Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(836 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[2.4 Deriveringsregler|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.4 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 17 Deriveringsregler I Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 17 Deriveringsregler I</span></b>]]
  
−
== Derivatan av en konstant ==
+
[[Media: Lektion 18 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 18 Deriveringsregler II</span></b>]] -->
  
−
Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>.
+
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 +
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera utan att varje gång behöva använda derivatans definition.
  
−
Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 \cdot</math> <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
+
Här sammanställs själva reglerna för de viktigaste typerna av funktioner. Deras bevis hittar man i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<b><span style="color:blue">Fördjupning</span></b>]].
−
::::<math> a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
+
</div> <!-- tolv1 -->
−
För negativa heltalexponenter kan potensen <math> a^{-x}\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 /\,</math> <span style="color:red">upprepad division</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
+
−
::::<math> a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
+
−
Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 dvs <math> {a \over 1} </math> och ersätter i uttrycket ovan divisionerna med a med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket <math> {1 \over a} </math>, kan man skriva om uttrycket ovan så här:
+
−
::::<math> a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Vi får följande formel för potenser med negativa heltalexponenter:
+
−
::::<math> a^{-x} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:
+
−
::::<math> a^2 = a \cdot a </math>
+
  
−
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en konstant</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en konstant är 0.</b>
  
−
::::<math> a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
  
−
::::<math> a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>.
  
−
----
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en konstant</span></b>]].
 +
</div>
  
−
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
 
  
−
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
 
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
+
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \: -5 \; </math> blir derivatan:
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>.
+
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \: 0 </math></div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
+
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en linjär funktion</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
  
−
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
  
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math>
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
+
−
                                  x  & = 2                              \\
+
−
                  \end{align}</math>
+
−
Alternativt (med bråktal som exponent):
+
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
+
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
+
−
                                  x  & = 2                              \\
+
−
                  \end{align}</math>
+
  
−
Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion</span></b>]].
 +
</div>
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
== Derivatan av x <math> x\, </math> ==
+
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; </math> blir derivatan:
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
+
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; -8 </math>
  
−
'''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''':
+
'''Regel:''' En summa kan man derivera termvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<b><span style="color:blue">längre fram</span></b>]].
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
 
  
−
'''Bevis''':
+
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:</b>
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
+
Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
  
−
----
+
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
  
−
'''Påstående (Nollte potens)''':
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b>]].
 +
</div>
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; 1 </math>
 
  
−
'''Bevis''':
 
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
 
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1'''
  
−
----
+
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; </math> blir derivatan:
  
−
'''Påstående (Rationell exponent)''':
+
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 </math>
  
−
:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
+
'''Exempel 2'''
  
−
'''Bevisidé''':
+
För funktionen &nbsp; <math> f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; </math> blir derivatan:
  
−
Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
+
:::::<math> f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potens</span></b> ==
 +
<br>
 +
<!-- '''Viktigt specialfall:''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> {\color{Red} {a \,=\, }} </math></big><math> {\color{Red} 1}\, </math> -->
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue"><big>
 +
<b>Regeln om derivatan av en potens:</b>
  
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
+
Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
  
−
Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
+
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
  
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
+
</big></div></td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>
  
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
+
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
  
−
== Derivatan av <math> x^2\, </math> ==
+
För funktionen <math> f(x) = x^5 \; </math> blir derivatan:
  
 +
:::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
 +
</div>
  
−
----
+
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
  
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 +
Denna regel är den <b><span style="color:red">viktigaste formeln</span></b> för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.
  
−
----
+
Regeln gäller för <b><span style="color:red">ALLA exponenter</span></b> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).
 +
</div> <!-- tolv3 -->
  
  
 +
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
  
−
== Derivatan av <math> x^2\, </math> ==
+
Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.
  
 +
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens med hjälp av [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
  
−
== Derivatan av <math> x^n\, </math> ==
+
<math> \qquad \displaystyle f(x) = \boxed{\frac{1}{x}} = x^{-1} \; </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;, se [[Potenser#Lagen_om_negativ_exponent_.5C.28_.5Cquad_a.5C.2C.5E.7B-x.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Cdisplaystyle_.7B1_.5Cover_a.5C.2C.5Ex.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om negativ exponent</span></b>]].
  
