Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(20 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom| <<&nbsp;&nbsp;Tillbaka till Polynom]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
 
{{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz (Matte1b)]]}}
+
{{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz]]}}
 
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|1:a avsnitt: Polynom&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
 
−
<big>Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">Polynom</span></b>]]. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.</big>
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
 
−
<div class="exempel">
 
−
[[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
 
−
<big>
 
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
 
−
 
−
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
 
−
</big></div>  <!-- exempel -->
 
−
 
−
 
−
<big>
 
−
Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med <b><span style="color:red">upphöjt till</span></b>.
 
−
 
−
I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> som sedan förkortas till <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>.
 
−
</big>
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> ==
 
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td><div class="border-divblue">
+
   <td>[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="border-divblue">
 
<big>Exempel på potens:
 
<big>Exempel på potens:
  
−
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>  
+
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8</math>  
  
 
<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b>
 
<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b>
  
 
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.  
 
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.  
−
</big></div>
+
</big></div></td>
−
</td>
+
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
+
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
Rad 48: Rad 28:
  
 
<big>
 
<big>
−
<math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> <b><span style="color:red">upphöjt till</span></b><math> \, {\color{Red} 3} \, </math> och kallas för &nbsp;<b><span style="color:red">potens</span></b>. <math> \, 2\, </math> heter <b><span style="color:red">basen</span></b> och <math> \, 3 \, </math> <b><span style="color:red">exponenten</span></b>.
+
<b><span style="color:red">OBS!</span></b>&nbsp;&nbsp; Förväxla inte begreppen<span style="color:black">:</span> <math> \, 2\,^3 \, </math> är själva potensen, medan <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är <b><span style="color:red">exponenten</span></b> och <math> \, {\color{green} 2}\, </math> förstås <b><span style="color:green">basen</span></b>.
  
−
Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att <math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv (jfr. [http://mathonline.se:1800/index.php?title=1.2_R%C3%A4kneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F <b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]).
+
Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att<span style="color:black">:</span>
  
−
Därför det är fel att multiplicera <math> \, 2 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>.
+
<math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. [http://mathonline.se:1800/index.php?title=1.2_R%C3%A4kneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F <b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]).
 
</big>
 
</big>
  
Rad 67: Rad 47:
  
 
Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
 
Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
 +
 +
För att förstå den snabbare lösningen se [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]].
 
</big>
 
</big>
 
</div>  <!-- exempel1 -->
 
</div>  <!-- exempel1 -->
  
  
−
<big>
+
<big>Generellt:</big>
−
För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till:
+
−
</big>
+
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva exponenter</span></b> ==
  
−
<big>
+
<div class="ovnE">
−
Följande lagar gäller för potenser där basernna <math> \, a,\,b \, </math> är tal <math> \, \neq 0 \, </math> och exponenterna <math> \, x,\,y \, </math> är godtyckliga tal:
+
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> med <b><span style="color:red">positiv</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>
−
</big>
+
 
 +
:::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
 +
 
 +
:::::<big><math> \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
  
  
Rad 96: Rad 83:
 
----
 
----
 
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
−
</div> <!-- border-divblue -->
+
</div>
  
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva exponenter</span></b> ==
 
  
 
<big>
 
<big>
−
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> med <b><span style="color:red">positiv</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>
+
Dessa lagar gäller för potenser där baserna <math> \, a,\,b \, </math> är tal <math> \, \neq 0 \, </math> och exponenterna <math> \, x,\,y \, </math> är godtyckliga tal.
 +
</big>
  
−
:::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
 
−
 
−
:::::<big><math> \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
 
−
</big>
 
  
 
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
 
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
Rad 145: Rad 127:
  
 
<big>
 
<big>
−
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger inte för negativa exponenter.
+
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten <math> \, 0 \, </math>:
  
−
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt. Det behövs en ny definition.
+
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller <math> \, 0 \, </math>. Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.
 
