Skillnad mellan versioner av "1.2 Faktorisering av polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(499 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.3 Faktorisering av polynom|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Faktorisering av polynom|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Genomgång]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Faktorisering av polynom|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Fördjupning till Faktorisering av Polynom|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 5 Faktorisering av polynom.pdf|Lektion 5 Faktorisering av polynom I]]
+
<!-- [[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynom_Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 4 Faktorisering av polynom</span></b>]]
  
−
[[Media: Lektion 6 Faktorisering av polynom2.pdf|Lektion 6 Faktorisering av polynom II]]
+
[[Media: Lektion_5_Faktorisering_av_polynom_Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 5 Faktorisering av polynom: Fördjupning</span></b>]]
 +
-->
 +
== <b><span style="color:#931136">Faktorisering av tal</span></b> ==
 +
<big>Matte 1:</big>
 +
<div class="ovnE">
 +
<math> a \cdot b \quad </math> är en produkt, där <math>a\,</math> och <math>b\,</math> kallas för <b><span style="color:red">faktorer</span></b>.
  
−
== Polynom i faktorform ==
+
Därför är t.ex. <math> \quad \boxed{12 \, = \, 3 \cdot 4} \quad </math> en <b><span style="color:red">faktorisering</span></b> av
  
−
Du kommer väl ihåg att
+
talet <math> \, 12 \, </math> och <math> \, 3 \cdot 4 \, </math> kallas för en <b><span style="color:red">faktorform</span></b> av talet.
  
−
:::::::::::::::<math> a \cdot b </math>
+
En annan faktorform är <math> \, 3 \cdot 2\cdot 2 \, </math> (Primfaktorer).
 +
</div>
  
−
är en <span style="color:red">produkt</span> vars ingredienser <math>a</math> och <math>b</math> kallas <span style="color:red">faktorer</span>. Så länge <math>a</math> och <math>b</math> är variabler dvs platshållare för tal är uttrycket ovan en faktorform för tal.
 
  
−
T.ex. är produkten <math> 3 \cdot 4 </math> en faktorform för eller en <span style="color:red">faktorisering</span> av talet 12:
+
<big>
 +
<b><span style="color:red">Faktorisering</span></b> betyder alltså omvandling till en produkt.
  
−
::::::::::::::<math> 12 \, = \, 3 \cdot 4 </math>
+
Analogt till faktorisering av heltal kan även ett polynom som ursprungligen är en summa av termer, faktoriseras dvs skrivas om till en produkt.
 +
</big>
  
−
Analog till faktorisering av heltal kan även polynom faktoriseras.
 
  
−
Faktorisering av polynom innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:
+
== <b><span style="color:#931136">Enkel faktorisering av polynom</span></b> ==
 +
<big>Matte 2:</big>
 +
<div class="ovnC">
 +
[[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_och_konjugatregeln|<b><span style="color:blue">Kvadreringsregeln</span></b>]] <math> \, (a-b)\,^2 = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \, </math> ger t.ex.<span style="color:black">:</span>
  
−
::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) </math>
+
<math> \qquad\qquad\qquad\quad\;\; (x-3)\,^2 \; = \; x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \; = \; x^2 - 6\,x + 9 </math>
  
−
Till vänster om likhetstecknet har vi ett polynom som en summa av termer. Till höger står samma polynom som en produkt av faktorer dvs i faktorform. Detta <span style="color:red">polynom i faktorform</span> är resultat av faktorisering. Ingredienserna i faktorformen dvs faktorerna <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math> är i sin tur polynom, fast av mindre grad, nämligen 1. Ursprungspolynomet är av grad 2, liknande faktorerna 3 och 4 som är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> i sina beståndsdelar <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math>.
+
Läser vi baklänges får vi en faktorisering av polynomet <math> \, x^2 - 6\,x + 9 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
Matematiskt inser man likheten ovan genom att utveckla högerledet:  
+
:::<math> \quad x^2 - 6\,x + 9 \; = \; (x-3)^2 \; = \; \boxed{(x-3) \cdot (x-3)} </math>
  
−
:::::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math>
+
<math> (x-3) \cdot (x-3) \, </math> kallas för polynomet <math> \, x^2 - 6\,x + 9 \, </math> i <b><span style="color:red">faktorform</span></b>.
  
