103 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | __NOTOC__ | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[1. | + | {{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom| << Förra avsnitt]]}} |
{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}} | {{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt | + | {{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | [[1. | + | [[1.3 Repetition: Tal i bråkform| << Repetition: Tal i bråkform]] |
| − | [[Media: Lektion 6 Rationella uttryck | + | <!-- [[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></b>]] |
| − | [[Media: Lektion 7 Rationella | + | [[Media: Lektion 7 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck</span></b>]] |
| − | + | ||
| − | + | [[Media: Lektion 8 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning</span></b>]] | |
| + | --> | ||
| + | = <b><span style="color:#931136">Exempel på rationella uttryck</span></b> = | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | ::<math> {1 | + | ::<math> \frac{1}{x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \qquad\quad {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over 4\,x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 1} \quad </math> |
</div> | </div> | ||
<big> | <big> | ||
| − | Ett <b><span style="color:red">rationellt uttryck</span></b> är kvoten (resultatet av division) mellan två [[1. | + | Ett <b><span style="color:red">rationellt uttryck</span></b> är kvoten (resultatet av division) mellan två [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">polynom</span></b>]]. |
I rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> \, 0\, </math>, t.ex. får i<span style="color:black">:</span> | I rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> \, 0\, </math>, t.ex. får i<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 35: | Rad 38: | ||
Det rationella uttrycket <math> \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, </math> är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 </math>. | Det rationella uttrycket <math> \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, </math> är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 </math>. | ||
| − | + | Uttryckets <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math> | |
</div> | </div> | ||
| Rad 43: | Rad 46: | ||
| − | == <b><span style="color:#931136">Analogi mellan heltal och polynom | + | == <b><span style="color:#931136">Analogi mellan heltal och polynom samt mellan bråk och rationella uttryck</span></b> == |
<big> | <big> | ||
| − | Repetera [http:// | + | Repetera [http://34.248.89.132:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal<b><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></b>] från Matte 1. |
Ett <b><span style="color:red">rationellt tal</span></b> är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget <math> 0\, </math> i nämnaren, t.ex. <math> \; \displaystyle \frac{3}{4} \; </math>. | Ett <b><span style="color:red">rationellt tal</span></b> är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget <math> 0\, </math> i nämnaren, t.ex. <math> \; \displaystyle \frac{3}{4} \; </math>. | ||
| Rad 58: | Rad 61: | ||
De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det: | De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det: | ||
| − | När vi börjar <b><span style="color:red">räkna</span></b> visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning | + | När vi börjar <b><span style="color:red">räkna</span></b> visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning på de regler som gäller för bråktal, fast på ett högre plan. Detta gäller inte bara <b><span style="color:red">de fyra räknesätten</span></b> utan även <b><span style="color:red">förkortning</span></b> och <b><span style="color:red">förlängning</span></b>. |
| − | I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför: <b>Repetera [[ | + | I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför: <b>Repetera [[1.3 Repetition: Tal i bråkform|<span style="color:blue">bråkräkning</span>]] från Matte 1 .</b> |
</big> | </big> | ||
| − | + | = <b><span style="color:#931136">Addition och subtraktion av rationella uttryck</span></b> = | |
| − | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 1</span> === | ||
<big> | <big> | ||
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; </math> så långt som möjligt. | Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; </math> så långt som möjligt. | ||
| − | ::::::<math> \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3 | + | ::::::<math> \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2}}} \; = \; {\;15 \over 6\,x} \, - \, {\;8 \over 6\,x} \; = \; {\;15 - 8 \over 6\,x} \; = \; {7 \over 6\,x} </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnC"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 2</span> === | ||
<big> | <big> | ||
| Rad 86: | Rad 89: | ||
| − | |||
<big> | <big> | ||
| + | <b>Hjälpsats:</b> <math> \qquad\quad \boxed{a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a)} </math> | ||
| − | + | <b>Bevis:</b> <math> \qquad\qquad\;\;\, a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) </math> | |
| − | + | ||
| − | Bevis | + | |
Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela. | Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela. | ||
| Rad 97: | Rad 98: | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnA"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 3</span> === | ||
<big> | <big> | ||
| Rad 106: | Rad 107: | ||
| − | + | == <span style="color:#931136">Repetition: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln</span> == | |
| − | < | + | <div class="border-divblue"> |
| − | + | <math>\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \;\; \\ | |
| − | + | {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ | |
| − | + | ||
| − | {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 | + | |