</big>
 
</big>
  
  
 
== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
−
<div class="border-divblue">
+
<div class="exempel">
−
<big>Exempel på potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span>
+
[[Image: Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg]]
 +
</div>
  
−
::<math> \;\; \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \; = \; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \; = \; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math>
 
  
−
<b><span style="color:#931136">Potens med negativ exponent</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">division</span></b> av <math> \, 1 \, </math> med basen <math> \, 2 </math>, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="ovnC">
 +
<big>Potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span>
  
−
Eller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; </math> upprepad multiplikation med basens <b><span style="color:red">invers</span></b> <math> \displaystyle \frac{1}{2} </math>, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
+
<math> \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math>  
  
−
<b><span style="color:#931136">Negativ exponent</span></b> innebär att <b><span style="color:red">invertera</span></b> potensen med positiv exponent.
+
<b><span style="color:red">Invertera</span></b> potensen med positiv exponent.
 +
 
 +
----
 +
 
 +
Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} \; </math>.
 
</big></div>
 
</big></div>
  
  
−
<div class="ovnE">
+
</td>
−
<big>Andra exempel<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad </math> Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} </math></big>
+
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="ovnE">
 +
<big>Andra exempel<span style="color:black">:</span></big>
 
::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
 
::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
  
Rad 173: Rad 163:
 
::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
 
::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
 
</div>
 
</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
 
+
<big>Generellt:</big>
−
<big>Generellt:
+
−
 
+
−
 
+
−
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} {-x}} \, </math></big> med <b><span style="color:red">negativ</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<b>Upprepad <span style="color:red">division</span> av <math> \, 1 \, </math> med basen <big><math> \, a \, </math></big> (eller multiplikation med <math> \, \displaystyle \frac{1}{a} \, </math>), <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
+
−
 
+
−
:<big><math> \displaystyle a\,^{\color{Red} {-x}} \; = \; 1 \, / \, \underbrace{a \, / \, a \, / \, a \, / \quad \ \cdots \quad / a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \quad {\color{Red} =} \quad 1 \cdot \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot \frac{1}{a}}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \; = \; {1 \over a^x}</math></big>
+
−
 
+
−
Övergången från division till multiplikation (den <span style="color:red">röda</span> likheten) kan motiveras så här:
+
−
 
+
−
Uppfattar man <big><math> \, a \, </math></big> som ett bråk med nämnaren <big><math> \, 1 \, </math></big> dvs <math> \, \displaystyle \frac{a}{1} </math>, kan man ersätta divisionerna med multiplikationer med det inversa <math> \, \displaystyle \frac{1}{a} </math>.
+
−
 
+
−
I [[1.3_Repetition_Bråkräkning_från_Matte_1#Multiplikation_och_division|<b><span style="color:blue">Bråkräkning</span></b>]] hade vi lärt oss att division med ett bråk kan skrivas som en multiplikation med det inversa bråket.
+
−
 
+
−
 
+
−
I de följande två påståendena ska gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 \quad </math>.
+
−
</big>
+
  
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
Rad 212: Rad 187:
 
</div>
 
</div>
  
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenser med exponenten <math> \, 0 \, </math></span></b> ==
 +
 +
<big>Exempel:</big>
 +
 +
<div class="ovnE">
 +
<big><math> \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad </math>
 +
</big></div>
 +
 +
 +
<big>Generellt:</big>
  
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
Rad 236: Rad 222:
  
  
−
<big>
+
<big>I båda föregående påståenden ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 \quad </math>.
−
Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och <b><span style="color:red">nollte potensen</span></b> däremellan (Potens <math> \; = \; </math> upprepad multiplikation):
+
 
 +
 
 +
Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:
 +
 
 +
Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.
 +
 
 +
<b><span style="color:red">Nollte potensen</span></b> bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som <math> \, 0 \, </math> är övergången mellan positiva och negativa tal:
 
