Skillnad mellan versioner av "2.7 Numerisk derivering med räknare"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(51 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 3: Rad 3:
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Genomgång]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[Numerisk derivering med räknare|Derivering med räknare]]}}
+
{{Selected tab|[[2.7 Numerisk derivering med räknare|Derivering med räknare]]}}
 
{{Not selected tab|[[Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
 
{{Not selected tab|[[Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
Rad 13: Rad 13:
 
=== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ===
 
=== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ===
  
−
<div class="border-divblue">
+
<div class="ovnE">
−
=== <b><span style="color:#931136">En funktions derivata i en punkt</span></b> ===
+
==== <b><span style="color:#931136">En funktions derivata i en punkt</span></b> ====
  
−
Marie tävlar i simhopp från <math> 10</math>-meterstorn. Hennes hopp följer en bana som beskrivs av<span style="color:black">:</span>
+
Följande funktion kan inte deriveras med någon av
  
−
:::<math> y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 </math>
+
deriveringsreglerna vi lärt oss hittills<span style="color:black">:</span>
  
−
där <math> \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder\;efter\;hon\;lämnat\;brädan} </math>
+
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\, = \, \ln\,x </math>
  
−
:::<math> y \, = \, {\rm Hennes\;höjd\;över\;vattnet\;i\;meter} </math>
+
Använd din räknare för att få ett närmevärde för <math> f\,'(1,8) </math>.
  
−
<b>a)</b> &nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver Maries hopp i din räknare.
+
Jämför resultatet med genomgångens [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_3|<b><span style="color:blue">Exempel</span></b>]] som beräk-
  
−
<b>b)</b> &nbsp; När slår Marie i vattnet? Ange svaret med <math> \, 10 \, </math> decimaler.
+
nades med steglängden <math> \, h = 0,01 \, </math> och bakåtdifferenskvoten.
−
 
+
−
:Använd din räknares ekvationslösare för att bestämma polynomets nollställe,
+
−
 
+
−
:dvs lösa 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad - 5\,x^2 + 4\,x + 10 = 0 </math>
+
 
</div>
 
</div>
  
Rad 37: Rad 33:
  
 
<big>
 
<big>
−
<b>a)</b> &nbsp; Beskrivningen som ges här bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
+
Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
 
</big>
 
</big>
−
 
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
==== <span style="color:#931136">Grafritning med miniräknare</span> ====
 
−
<table>
 
−
<tr>
 
−
  <td>
 
−
Så här ritar vi i grafräknaren grafen till funktionen
 
  
−
<math> \qquad\qquad y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 </math>
+
==== <span style="color:#931136">Numerisk derivering med miniräknare</span> ====
  
−
Tryck på knappen Y= och skriv in funktions-
+
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.
  
−
uttrycket där markören står: &nbsp; Y1=(-)5X^2+4X+10
+
Gå med piltangenten till &nbsp; <b> nDeriv( </b> &nbsp; som står för ''numerical Derivation''.
  
−
Tryck på knappen ENTER och sedan på GRAPH.
+
Tryck på ENTER.
  
−
Ser du grafen till höger är det OK, annars
+
Mata in så att det efteråt står följande i displayen:
  
−
tryck på knappen WINDOW.
+
::::<b> nDeriv ( ln(X), X, 1.8 ) </b>
−
</td>
+
−
  <td>&nbsp;&nbsp;[[Image: Nollstallen_med_grafraknare.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
  
−
Mata in följande min-/max-värden samt skala för din räknares display (WINDOW):
+
Tryck på ENTER.
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
<td>
+
−
:::<math> x_{min}\, = 0 </math>
+
  
−
:::<math> x_{max}\, = 2 </math>
+
Värdet som visas i displayen betyder<span style="color:black">:</span> <math> \underline{f\,'(1,8) \, \approx \, 0,5555556127} </math>,
−
</td>
+
−
<td>
+
−
:::<math> y_{min}\, = 0 </math>  
+
  
−
:::<math> y_{max}\, = 12 </math>
+
där <math> f(x) = \ln\,x </math>. I genomgångens [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_3|<b><span style="color:blue">Exempel</span></b>]] hade vi med stegläng-
−
</td>
+
−
<td>
+
−
:::<math> x_{scl}\, = 1 </math>
+
  
−
:::<math> y_{scl}\, = 10 </math>
+
den <math> h = 0,01 </math> och bakåtdifferenskvoten fått<span style="color:black">:</span> <math> f\,'(1,8) \, \approx \, 0,5571 </math>.  
−
</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
Tryck på knappen GRAPH igen.
+
  
−
Läs av kurvans skärningspunkt med <math> \, x</math>-axeln: ungefär <math> \, 1,9 \, </math>.
+
Det exakta resultatet var<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle f\,'(1,8) \, = \, \frac{5}{9}  \, \approx \, 0,5555555556 </math>.
  
−
<math> \, y \, </math> är <math> \, 0 \, </math> när <math> \, \underline{x\, \approx 1,9\,} </math>:&nbsp;&nbsp; Funktionens <b><span style="color:red">nollställe</span></b>.
+
Räknaren ger ett närmevärde med <math> \, 7 \, </math> decimalers noggrannhet.
 