−
Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen. Du kommer väl ihåg att sådana x för vilka polynomets värde är 0, kallas för polynomets <span style="color:red">nollställen</span>. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> till 0 och får följande ekvation:
+
Samtidigt är <math> \, x=3 \, </math> polynomets enda nollställe, en s.k. [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
 +
</div>
  
−
::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math>
 
  
−
Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal x för vilka polynomets värde är 0. Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen <math>(x-3) (x-4) </math> har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna. Det är <span style="color:red">nollproduktmetoden</span> som gör detta möjligt. Den visar nämligen att 3 och 4 är lösningar till ekvationen <math> (x-3) (x-4) = 0 </math>: För att produkten <math> (x-3) (x-4) </math> ska vara lika med 0 måste antingen den första faktorn <math> (x-3) </math> eller den andra faktorn <math> (x-4) </math> vara lika med 0. För att <math> (x-3) </math> eller <math> (x-4) </math> ska vara lika med 0 måste <math> x </math> antingen vara lika med 3 eller lika med 4. Detta i sin tur innebär att 3 och 4 är lösningar till ekvationen <math> (x-3) (x-4) = 0 </math>. Å andra sidan måste pga likheten mellan polynom och dess faktorform 3 och 4 även vara polynomets nollställen dvs lösningar till ekvationen ovan. Men vad gör man om man inte än har faktorformen?
+
<big>
 +
Självklart hade kvadreringsregeln inte fungerat om det istället för <math> \, - 6\,x \, </math> i polynomets andra term hade stått t.ex. <math> \, - 7\,x \, </math>,
  
−
== Faktorisering av 2:a gradspolynom ==
+
för visserligen är <math> \, - 7\,x = - 2 \cdot x \cdot 3,5 \, </math>, men det går inte ihop med nästa term <math> \, b\,^2 \, </math> i kvadreringsregeln: Vi kan inte ha <math> \, 3,5 \, </math> som <math> \, b \, </math>, därför att <math> \, (3,5)^2 \neq 9  \, </math>.
  
−
Resonemanget ovan ger oss nu en metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet. För att faktorisera polynomet<math> x^2 - 7\,x + 12 </math> behöver vi bara beräkna dess nollställen, säg <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>, och sedan skriva upp faktorformen <math>(x-x_1)\cdot (x-x_2) </math>. Låt oss genomföra det i vårt exempel:
+
Så, exemplet ovan var tillrättalagt så att kvadreringsregeln kunde fungera. Ett litet annorlunda polynom, t.ex. <math> \, x^2 - 7\,x + 9 \, </math> kan inte längre faktoriseras genom
  
−
::::::::::<math>\begin{align} x^2 - 7\,x + 12 & = 0                          \\
+
att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna baklänges. Dessa regler kan faktorisera endast en liten del av väldigt speciella 2:a gradspolynom.
−
                                      x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12}  \\
+
−
                                      x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
+
−
                                      x_{1,2} & = 3,5 \pm 0,5                \\
+
−
                                      x_1    & = 4                          \\
+
−
                                      x_2    & = 3                          \\
+
−
          \end{align}</math>
+
  
−
Därför har polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> faktorformen <math> (x-3) \cdot (x-4) </math>. Vi kommer att lära oss en effektivare metod för lösning av 2:a gradsekvationer och därmed för faktorisering av 2:gradspolynom, när vi lärt oss ett enkelt samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen (Vietas formler).
+
I själva verket kan alla polynom faktoriseras, vilket vi kommer att lära oss nu:
 +
</big>
  