{\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 | {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | + | </div> | |
| − | + | <big> | |
| − | <b><span style="color:red">OBS!</span></b> Användningen av reglerna ovan <b><span style="color:red">baklänges</span></b> innebär <b><span style="color:red">faktorisering</span></b> | + | <b><span style="color:red">OBS!</span></b> Användningen av reglerna ovan <b><span style="color:red">baklänges</span></b> innebär <b><span style="color:red">faktorisering</span></b>. |
</big> | </big> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 4</span> === | ||
<big> | <big> | ||
| Rad 129: | Rad 128: | ||
:<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math> | :<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math> | ||
| − | :<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, | + | :<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, - \, {1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; - \; {{\color{Red} {(x+2)}}\quad\cdot \quad\, 1 \quad\;\;\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | :<math> = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math> | + | :<math> = \; {2\,x \; - \; (x+2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| − | + | = <b><span style="color:#931136">Multiplikation och division av rationella uttryck</span></b> = | |
<big> | <big> | ||
| − | + | Även här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck: | |
</big> | </big> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnC"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 1</span> === | ||
| Rad 153: | Rad 150: | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnA"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 2</span> === | ||
| Rad 163: | Rad 160: | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 3</span> === | ||
| Rad 169: | Rad 166: | ||
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; </math> så långt som möjligt. | Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; </math> så långt som möjligt. | ||
| − | <b><span style="color:red"> | + | <b><span style="color:red">OBS! Vanligt fel:</span></b> <math> \; \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3}} </math> |
| − | <b><span style="color:red"> | + | <b><span style="color:red">Korrekt lösning:</span></b> <math> \;\, \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \;{x \over x+3} \cdot {\color{Red} 6 \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; {x \cdot (x+3) \over (x+3) \cdot x} \; = \; 1} </math> |
| − | + | <b><span style="color:red">Felets förklaring</span></b>: | |
| − | + | Låt oss i uttrycket <math> \, \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, </math> anta <math> \, x = 1\, </math>. | |
| + | Felaktig "förkortning" ger <math> \, \displaystyle{{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} </math> <math> = 18 \, </math>. | ||
| − | < | + | Rätt svar är <math> \, \displaystyle{{6+18 \over 6} = {24 \over 6}} = 4 \, </math>. |
| + | |||
| + | Slutsats: | ||
| + | |||
| + | Det är fel att "förkorta" uttrycket <math> \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; </math> med <math> \; {\color{Red} {6\,x}} \; </math> därför att <math> \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; </math> är en summa. | ||
| − | + | Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma <b><span style="color:red">faktorer</span></b> förkortas. | |
| − | + | Korrekt är att <b><span style="color:red">faktorisera</span></b> <math> \, 6\,x+18 \, </math> innan vi kan förkorta<span style="color:black"></span>. Det gör vi genom att bryta ut <math> {\color{Red} 6} \, </math> i täljaren: | |
| − | + | ::::::<math> {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} </math> | |
| − | + | Nu får vi också rätt svar om vi i uttrycket ovan sätter in <math> \, x = 1 </math><span style="color:black">:</span> <math> \quad \displaystyle{{1+3 \over 1} \, = \, 4} \quad </math>. | |
</big></div> | </big></div> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnC"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 4</span> === | ||
| Rad 197: | Rad 199: | ||
[[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]] | [[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]] | ||
| − | I första steget har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition: | + | I första steget har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_och_konjugatregeln|<b><span style="color:blue">2:a kvadreringsregeln</span></b>]] använts baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet<span style="color:black">:</span> <math> \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, </math> för att sedan kunna förkorta med <math> (x-1)\, </math>. |
</big></div> | </big></div> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnA"> |
=== <span style="color:#931136">Exempel 5</span> === | === <span style="color:#931136">Exempel 5</span> === | ||
| Rad 213: | Rad 215: | ||
:<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math> | :<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math> | ||
</big></div> | </big></div> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| Rad 235: | Rad 234: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 10 december 2024 kl. 14.01
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt >> |
Exempel på rationella uttryck
- \[ \frac{1}{x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \qquad\quad {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over 4\,x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 1} \quad \]
Ett rationellt uttryck är kvoten (resultatet av division) mellan två polynom.
I rationella uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \), t.ex. får i:
- \[ 6\,x \over x^2 - 1 \]
nämnaren \( x^2 - 1\, \) inte bli \( \, 0 \), för division med \( \, 0 \) är inte definierad. Läs: Varför är division med 0 inte definierad?
