Skillnad mellan versioner av "Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata"

Uppgift nr 2

Vad blir \( \; f\,'(-3) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \,\displaystyle{\frac{2\,x\,^4}{9} + \frac{x\,^3}{3}} \)

Uppgift nr 3

Ställ upp derivatan \( \; f\,'(x) \; \) om \( \qquad f(x) \, = \,\displaystyle{2\,x \, + \, \frac{1}{x}} \)

Uppgift nr 4

Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \,\displaystyle{\frac{5\,x}{12}\; + \;\sqrt x} \)

Uppgift nr 5

Vad blir \( \; f\,'(1) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, 5\,e\,^x \, - \, 3 \, e^{-4\,x} \)

Uppgift nr 6

För vilket x antar derivatan av följande funktion värdet \( \, 17 \, \)?

\[ y\; = \; 6\,^x \]

Ange svaret avrundat till tre decimaler.

Uppgift nr 7

Ställ upp derivatan av följande funktion: \( \qquad\displaystyle{ y\,= \,\frac{{{e^{ x}}\;\; + \;\;{e^{ - x}}}}{2} } \)

Uppgift nr 8

Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y \, = \, x^2 \, + \, 5\,x \, - \, 1 \]

i punkten \( \, - 1 \, \).

Uppgift nr 9

Temperaturen T i en kopp kaffe sjunker enligt modellen

\[ T \, = \, 70 \cdot e^{-0,034\,t} \, + \, 35 \]

där \( \, t \, \) är tiden i minuter efter att kaffet hällts i koppen.

Hur stor är avkylningshastigheten efter \( \, 10 \, \) minuter?

Ange svaret med två decimalers noggrannhet.

Uppgift nr 10

Vad blir \( \, f\,'(4) \, \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, \displaystyle{ x^3 \, + \, \frac{\sqrt x}{2}}\)

Ange resultatet med tre decimaler.

Uppgift nr 11

Befolkningen i en småstad utvecklas under åren \( \, 2\,000\)-\(2\,010 \, \)enligt modellen

\[ N \, = \, 25\,000 \cdot 0,98\,^t \]

där \( \, N \, \) är antal personer och \( \, t \, \) är tiden i år räknad från \( \, 2\,000 \, \).

Ökar eller minskar befolkningen år \( \, 2\,005 \, \) och i så fall hur mycket per år?

Uppgift nr 12

Värdet av en produkt minskar enligt

\[ y \, = \, 225\,000 \cdot e\,^{-k\,x} \]

där \( \, y \, \) är värdet i kr, \( \, x \, \) produktens ålder i år och \( \, k \, \) en konstant.

Bestäm k så att värdet är \( \, 100\,000 \, \) kr efter \( \, 5 \, \) år.

Med hur många kr minskar värdet per år då \( \, x = 5 \, \)?

Uppgift nr 13

Antalet bakterier \( \, N \, \) i en bakteriekultur följer funktionen

\[ N(t) \, = \, \frac{250}{1 + 249 \cdot e\,^{-t}} \]

där \( \, t \, \) är tiden i minuter. Ange bakteriernas tillväxthastighet efter \( \, 7 \, \) minuter.

Fundera först om funktionen \( \, N(t) \, \) kan deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss hittills.

Uppgift nr 14

Bakterier i en liter mjölk växer enligt modellen:

\[ y \, = \, 10 \cdot 2\,^x \]

där \( \, y \, \) är antal bakterier och \( \, x \, \) är tiden i timmar.

Efter hur många timmar har tillväxthastigheten i mjölken uppnått \( \, 1\,000 \, \) bakterier/timme?

Avrunda svaret till en decimal.

Uppgift nr 15

Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y \, = \, 2\,x^2 - \,3\,x\, - \,4 \]

som är parallell till linjen

\[ \!\! y \, = \, x \, - \, 4 \]

I vilken punkt tangerar (berör) tangenten kurvan?