−
Det som vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:
+
== <b><span style="color:#931136">Polynom i faktorform</span></b> ==
  
−
'''Sats (Faktorisering med 2 nollställen)''':
 
−
::::<big>Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller:</big>
 
  
−
:::::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ===
  
−
För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. sätta in 2:a gradsekvationens lösningsformel (pq-formeln) för <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> och utveckla produkten på högerledet. En jämförelse av koefficienter kommer att resultera i likhet med vänsterledet. Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2 som vi inte behandlar här.  
+
<div class="border-divblue"> <!-- border-divblue1 -->
 +
I förra avsnitt lärde vi oss att ett polynom var en <b><span style="color:red">summa</span></b> av termer.
  
−
Istället ska vi undersöka ett enkelt, men intressant samband mellan 2:a gradspolynomets koefficienter <math> p\, </math> och <math> q\, </math> och dess nollställen <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>, vilket ger dig möjligheten att roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp den 2:a gradsekvation vars lösningar just är 3 och 4.
+
Visa att följande <b><span style="color:red">produkt</span></b> är ett polynom:
  
−
== Samband mellan koefficienter och nollställen (Vietas formler) ==
+
:::<math> (x-3) \, \cdot \, (x-4) </math>
  
−
Vi åter anknyter till exemplet som vi behandlade inledningsvis (Polynom i faktorform) genom att utveckla produkten:
+
Vi utvecklar produkten:
  
−
::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math>
+
::<math> (x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; x^2 \, - \, 4\,x - \, 3\,x \, + \, 3 \cdot 4 \; = \; \underline{x^2 \, - \, 7\,x \, + \, 12} \; </math>
 +
</div>  <!-- border-divblue1 -->
  
−
Att vi i mellanräkningen, till synes onödigt, skriver <math> x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 </math> beror på att vi vill förtydliga sambandet mellan polynomets koefficienter -7 och 12 å ena sidan och dess nollställen 3 och 4 å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av nollställena 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till nollställena 3 och 4. Dvs vi har följande samband mellan polynomets koefficienter och dess nollställen:
+
::::::::::::::<big><math> \Downarrow </math></big>
  
−
:::::::::::<math> 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 </math>
+
<div class="ovnC">
 +
<math> \; (x-3) \cdot (x-4) \; </math> kallas för polynomet <math> \; x^2 - 7\,x + 12 \; </math> <b><span style="color:red"> i faktorform</span></b>.
  
−
Detta ger oss ett verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter. Du skulle kunna roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen
+
<math> \qquad\;\, 3 \;\;\; </math> och <math> \;\;\, 4 \;\; </math> är polynomets nollställen, se nollproduktmetoden:
 +
</div>
  
−
:::::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math>
 
−
 
−
Sedan kan du låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x samt multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av följande generell matematisk sats:
 
  
−
'''Sats (Vietas formler)''':
+
== <b><span style="color:#931136">Nollproduktmetoden</span></b> ==
−
::::<big>Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller:</big>
+
<div class="ovnE">
 +
Lös ekvationen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\;\:(x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; 0 </math>
  
−
:::::::<math> x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q </math>
+
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanlig\;fel\;åtgärd:}}} \quad\; (x-3) \cdot (x-4) \; = \; x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 \; = \; x^2 \, - \, 7\,x \, + \, 12 \; = \; 0  </math>
  
−
'''Bevis''':
+
:<math> \qquad\quad\; {\rm Rätt\;åtgärd: \qquad\quad\; Räkna\;inte!\quad Tänk\;istället\;sä\;här:} </math>
  
−
Genom att använda satsen som vi formulerade i slutet av förra paragrafen (Faktorisering med 2 nollställen) kan vi skriva:
+
För att <math> \, (x-3) \cdot (x-4) \, </math> ska vara <math> 0 </math>, måste antingen <math> \, (x-3) \, </math> eller <math> \, (x-4) \, </math> vara <math> \, 0 \; </math><span style="color:black">:</span> <math> \quad a \cdot b = 0 \;\; \Rightarrow \;\; a = 0 \; </math> eller <math> \; b = 0  </math>
  
−
::::::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
+
För att <math> \, (x-3) \, </math> eller <math> \, (x-4) \, </math> ska vara <math> \, 0 \,</math> måste <math> \, x \, </math> antingen vara <math> \, 3 \, </math> eller <math> \, 4 </math>.
  