</big>
 
</big>
 +
  
 
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
Rad 264: Rad 257:
  
 
Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
 
Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
−
</div>
 
−
 
−
 
−
<big>
 
−
Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och <b><span style="color:red">nollprodukten</span></b> däremellan (Produkt <math> \; = \; </math> upprepad addition<span style="color:black">:</span> <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> tar över rollen av <math> \, {\color{Red} 1} </math>):
 
−
</big>
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> ==
 
−
 
−
<div class="ovnC">
 
−
::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math>
 
−
 
−
::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math>
 
−
 
−
::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math>
 
−
 
−
::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math>
 
−
 
−
::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}} </math>
 
−
 
−
::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math>
 
−
 
−
::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math>
 
−
 
−
::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math>
 
−
 
−
::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math>
 
−
 
−
Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">additionens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>.
 
−
 
−
Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
 
 
</div>
 
</div>
  
Rad 300: Rad 262:
 
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
 
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
−
Potenser med exponenter som är [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:red">rationella tal</span></b>]] (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.
+
Här ska vi lägga till [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.
  
−
Därför kan de användas för att beräkna både kvadratrötter och högre rötter.
+
Potenser med rationella exponenter är potenser som har [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal <b><span style="color:red">rationella tal</span></b>] (bråktal) i exponenten.
  
−
Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:
+
De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:
  
 
'''Påstående''':
 
'''Påstående''':
Rad 318: Rad 280:
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
+
Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare<span style="color:black">:</span>
  
−
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; </math></big> Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
+
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a        & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\
 +
                              \sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} &          &              \\
 +
                                                        a^{1 \over 2}  & = & \sqrt{a} & \qquad  &              \\
 +
              \end{array}</math></big>
 +
'''V.s.b.''' &nbsp; ('''V'''ilket '''s'''kulle '''b'''evisas)
  
−
Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
+
I följande ska <math> \; n \; </math> vara ett heltal <math> > 0 </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>.
−
 
+
−
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math></big>
+
−
 
+
−
 
+
−
I följande ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad m, n \, </math> heltal och <math> \, n \, \neq 0 \quad </math>.
+
  
 
'''Påstående''':
 
'''Påstående''':
Rad 343: Rad 304:
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
+
Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare<span style="color:black">:</span>
−
 
+
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}    a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a        & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
−
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
+
                            \sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} &          &              \\
−
 
+
                                                                            a^{1 \over 3} & = & \sqrt[3]{a} & \qquad  &              \\
−
Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
+
        \end{array}</math></big>
−
 
+
'''V.s.b.'''
−
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big>
+
  
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:
+
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där <math> \, m \, </math> ska vara ett heltal, <math> \, n \, </math> ett heltal <math> > 0 </math>  och <math> \, a \, \neq 0 </math>:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
Rad 377: Rad 337:
 
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
 
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
  
−
För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen:
  
−
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}   x^3 & = & 8           & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                     \\
+
                            \sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} &          &                \\
−
                                  x & = 2                               \\
+
                                        x & = & 2           &          &                \\
−
                  \end{align}</math>
+
              \end{array}</math></big>
  
−
Alternativt med potens med rationell exponent:
+
Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:
  
−
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
:::<big><math>\begin{array}{rclcl}   x^3 & = & 8             & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad  & | \; \text{3:e potenslagen på VL}  \\
+
                        (x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} &         &                        \\
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                 \\
+
                    x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} &          &                        \\
−
                                  x  & = 2                             \\
+
                                      x  & = & 2             &          &                        \\
−
                  \end{align}</math>
+
              \end{array}</math></big>
  
−
De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<b><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></b>]].
+
I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.
 
</div> <!-- tolv7 -->
 
</div> <!-- tolv7 -->
  
Rad 426: Rad 386:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 22 januari 2019 kl. 17.46

        <<  Repetitioner          Genomgång          Quiz          Övningar          1:a avsnitt: Polynom  >>      


Potens Bas Exponent 80.jpg            

Exempel på potens:

\[ 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8\]

Potens = upprepad multiplikation

av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.


