Skillnad mellan versioner av "1.7 Lösning 7"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(9 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
<!-- Från modellen:
+
Från modellen<span style="color:black">:</span>
  
−
:<math> y = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x </math>
+
:<math>\begin{align}      42,5 \cdot (1,028)\,^x & = 63,7 \cdot (1,003)\,^x \quad & &\;| \; /\,42,5\,/\,(1,003)\,^x \\
−
 
+
                  {(1,028)\,^x \over (1,003)\,^x} & = {63,7 \over 42,5}   \\
−
får man följande ekvation genom att sätta y till det dubbla av startkaiptalet 12 000 kr:
+
              \left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = {63,7 \over 42,5} \quad & &\;| \; \lg\,(\,\cdot\,)  \\
−
 
+
          \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right)  \\
−
:<math> 24\,000 = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x </math>
+
    x\cdot \lg\left({1,028 \over 1,003}\right) & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right)  \\
−
 
+
                                       x & = {\lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \over \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)} \\
−
Detta är en exponentialekvation.
+
                                       x & = 16,4373
−
 
+
−
:<math>\begin{align}  12\,000 \cdot (1,065)\,^x & = 24\,000 & &\;| \; /\,12\,000                              \\
+
−
                                    (1,065)\,^x & = 2 \quad  & &: \;\text{Skriv 1,065 och 2 som 10-potenser} \\
+
−
                            (10^{\lg(1,065)})\,^x & = 10^{\lg 2} \quad & &: \;\text{3:e potenslag i VL}  \\
+
−
                          10^{x \cdot \lg(1,065)} & = 10^{\lg 2} \\
+
−
        \end{align}</math>
+
−
 
+
−
När två potenser med samma bas är lika med varandra måste deras exponenter vara lika med varandra:
+
−
 
+
−
::<math>\begin{align} x \cdot \lg(1,065) & = \lg 2      \\
+
−
                                       x & = {\lg 2 \over \lg(1,065)} \\
+
−
                                       x & = 11,00674
+
 
         \end{align}</math>
 
         \end{align}</math>
  
−
För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12:
+
För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med <math> \, 12\, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
::<math> 0,00674 \cdot 12 = 0,08087 </math>
+
::<math> 0,4373 \cdot 12 = 5,25 </math>
  
−
Detta blir avrundat 0 månader. Därför:
+
Detta blir avrundat <math> 5\, </math> månader. Därför:
  
−
Startkapitalet kommer att fördubblas efter <math> 11\, </math> år (och 0 månader).
+
Det tar <math> \, 16\, </math> år och <math> \, 5\, </math> månader tills båda länderna har lika många invånare.
−
-->
+

Nuvarande version från 13 mars 2017 kl. 11.58

Från modellen:

\[\begin{align} 42,5 \cdot (1,028)\,^x & = 63,7 \cdot (1,003)\,^x \quad & &\;| \; /\,42,5\,/\,(1,003)\,^x \\ {(1,028)\,^x \over (1,003)\,^x} & = {63,7 \over 42,5} \\ \left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = {63,7 \over 42,5} \quad & &\;| \; \lg\,(\,\cdot\,) \\ \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)^x & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \\ x\cdot \lg\left({1,028 \over 1,003}\right) & = \lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \\ x & = {\lg\left({63,7 \over 42,5}\right) \over \lg\left({1,028 \over 1,003}\right)} \\ x & = 16,4373 \end{align}\]

För att omvandla decimaldelen till månader måste den multipliceras med \( \, 12\, \):

\[ 0,4373 \cdot 12 = 5,25 \]

Detta blir avrundat \( 5\, \) månader. Därför:

Det tar \( \, 16\, \) år och \( \, 5\, \) månader tills båda länderna har lika många invånare.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.7_Lösning_7&oldid=33470"