−
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:
+
<table>
 +
<tr>
 +
<td>Alltså har ekvationen de två lösningarna:
  
−
::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 - x_2\,x - x_1\,x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 </math>
 
  
−
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet <math> x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 </math> (högerled) och polynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> (vänsterled) ger:
+
</td>
 +
<td><math>\qquad\begin{align}  x_1 & = 3  \\
 +
                              x_2 & = 4
 +
                \end{align} </math>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<b><span style="color:red">Nollproduktmetoden</span></b> ger oss ekvationens lösningar utan att vi behöver räkna!
  
−
:::::::::<math> x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q </math>
+
Den felaktiga åtgärden ovan är formellt matematiskt inte fel, men är ineffektiv och förstör faktorformen.
  
−
Vad som skulle bevisas (V.s.b.).
+
Faktorformen är den struktur som gör nollproduktmetoden och därmed den effektiva lösningen möjlig.
 +
</div>
  
−
Denna sats kan generaliseras ytterligare till polynom av högre grad än 2. Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te François Viète] var en av de första som såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna <math> x_1 + x_2 = -p\, </math> och <math> x_1 \cdot x_2 = q </math> efter honom <span style="color:red">Vietas formler</span>.
 
  
−
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda lösningsformeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom.
+
<big>
 +
Ett polynom i faktorform visar sina <b><span style="color:red">nollställen</span></b> istället för koefficienterna.
 +
 
 +
Men hur får man faktorformen om man har polynomet som en summa av termer? Man måste bestämma nollställena:
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Faktorisering av 2:a gradspolynom (normalform)</span></b> ==
 +
 
 +
<div class="border-divblue"> <!-- border-divblue2 -->
 +
<div class="exempel">
 +
<b><span style="color:#931136">Uppgiften:</span></b> Faktorisera polynomet <math> \, x^2 - 7\,x + 12 </math>.
 +
 
 +
<b><span style="color:#931136">Lösningen:</span></b> Vi beräknar polynomets nollställen<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math>
 +
 
 +
För att snabbt lösa denna 2:a gradsekvation som ett led i faktoriseringsprocessen
 +
 
 +
använder vi [[1.2 Repetition: Faktorisering och Vietas formler#Vietas_formler|<b><span style="color:blue">Vietas formler</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -p = -(-7) = 7  \\
 +
                          x_1 \cdot x_2 & = \;\;\; q = 12
 +
            \end{align}</math>
 +
 
 +
Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är <math> \, 12 \, </math> och vars summa är <math> \, 7 \, </math>.
 +
 
 +
Med lite provande kommer man fram till<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::::<math>\begin{align}  x_1 & = 3  \\
 +
                          x_2 & = 4
 +
              \end{align}</math>
 +
 
 +
eftersom <math> \, 3 + 4 = 7 \, </math> och <math> \, 3 \cdot 4 = 12 </math>. Därmed är polynomets <b><span style="color:red">faktorisering</span></b><span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 \; = \; \underline{(x - 3) \, \cdot \, (x - 4)} </math>
 +
</div>  <!-- exempel -->
 +
</div> <!-- border-divblue2 -->
 +
 