</div>
 
</div>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Simhopp från <math> 10 </math>-meterstorn - del 2</span></b> ==
+
<big>
 +
<b> nDeriv( ) </b> använder den noggrannare centraldifferenskvoten och antagligen också en mindre steglängd och får så ett bättre resultat.
  
−
<big>Värdena i <b>a)</b> för WINDOW:s <math> \, min \, </math>, <math> \, max \, </math> och <math> \, scl \, </math> kan man i regel få fram genom att prova sig fram flera gånger. Men:
 
  
−
Vill du veta hur man matematiskt får fram dem, läs här:</big>
+
Räknarens funktion <b> nDeriv( ) </b> tar tre argument separerade med komma:
  
−
<div class="ovnE">
+
1) &nbsp; Funktionsuttrycket <math> f(x) </math>.
−
{{#NAVCONTENT:Del 2 av simhopp från <math> \, 10</math>-meterstorn.|Simhopp från 10-meterstorn - del 2}}
+
−
</div>
+
  
 +
2) &nbsp; Variabeln med avseende på vilken <math> f(x) </math> ska deriveras.
  
−
<big>
+
3) &nbsp; Värdet för vilket funktionens derivata ska beräknas.
−
<b>b)</b> &nbsp; Vi kan nu använda närmevärdet från <b>a)</b> som startvärde för kalkylatorns ekvationslösare som kommer att precisera nollstället.
+
 
</big>
 
</big>
  
  
−
<div class="border-divblue">
 
−
 
−
==== <span style="color:#931136">Ekvationslösning med miniräknare</span> ====
 
−
 
−
När "exakt" slår Marie i vattnet? Lös ekvationen <math> \; - 5\,x^2 + 4\,x + 10 = 0 \; </math> med <math> \, 10 \, </math> decimalers noggrannhet.
 
−
 
−
::Tryck i miniräknaren på knappen MATH.
 
−
 
−
::Gå med piltangenten till <b>Solver...</b>
 
−
 
−
::Tryck på ENTER.
 
−
 
−
::Mata in ekvationens vänsterled där markören står, så att det efteråt står följande två rader i displayen:
 
−
 
−
::EQUATION SOLVER
 
−
 
−
::eqn:0=(-)5X^2+4X+10
 
−
 
−
::Tryck först på knappen ALPHA (orange) och sedan på SOLVE (i orange ovanpå ENTER).
 
−
 
−
Mata in startvärdet <math> \, x\, \approx 1,9 \, </math> som vi fick fram i <b>a)</b> och tryck en gång till på först ALPHA och sedan SOLVE.
 
−
 
−
Värdet <math> \, x = 1,8696938456\ldots \, </math> visas i displayen vilket betyder:
 
−
 
−
Marie slår i vattnet efter <math> \underline{1,8696938456\ldots\,\,{\rm sek}}</math>:&nbsp;&nbsp; Ekvationens <b><span style="color:red">lösning</span></b>.
 
−
</div>
 
  
  

Nuvarande version från 20 maj 2018 kl. 22.51

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Derivering med räknare          Diagnosprov kap 2 Derivatan      


Exempel

En funktions derivata i en punkt

Följande funktion kan inte deriveras med någon av

deriveringsreglerna vi lärt oss hittills:

\( \qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\, = \, \ln\,x \)

Använd din räknare för att få ett närmevärde för \( f\,'(1,8) \).

Jämför resultatet med genomgångens Exempel som beräk-

nades med steglängden \( \, h = 0,01 \, \) och bakåtdifferenskvoten.


Lösning

Beskrivningen bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.

Numerisk derivering med miniräknare

Tryck i miniräknaren på knappen MATH.

Gå med piltangenten till   nDeriv(   som står för numerical Derivation.

Tryck på ENTER.

Mata in så att det efteråt står följande i displayen:

nDeriv ( ln(X), X, 1.8 )

Tryck på ENTER.

Värdet som visas i displayen betyder: \( \underline{f\,'(1,8) \, \approx \, 0,5555556127} \),

där \( f(x) = \ln\,x \). I genomgångens Exempel hade vi med stegläng-

den \( h = 0,01 \) och bakåtdifferenskvoten fått: \( f\,'(1,8) \, \approx \, 0,5571 \).

Det exakta resultatet var: \( \displaystyle f\,'(1,8) \, = \, \frac{5}{9} \, \approx \, 0,5555555556 \).

Räknaren ger ett närmevärde med \( \, 7 \, \) decimalers noggrannhet.


nDeriv( ) använder den noggrannare centraldifferenskvoten och antagligen också en mindre steglängd och får så ett bättre resultat.


Räknarens funktion nDeriv( ) tar tre argument separerade med komma:

1)   Funktionsuttrycket \( f(x) \).

2)   Variabeln med avseende på vilken \( f(x) \) ska deriveras.

3)   Värdet för vilket funktionens derivata ska beräknas.






Copyright © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.7_Numerisk_derivering_med_räknare&oldid=35605"