 +
Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln om derivatan av en potens och får<span style="color:black">:</span>
  
−
== Internetlänkar ==
+
<math> \qquad \displaystyle f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = \boxed{\,- \, {1 \over x^2}\,} </math>
−
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
+
</div>
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
+
<big>
 +
Även i den sista likheten i raden ovan har [[Potenser#Lagen_om_negativ_exponent_.5C.28_.5Cquad_a.5C.2C.5E.7B-x.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Cdisplaystyle_.7B1_.5Cover_a.5C.2C.5Ex.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om negativ exponent</span></b>]] använts.
 +
</big>
  
−
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
 
  
 +
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.
 +
 
 +
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
<math> \qquad \displaystyle f(x) = \boxed{\sqrt{x}} = x\,^{1 \over 2} \; </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;, se [[Potenser#Lagen_om_kvadratroten_.5C.28_.5Cquad_a.5E.7B1_.5Cover_2.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Csqrt.7Ba.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om kvadratroten</span></b>]].
 +
 
 +
Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln om derivatan av en potens och får<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
<math> \qquad \displaystyle f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = \boxed{\,{1 \over 2\, \sqrt{x}}\,} </math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<big>
 +
Även i den näst sista likheten i raden ovan har [[Potenser#Lagen_om_kvadratroten_.5C.28_.5Cquad_a.5E.7B1_.5Cover_2.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Csqrt.7Ba.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om kvadratroten</span></b>]] använts.
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
 +
 
 +
En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
 +
 
 +
::Om <math> y    =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
 +
 
 +
::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>
 +
 
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
 +
 
 +
För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot (\sqrt{x})\,' \,= \, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,= \, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
Här har resultatet från Exempel 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Derivatan av en potens</span></b>]] använts:
 +
 
 +
::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
 
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
'''Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:'''
 +
 
 +
::Om <math> \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
 +
 
 +
::då <math> \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
 +
 
 +
</div></td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
 +
 
 +
För funktionen <math> y = 12\,x^4 \; </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::::<math> y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 +
<b><span style="color:red">OBS! &nbsp; Konstanten</span></b> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan.
 +
 
 +
Regeln om att [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></b>]] är <math> \, 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <b><span style="color:red">faktor</span></b> framför potensen och därför inte kan separeras från den:
 +
</div> <!-- tolv2 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Konstant faktor vs. additiv konstant</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <b><span style="color:red">konstant faktor</span></b> i funktionsuttrycket.
 +
 
 +
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln ovan: "En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering".
 +
 
 +
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <b><span style="color:red">additiv konstant</span></b> i funktionsuttrycket.
 +
 
 +
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om att derivatan av en konstant är <math> \, 0\, </math>.
 +
 
 +
Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <b><span style="color:red">inte</span></b> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<b><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></b>]].
 +
 
 +
[[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en konstant</span></b>]] innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
 +
</div> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
 
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
 +
 
 +
Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
 +
 
 +
Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
 +
 
 +
då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
 +
 
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
 +
 
 +
För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
 +
 
 +
Här har resultatet från Exempel 2 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Derivatan av en potens</span></b>]] använts:
 +
 
 +
:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
<big>I exemplet ovan användes redan följande regel:</big>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
 +
 
 +
En <span style="color:red">summa</span> av funktioner kan deriveras termvis:</b>
 +
 
 +
:::Om <math> \;\; y    =  f(x) + g(x)\, </math>
 +
 
 +
:::då <math> \;\; y\,'  =  f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 +
 
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1'''
 +
 
 +
För polynomfunktionen
 +
 
 +
<math> \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; </math> blir derivatan<span style="color:back">:</span>
 +
 
 +
<math> \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
 +
 
 +
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<b><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></b>]].
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 2'''
 +
 
 +
För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en potens</span></b>]] använts:
 +
 