 +
 
 +
<big>
 +
Självklart hade man kunnat använda även [[Media: Formelsamling_NP_Ma3.pdf|<b><span style="color:blue">pq-formeln</span></b>]] för att lösa 2:a gradsekvationen. Då hade det sett ut så här<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0                          \\
 +
                                      x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12}  \\
 +
                                      x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
 +
                                      x_{1,2} & = & 3,5 \pm 0,5                \\
 +
                                      x_1    & = & 3                          \\
 +
                                      x_2    & = & 4                         
 +
            \end{array}</math>
 +
 
 +
Man ser att Vieta inte bara är en enklare och snabbare metod än pq-formeln utan även minimerar risken för felräkning.  
 +
 
 +
Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering (processen).
 +
Exemplets polynom är av grad <math> \, 2</math>, medan dess ingredienser dvs faktorerna <math> \, (x-3) \, </math> och <math> \, (x-4) \, </math> är polynom av grad <math> \, 1</math>.
 +
 
 +
Detta kan jämföras med faktoriseringen <math> \, 12 \, = \, 3 \cdot 4 </math>, där faktorerna <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 4 \, </math> är mindre än <math> \, 12 \, </math>. Man har splittrat upp talet <math> \, 12 \,</math> i sina beståndsdelar <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 4 </math>, precis som man
 +
 
 +
splittrar upp polynomet <math> \, x^2 - 7\,x + 12 \, </math> i sina beståndsdelar <math> \, (x-3)\, </math> och <math> \, (x-4) </math>.
 +
 
 +
Faktorisering är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets [[1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen.2C_.C3.A4ven_kallade_r.C3.B6tter|<b><span style="color:blue">nollställen</span></b>]].
 +
 
 +
Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:
 +
 
 +
<big><b><span style="color:#931136">Sats:</span></b></big></big>
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
== <small><b><span style="color:#931136">Faktorisering med 2 nollställen</span></b></small> ==
 +
 
 +
Om 2:a gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller:
 +
 
 +
:::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
 +
</div>
 +
 
 +
<big>
 +
För att bevisa satsen ovan kan man t.ex.
 +
 
 +
* &nbsp;&nbsp; sätta in [[Media: Formelsamling_NP_Ma3.pdf|<b><span style="color:blue">pq-formeln</span></b>]] för <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> i högerledet,
 +
* &nbsp;&nbsp; utveckla produkten på högerledet och
 +
* &nbsp;&nbsp; genomföra [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#J.C3.A4mf.C3.B6relse_av_koefficienter|<b><span style="color:blue">jämförelse av koefficienter</span></b>]].
 +
 
 +
Se beviset i lösningen till [[1.2_Övningar_till_Faktorisering_av_polynom#.C3.96vning_13|<b><span style="color:blue">övning 13</span></b>]].
 +
 
 +
Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se  [[1.2_Fördjupning_till_Faktorisering_av_Polynom#Algebrans_fundamentalsats|<b><span style="color:blue">Algebrans fundamentalsats</span></b>]].
 +
</big>
 +
 
 +
<big><big><b><span style="color:#931136">Praktisk slutsats:</span></b></big></big>
 +
<div class="ovnE">
 +
För att faktorisera ett 2:a gradspolynom i normalform måste vi beräkna dess
 +
 
 +
nollställen <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>. Sedan blir faktoriseringen<span style="color:black">:</span> <math> \quad (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Rotens olika betydelser</span></b> ==
 +
 
 +
<big>
 +
Ordet <b><span style="color:red">rot</span></b> har i matematiken olika betydelser i olika sammanhang:
 +
 
 +
# &nbsp;&nbsp; Räkneoperationen rotdragning med rottecknet <math> {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} </math> som symbol, t.ex. roten ur <math> 4\, </math> är <math> 2\, </math> osv.
 +
# &nbsp;&nbsp; Lösningen av en ekvation. Rot är synonym till en ekvations lösning. T.ex. är <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> rötter dvs lösningar till ekvationen <math> x^2 = 4\, </math>.
 +
# &nbsp;&nbsp; Nollstället till ett polynom. Rot är synonym till ett polynoms nollställe. I exemplet ovan är <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> rötter dvs nollställen till polynomet <math> x^2 - 4\, </math>.
 +
 
