Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 2b"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (45 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | '''Lokala maxima och minima''' | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | :::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ | |
| − | + | f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ | |
| − | + | f''(x) & = & - 2\,x | |
| − | + | \end{array}</math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | Sätter derivatan till <math> \, 0 \, </math> och beräknar derivatans nollställen: | ||
| + | :::<math> \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\ | ||
| + | x^2 & = & 1 \\ | ||
| + | &\Downarrow& \\ | ||
| + | x_1 & = & 1 \\ | ||
| + | x_2 & = & -1 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span> | ||
| + | ::::<math> \; f''(x) \, = \, - 2\,x </math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td><math> | + | <td><math> \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
</td> | </td> | ||
| − | |||
<td> | <td> | ||
| − | + | <math> \;\; f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \; </math> lokalt maximum.</td> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td><math> | + | <td><math> \underline{x_2 = -1} </math><span style="color:black">:</span> |
</td> | </td> | ||
| − | |||
<td> | <td> | ||
| − | <math> f''( | + | <math> f''(-1) \, = \, - 2 \cdot (-1) \, = \, 2 > 0 \; \Longrightarrow \; x_2 = -1 \; </math> lokalt minimum. |
</td> | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | :: | + | De lokala maximi- och minimipunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span> |
| + | |||
| + | <math> \quad f(x) = \displaystyle x - \frac{x^3}{3} </math> | ||
| + | |||
| + | <math> \quad f(1) = \displaystyle 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \, \Longrightarrow \, \left(1, \frac{2}{3}\right) \, </math> är lokal maximipunkt. | ||
| − | + | <math> \quad f(-1) = \displaystyle{-1 - \frac{-1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}} \, \Longrightarrow \, \left(-1, -\frac{2}{3}\right) </math> är lokal minimipunkt. | |
| − | |||
| − | + | '''Globala maxima och minima''' | |
| − | + | Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter <math> \, -3 \, </math> och <math> \, 3 </math><span style="color:black">:</span> | |
| − | + | ||
| + | ::<math> f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} </math> | ||
| − | + | ::<math> f(-3) \, = \, \displaystyle -3 \, - \, \frac{(-3)^3}{3} \, = \, -3 \, + \, 9 \, = \, 6 </math> | |
| − | : | + | ::<math> f(3) \, = \, \displaystyle 3 \, - \, \frac{3^3}{3} \, = \, 3 \, - \, 9 \, = \, -6 </math> |
| − | + | Jämför dem med de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span> | |
| − | + | Lokala maximivärdet var <math> \, \displaystyle \frac{2}{3} \, </math>, se ovan. | |
| − | + | <math> \quad\; \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad </math> är funktionens största värde: globalt maximum. | |
| − | + | Lokala minimivärdet var <math> \, \displaystyle -\frac{2}{3} \, </math>, se ovan. | |
| − | + | <math> \quad\; \displaystyle -6 \, < \, -\frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad -6 \quad </math> är funktionens minsta värde: globalt minimum. | |
| − | + | Värdena <math> \, 6 \, </math> och <math> \, -6 </math> antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter, | |
| − | + | eftersom intervallet <math> \, -3 \leq x \leq 3 \, </math> är slutet. Därför är <math> \, 6 \, </math> och <math> \, -6 \, </math> globala extrema. | |
| − | + | <math> \quad (-3, 6) \; </math> är global maximipunkt. | |
| − | + | <math> \quad (3, -6) \; </math> är global minimipunkt. | |
Nuvarande version från 21 januari 2017 kl. 20.57
Lokala maxima och minima
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ f''(x) & = & - 2\,x \end{array}\]
Sätter derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar derivatans nollställen:
- \[ \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\ x^2 & = & 1 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & -1 \end{array}\]
Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan:
- \[ \; f''(x) \, = \, - 2\,x \]
| \( \underline{x_1 = 1} \, \): | \( \;\; f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \; \) lokalt maximum. |
| \( \underline{x_2 = -1} \): |
\( f''(-1) \, = \, - 2 \cdot (-1) \, = \, 2 > 0 \; \Longrightarrow \; x_2 = -1 \; \) lokalt minimum. |
De lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:
\( \quad f(x) = \displaystyle x - \frac{x^3}{3} \)
\( \quad f(1) = \displaystyle 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \, \Longrightarrow \, \left(1, \frac{2}{3}\right) \, \) är lokal maximipunkt.
\( \quad f(-1) = \displaystyle{-1 - \frac{-1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}} \, \Longrightarrow \, \left(-1, -\frac{2}{3}\right) \) är lokal minimipunkt.
Globala maxima och minima
Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, -3 \, \) och \( \, 3 \):
- \[ f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \]
- \[ f(-3) \, = \, \displaystyle -3 \, - \, \frac{(-3)^3}{3} \, = \, -3 \, + \, 9 \, = \, 6 \]
- \[ f(3) \, = \, \displaystyle 3 \, - \, \frac{3^3}{3} \, = \, 3 \, - \, 9 \, = \, -6 \]
Jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:
Lokala maximivärdet var \( \, \displaystyle \frac{2}{3} \, \), se ovan.
\( \quad\; \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad \) är funktionens största värde: globalt maximum.
Lokala minimivärdet var \( \, \displaystyle -\frac{2}{3} \, \), se ovan.
\( \quad\; \displaystyle -6 \, < \, -\frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad -6 \quad \) är funktionens minsta värde: globalt minimum.
Värdena \( \, 6 \, \) och \( \, -6 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter,
eftersom intervallet \( \, -3 \leq x \leq 3 \, \) är slutet. Därför är \( \, 6 \, \) och \( \, -6 \, \) globala extrema.
\( \quad (-3, 6) \; \) är global maximipunkt.
\( \quad (3, -6) \; \) är global minimipunkt.