 +
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
 +
 
 +
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
 +
Regeln ovan tillåter att derivera en summa av funktioner termvis.
 +
 
 +
Av detta får inte dras slutsatsen att samma sak kan göras i en produkt eller i en kvot av funktioner:
 +
</div> <!-- tolv7 -->
 +
 
 +
 
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>En <span style="color:red">produkt</span> av funktioner kan <span style="color:red">inte</span> deriveras faktorvis:</b>
 +
 
 +
:::Om <math> \;\; y    =  f(x) \cdot g(x)\, </math>
 +
 
 +
:::då <math> \;\; y\,' \neq  f\,'(x) \cdot g\,'(x) </math>
 +
 
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
 +
 
 +
::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
 +
 
 +
::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \,=\, {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
'''Rätt:'''
 +
 +
::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>
 +
 
 +
::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad\qquad </math></td>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:red">Inte heller</span> i en <span style="color:red">kvot</span> av funktioner kan täljaren<br>deriveras för sig och nämnaren för sig:</b>
 +
 
 +
:Om <math> \displaystyle \;\; y    =  \frac{f(x)}{g(x)} \quad </math> då <math> \quad \displaystyle \;\; y\,' \neq \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)} </math>
 +
 
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
 +
 
 +
::<math> y \,=\, \displaystyle {x^2+1 \over x} </math>
 +
 
 +
::<math> y\,' \,\neq\, {2\,x+ 0 \over 1} \,=\, {2\,x\over 1} \,=\, 2\,x </math>
 +
 
 +
'''Rätt:'''
 +
 
 +
::<math> y = {x^2+1 \over x} = {x^2 \over x} + {1 \over x} = x + {1 \over x}  = x + x^{-1} </math>
 +
 
 +
::<math> y\,' = 1 + (-1)\cdot x^{-1-1} = 1- x^{-2} = 1- {1 \over x^2} </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
 
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
 +
Deriveringsregler för produkt och kvot av funktioner (<b><span style="color:red">Produkt-</span></b> och <b><span style="color:red">Kvotregeln</span></b>) behandlas först i kursen Matematik 4.
 +
</div> <!-- tolv6 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Tabell över deriveringsregler</span></b> ==
 +
 
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
 +
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> \, x\, </math> och <math> \, y\, = \, f(x) </math> är variabler:
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> c\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\; x </math> ||align=center| <math> a\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,a\,x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,x\,^n </math> ||align=center| <math> a\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \displaystyle {1 \over x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle - {1 \over x^2} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 +
|}
 +
</div>
 +
 
 +
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.
 +
 
 +
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<b><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></b>]].
 +
</div> <!-- tolv7 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
 +
 
 +
https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY
 +
 
 +
https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 21.21

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera utan att varje gång behöva använda derivatans definition.

Här sammanställs själva reglerna för de viktigaste typerna av funktioner. Deras bevis hittar man i fliken Fördjupning.

Derivatan av en konstant


Regel:    Derivatan av en konstant är 0.

               Om \( \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

               då \( \;\; f\,'(x) \; = \: 0 \).

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en konstant.


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \: -5 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \: 0 \]

Derivatan av en linjär funktion


Regel:    Derivatan av en linjär funktion är konstant.

               Om \( \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

               då \( \;\; f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion.

\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; -8 \]

Regel: En summa kan man derivera termvis, se längre fram.


Derivatan av en kvadratisk funktion


Regel:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:

Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion.



\( \qquad \)

Exempel 1

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 \]

Exempel 2

För funktionen   \( f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 \]

Derivatan av en potens


Regeln om derivatan av en potens:

Om \( \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)

\( \qquad \)

Exempel 1     \( n \,=\, \) positivt heltal:

För funktionen \( f(x) = x^5 \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]


Denna regel är den viktigaste formeln för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.

Regeln gäller för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).


Exempel 2     \( n \,=\, \) negativt heltal:

Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens med hjälp av Potenslagarna:

\( \qquad \displaystyle f(x) = \boxed{\frac{1}{x}} = x^{-1} \; \)              , se Lagen om negativ exponent.

Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln om derivatan av en potens och får:

\( \qquad \displaystyle f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = \boxed{\,- \, {1 \over x^2}\,} \)


Även i den sista likheten i raden ovan har Lagen om negativ exponent använts.


Exempel 3     \( n \,=\, \) bråktal:

Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:

\( \qquad \displaystyle f(x) = \boxed{\sqrt{x}} = x\,^{1 \over 2} \; \)              , se Lagen om kvadratroten.

Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln om derivatan av en potens och får:

\( \qquad \displaystyle f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = \boxed{\,{1 \over 2\, \sqrt{x}}\,} \)


Även i den näst sista likheten i raden ovan har Lagen om kvadratroten använts.


Derivatan av en funktion med en konstant faktor


Regel:

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:

Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = \,\, 6\cdot (\sqrt{x})\,' \,= \, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,= \, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]

Här har resultatet från Exempel 3 på Derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)


Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:

Om \( \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
då \( \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( y = 12\,x^4 \; \) blir derivatan:

\[ y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]

OBS!   Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan.

Regeln om att derivatan av en konstant är \( \, 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte är en additiv term här utan bunden till produkten \( a \cdot x\,^n \) som en faktor framför potensen och därför inte kan separeras från den:


Konstant faktor vs. additiv konstant

I funktionen     \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \)   en konstant faktor i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \)   enligt regeln ovan: "En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering".

I funktionen     \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \)   enligt regeln om att derivatan av en konstant är \( \, 0\, \).

Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av   \( a\cdot f(x) \)   blir   \( 0\cdot f\,'(x) \)   och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.

Regeln om derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:


Regel:

Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).

Om \( \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; \) blir derivatan:

\[ \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]

Här har resultatet från Exempel 2 på Derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( y = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)

I exemplet ovan användes redan följande regel:


Derivatan av en summa av funktioner


Regel:

En summa av funktioner kan deriveras termvis:

Om \( \;\; y = f(x) + g(x)\, \)
då \( \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)


\( \qquad \)

Exempel 1

För polynomfunktionen

\( \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; \) blir derivatan:

\( \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \)

Se även Derivatan av ett polynom.


Exempel 2

För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]

Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på Regeln om derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)   och
Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).


Produkt och kvot av funktioner

Regeln ovan tillåter att derivera en summa av funktioner termvis.

Av detta får inte dras slutsatsen att samma sak kan göras i en produkt eller i en kvot av funktioner:


En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis:

Om \( \;\; y = f(x) \cdot g(x)\, \)
då \( \;\; y\,' \neq f\,'(x) \cdot g\,'(x) \)


Exempel

\[ y = x \cdot \sqrt x \]
\[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \,=\, {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]

Rätt:

\[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
\[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]


\( \qquad\qquad \)

Inte heller i en kvot av funktioner kan täljaren
deriveras för sig och nämnaren för sig:

Om \( \displaystyle \;\; y = \frac{f(x)}{g(x)} \quad \) då \( \quad \displaystyle \;\; y\,' \neq \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)} \)


Exempel

\[ y \,=\, \displaystyle {x^2+1 \over x} \]
\[ y\,' \,\neq\, {2\,x+ 0 \over 1} \,=\, {2\,x\over 1} \,=\, 2\,x \]

Rätt:

\[ y = {x^2+1 \over x} = {x^2 \over x} + {1 \over x} = x + {1 \over x} = x + x^{-1} \]
\[ y\,' = 1 + (-1)\cdot x^{-1-1} = 1- x^{-2} = 1- {1 \over x^2} \]


Deriveringsregler för produkt och kvot av funktioner (Produkt- och Kvotregeln) behandlas först i kursen Matematik 4.


Tabell över deriveringsregler

Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( \, x\, \) och \( \, y\, = \, f(x) \) är variabler:

\( y\, \) \( y\,' \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
\( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY

https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related





Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.5_Deriveringsregler&oldid=36741"