 +
Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten.
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Dubbelrot</span></b> ==
 +
 
 +
<big>
 +
När vi nu i fortsättningen pratar om en dubbelrot menar vi två lösningar till en ekvation som sammanfaller, vilket även kan uppfattas som endast en lösning.
 +
 
 +
<big><b><span style="color:#931136">Sats:</span></b></big></big>
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
 
 +
== <small><b><span style="color:#931136">Faktorisering med 1 nollställe</span></b></small> ==
 +
 
 +
Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> endast har ett nollställe <math> x_1\, </math> så gäller:
 +
 
 +
:::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 </math>
 +
 
 +
Ett sådant nollställe kallas för <b><span style="color:red">dubbelrot</span></b> till ekvationen <math> x^2 + p\,x + q = 0 </math>.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ==
 +
<big>
 +
Polynomet <math> x^2 - 6\,x + 9 </math> har dubbelroten <math> x = 3\, </math> eftersom <math> x^2 - 6\,x + 9 \, = \, (x-3)\,^2 </math>, se [[1.2 Repetition: Faktorisering och Vietas formler#Enkel faktorisering_av_polynom|<b><span style="color:blue">Enkel faktorisering av polynom</span></b>]].
 +
 
 +
Vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt kurvan "skär" <math> \, x</math>-axeln.
 +
 
 +
<big>Grafen till polynomfunktionen</big> <math> \; y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad </math> [[Image: Dubbelrot.jpg]]
 +
 
 +
Grafen visar att kurvan inte skär utan bara <b><span style="color:black">berör</span></b> <math>\,x</math>-axeln vid <math> x = 3\, </math>.
 +
 
 +
Dvs det finns endast <b><span style="color:black">en</span></b> gemensam punkt mellan kurvan och <math>\,x</math>-axeln.
 +
 
 +
Dubbelrötter ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära <math>\,x</math>-axeln (ingen lösning alls).
 +
 
 +
Matematiskt uttrycker sig detta i faktoriseringens form:
 +
 
 +
::::::<math> x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)\,^2 </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
<big>
 +
Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har <b>en</b> lösning <math> x = 3\, </math> till 2:a gradsekvationen <math> x^2 - 6 x + 9 = 0\, </math>. Fast, om vi tittar på faktorformen <math> (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 </math> kan man lika bra säga
 +
 
 +
att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.
 +
 
 +
Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering.
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Factoring.aspx
 +
 
 +
http://mathworld.wolfram.com/PolynomialFactorization.html
 +
 
 +
http://www.mathsisfun.com/algebra/fundamental-theorem-algebra.html
 +
 
 +
http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac04/fac04.html
 +
 
 +
http://www.lboro.ac.uk/research/helm/C_HELM_backup_24nov03/helm_website/documents/wb03_blk3.pdf
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 december 2024 kl. 21.57

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


Faktorisering av tal

Matte 1:

\( a \cdot b \quad \) är en produkt, där \(a\,\) och \(b\,\) kallas för faktorer.

Därför är t.ex. \( \quad \boxed{12 \, = \, 3 \cdot 4} \quad \) en faktorisering av

talet \( \, 12 \, \) och \( \, 3 \cdot 4 \, \) kallas för en faktorform av talet.

En annan faktorform är \( \, 3 \cdot 2\cdot 2 \, \) (Primfaktorer).


Faktorisering betyder alltså omvandling till en produkt.

Analogt till faktorisering av heltal kan även ett polynom som ursprungligen är en summa av termer, faktoriseras dvs skrivas om till en produkt.