OBS!   Förväxla inte begreppen: \( \, 2\,^3 \, \) är själva potensen, medan \( \, {\color{Red} 3} \, \) är exponenten och \( \, {\color{green} 2}\, \) förstås basen.

Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att:

\( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. upprepad addition).


Exempel

Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)


Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

OBS!   Förenkla alltid först, räkna sedan!

Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

För att förstå den snabbare lösningen se Potenslagarna.


Generellt:

Potenser med positiva exponenter

Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) med positiv exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:

Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
\( \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)


Potenslagarna

Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)

Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)

Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)

Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)

Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)

Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)

Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)


Dessa lagar gäller för potenser där baserna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal.


Exempel på första potenslagen

Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)


Lösning:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)

Snabbare:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)


Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.


Exempel på andra potenslagen

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)

Snabbare:

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)


Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten \( \, 0 \, \):

Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller \( \, 0 \, \). Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.


Potenser med negativa exponenter

Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg


Potens med negativ exponent:

\( \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \)

Invertera potensen med positiv exponent.

Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \; \).


      

Andra exempel:

\[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]
\[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]
\[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]

Generellt:

Påstående:

Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \)

Bevis:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).

In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).

Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.


Potenser med exponenten \( \, 0 \, \)

Exempel:

\( \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad \)


Generellt:

Påstående:

Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)


I båda föregående påståenden ska alltid gälla: \( \quad x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \quad \).


Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:

Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.

Nollte potensen bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som \( \, 0 \, \) är övergången mellan positiva och negativa tal:


Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

\[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
\[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
\[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
\[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
\[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
\[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]

Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).

Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.


Potenser med rationella exponenter

Här ska vi lägga till Potenslagarna ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.

Potenser med rationella exponenter är potenser som har rationella tal (bråktal) i exponenten.

De är bara ett annat sätt att skriva rötter, både kvadratrötter och högre rötter:

Påstående:

Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)

Bevis:

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Vi drar kvadratroten ur båda leden och går vidare:

\(\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} & = & a & \qquad | & \sqrt{\,.\,} \\ \sqrt{a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2}} & = & \sqrt{a} & & \\ a^{1 \over 2} & = & \sqrt{a} & \qquad & \\ \end{array}\)

V.s.b.   (Vilket skulle bevisas)

I följande ska \( \; n \; \) vara ett heltal \( > 0 \) och \( \, a \, \neq 0 \).

Påstående:

Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)

Bevisidé:

Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Vi drar 3:e roten ur båda leden och går vidare:

\(\begin{array}{rclcl} a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} & = & a & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\ \sqrt[3]{a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3}} & = & \sqrt[3]{a} & & \\ a^{1 \over 3} & = & \sqrt[3]{a} & \qquad & \\ \end{array}\)

V.s.b.

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet, där \( \, m \, \) ska vara ett heltal, \( \, n \, \) ett heltal \( > 0 \) och \( \, a \, \neq 0 \):

Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.


Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.

Potensekvationer löses genom rotdragning.

Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.

För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen:

\(\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & \sqrt[3]{\,.\,} \\ \sqrt[3]{x^3} & = & \sqrt[3]{8} & & \\ x & = & 2 & & \\ \end{array}\)

Alternativt kan rötter skrivas som potenser med rationella exponenter:

\(\begin{array}{rclcl} x^3 & = & 8 & \qquad | & (\,\cdot\,)^{1 \over 3} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = & 8^{1 \over 3} & & \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = & 8^{1 \over 3} & & \\ x & = & 2 & & \\ \end{array}\)

I övergången från den andra till den tredje raden har den 3:e potenslagen använts på vänsterledet.


Blandade exempel

Potens Ex 1.jpg

Potens Ex 2.jpg

Potens Ex 3.jpg


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar





Copyright © 2010-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=Potenser&oldid=36234"