Detta innebär att \( \, x\, \) varken får vara \( \, 1\, \) eller \( \, -1\, \), för då blir polynomet \( \, x^2 - 1\, \):s värde \( \, 0 \). Och eftersom \( \, x^2 - 1\, \) står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \, \) inte definierat. Man säger:
Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, \) är definierat för alla \( x\, \) utom för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \).
Uttryckets definitionsmängd är: \( \qquad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \)
Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.
Analogi mellan heltal och polynom samt mellan bråk och rationella uttryck
Repetera Olika typer av tal från Matte 1.
Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex. \( \; \displaystyle \frac{3}{4} \; \).
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( \, 0\, \), t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{0} \, \) är inte definierad.
Följande analogi (motsvarighet) råder mellan heltal och polynom å ena och bråk och rationellt uttryck å andra sidan:
Heltal motsvarar polynom och rationella tal motsvarar rationella uttryck. De senaste två är kvoter av de första två. I de senaste två får nämnaren inte bli \( \, 0 \).
De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det:
När vi börjar räkna visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning på de regler som gäller för bråktal, fast på ett högre plan. Detta gäller inte bara de fyra räknesätten utan även förkortning och förlängning.
I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför: Repetera bråkräkning från Matte 1 .
Addition och subtraktion av rationella uttryck
Exempel 1
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; \) så långt som möjligt.
- \[ \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2}}} \; = \; {\;15 \over 6\,x} \, - \, {\;8 \over 6\,x} \; = \; {\;15 - 8 \over 6\,x} \; = \; {7 \over 6\,x} \]
Exempel 2
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; \) så långt som möjligt.
- \[ \;\, {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; \]
- \[ \;\, = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]
Hjälpsats: \( \qquad\quad \boxed{a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a)} \)
Bevis: \( \qquad\qquad\;\;\, a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)
Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela.
Exempel 3
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{2}{a-b} \, - \, \frac{1}{b-a} \; \) så långt som möjligt.
- \[ \;\, {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]
Repetition: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln
\(\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \;\; \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\)
OBS! Användningen av reglerna ovan baklänges innebär faktorisering.
Exempel 4
Förenkla uttrycket \( \; {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; \) så långt som möjligt.
Redan i första steget används konjugatregeln baklänges för att faktorisera den första termens nämnare:
\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]
\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, - \, {1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; - \; {{\color{Red} {(x+2)}}\quad\cdot \quad\, 1 \quad\;\;\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]
\[ = \; {2\,x \; - \; (x+2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]
Multiplikation och division av rationella uttryck
Även här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
Exempel 1
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{15}{x^2} \cdot \frac{x}{3} \)
- \[ \;\, {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]
Exempel 2
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5\,x^2}{12} \cdot \frac{3}{20\,x} \)
- \[ \;\, {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]
Exempel 3
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; \) så långt som möjligt.
OBS! Vanligt fel: \( \; \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3}} \)
Korrekt lösning: \( \;\, \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \;{x \over x+3} \cdot {\color{Red} 6 \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; {x \cdot (x+3) \over (x+3) \cdot x} \; = \; 1} \)
Felets förklaring:
Låt oss i uttrycket \( \, \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \) anta \( \, x = 1\, \).
Felaktig "förkortning" ger \( \, \displaystyle{{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \, \).
Rätt svar är \( \, \displaystyle{{6+18 \over 6} = {24 \over 6}} = 4 \, \).
Slutsats:
Det är fel att "förkorta" uttrycket \( \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; \) med \( \; {\color{Red} {6\,x}} \; \) därför att \( \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; \) är en summa.
Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.
Korrekt är att faktorisera \( \, 6\,x+18 \, \) innan vi kan förkorta. Det gör vi genom att bryta ut \( {\color{Red} 6} \, \) i täljaren:
- \[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]
Nu får vi också rätt svar om vi i uttrycket ovan sätter in \( \, x = 1 \): \( \quad \displaystyle{{1+3 \over 1} \, = \, 4} \quad \).
Exempel 4
I första steget har den 2:a kvadreringsregeln använts baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet: \( \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, \) för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).
Exempel 5
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \left(\frac{x^2 - 8\,x + 16}{y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, \; \) så långt som möjligt.
\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]
\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;baklänges\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]
\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]
Internetlänkar
http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx
http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel
http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related </big>
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.