Enkel faktorisering av polynom

Matte 2:

Kvadreringsregeln \( \, (a-b)\,^2 = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \, \) ger t.ex.:

\( \qquad\qquad\qquad\quad\;\; (x-3)\,^2 \; = \; x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \; = \; x^2 - 6\,x + 9 \)

Läser vi baklänges får vi en faktorisering av polynomet \( \, x^2 - 6\,x + 9 \, \):

\[ \quad x^2 - 6\,x + 9 \; = \; (x-3)^2 \; = \; \boxed{(x-3) \cdot (x-3)} \]

\( (x-3) \cdot (x-3) \, \) kallas för polynomet \( \, x^2 - 6\,x + 9 \, \) i faktorform.

Samtidigt är \( \, x=3 \, \) polynomets enda nollställe, en s.k. dubbelrot.


Självklart hade kvadreringsregeln inte fungerat om det istället för \( \, - 6\,x \, \) i polynomets andra term hade stått t.ex. \( \, - 7\,x \, \),

för visserligen är \( \, - 7\,x = - 2 \cdot x \cdot 3,5 \, \), men det går inte ihop med nästa term \( \, b\,^2 \, \) i kvadreringsregeln: Vi kan inte ha \( \, 3,5 \, \) som \( \, b \, \), därför att \( \, (3,5)^2 \neq 9 \, \).

Så, exemplet ovan var tillrättalagt så att kvadreringsregeln kunde fungera. Ett litet annorlunda polynom, t.ex. \( \, x^2 - 7\,x + 9 \, \) kan inte längre faktoriseras genom

att använda konjugat- eller kvadreringsreglerna baklänges. Dessa regler kan faktorisera endast en liten del av väldigt speciella 2:a gradspolynom.

I själva verket kan alla polynom faktoriseras, vilket vi kommer att lära oss nu:

Polynom i faktorform

Exempel

I förra avsnitt lärde vi oss att ett polynom var en summa av termer.

Visa att följande produkt är ett polynom:

\[ (x-3) \, \cdot \, (x-4) \]

Vi utvecklar produkten:

\[ (x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; x^2 \, - \, 4\,x - \, 3\,x \, + \, 3 \cdot 4 \; = \; \underline{x^2 \, - \, 7\,x \, + \, 12} \; \]
\( \Downarrow \)

\( \; (x-3) \cdot (x-4) \; \) kallas för polynomet \( \; x^2 - 7\,x + 12 \; \) i faktorform.

\( \qquad\;\, 3 \;\;\; \) och \( \;\;\, 4 \;\; \) är polynomets nollställen, se nollproduktmetoden:


Nollproduktmetoden

Lös ekvationen: \( \qquad\qquad\qquad\;\:(x-3) \, \cdot \, (x-4) \; = \; 0 \)

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanlig\;fel\;åtgärd:}}} \quad\; (x-3) \cdot (x-4) \; = \; x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 \; = \; x^2 \, - \, 7\,x \, + \, 12 \; = \; 0 \]

\[ \qquad\quad\; {\rm Rätt\;åtgärd: \qquad\quad\; Räkna\;inte!\quad Tänk\;istället\;sä\;här:} \]

För att \( \, (x-3) \cdot (x-4) \, \) ska vara \( 0 \), måste antingen \( \, (x-3) \, \) eller \( \, (x-4) \, \) vara \( \, 0 \; \): \( \quad a \cdot b = 0 \;\; \Rightarrow \;\; a = 0 \; \) eller \( \; b = 0 \)

För att \( \, (x-3) \, \) eller \( \, (x-4) \, \) ska vara \( \, 0 \,\) måste \( \, x \, \) antingen vara \( \, 3 \, \) eller \( \, 4 \).

Alltså har ekvationen de två lösningarna:


\(\qquad\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align} \)

Nollproduktmetoden ger oss ekvationens lösningar utan att vi behöver räkna!

Den felaktiga åtgärden ovan är formellt matematiskt inte fel, men är ineffektiv och förstör faktorformen.

Faktorformen är den struktur som gör nollproduktmetoden och därmed den effektiva lösningen möjlig.


Ett polynom i faktorform visar sina nollställen istället för koefficienterna.

Men hur får man faktorformen om man har polynomet som en summa av termer? Man måste bestämma nollställena:


Faktorisering av 2:a gradspolynom (normalform)

Uppgiften: Faktorisera polynomet \( \, x^2 - 7\,x + 12 \).

Lösningen: Vi beräknar polynomets nollställen:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

För att snabbt lösa denna 2:a gradsekvation som ett led i faktoriseringsprocessen

använder vi Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -p = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = \;\;\; q = 12 \end{align}\]

Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är \( \, 12 \, \) och vars summa är \( \, 7 \, \).

Med lite provande kommer man fram till:

\[\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align}\]

eftersom \( \, 3 + 4 = 7 \, \) och \( \, 3 \cdot 4 = 12 \). Därmed är polynomets faktorisering:

\[ x^2 - 7\,x + 12 \; = \; \underline{(x - 3) \, \cdot \, (x - 4)} \]


Självklart hade man kunnat använda även pq-formeln för att lösa 2:a gradsekvationen. Då hade det sett ut så här:

\[\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 4 \end{array}\]

Man ser att Vieta inte bara är en enklare och snabbare metod än pq-formeln utan även minimerar risken för felräkning.

Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering (processen). Exemplets polynom är av grad \( \, 2\), medan dess ingredienser dvs faktorerna \( \, (x-3) \, \) och \( \, (x-4) \, \) är polynom av grad \( \, 1\).

Detta kan jämföras med faktoriseringen \( \, 12 \, = \, 3 \cdot 4 \), där faktorerna \( \, 3 \, \) och \( \, 4 \, \) är mindre än \( \, 12 \, \). Man har splittrat upp talet \( \, 12 \,\) i sina beståndsdelar \( \, 3 \, \) och \( \, 4 \), precis som man

splittrar upp polynomet \( \, x^2 - 7\,x + 12 \, \) i sina beståndsdelar \( \, (x-3)\, \) och \( \, (x-4) \).

Faktorisering är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen.

Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:

Sats:

Faktorisering med 2 nollställen

Om 2:a gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

För att bevisa satsen ovan kan man t.ex.

Se beviset i lösningen till övning 13.

Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se Algebrans fundamentalsats.

Praktisk slutsats:

För att faktorisera ett 2:a gradspolynom i normalform måste vi beräkna dess

nollställen \( x_1\, \) och \( x_2\, \). Sedan blir faktoriseringen: \( \quad (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)


Rotens olika betydelser

Ordet rot har i matematiken olika betydelser i olika sammanhang:

  1.    Räkneoperationen rotdragning med rottecknet \( {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} \) som symbol, t.ex. roten ur \( 4\, \) är \( 2\, \) osv.
  2.    Lösningen av en ekvation. Rot är synonym till en ekvations lösning. T.ex. är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs lösningar till ekvationen \( x^2 = 4\, \).
  3.    Nollstället till ett polynom. Rot är synonym till ett polynoms nollställe. I exemplet ovan är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs nollställen till polynomet \( x^2 - 4\, \).

Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten.


Dubbelrot

När vi nu i fortsättningen pratar om en dubbelrot menar vi två lösningar till en ekvation som sammanfaller, vilket även kan uppfattas som endast en lösning.

Sats:

Faktorisering med 1 nollställe

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) endast har ett nollställe \( x_1\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 \]

Ett sådant nollställe kallas för dubbelrot till ekvationen \( x^2 + p\,x + q = 0 \).


Exempel

Polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \) har dubbelroten \( x = 3\, \) eftersom \( x^2 - 6\,x + 9 \, = \, (x-3)\,^2 \), se Enkel faktorisering av polynom.

Vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt kurvan "skär" \( \, x\)-axeln.

Grafen till polynomfunktionen \( \; y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad \) Dubbelrot.jpg

Grafen visar att kurvan inte skär utan bara berör \(\,x\)-axeln vid \( x = 3\, \).

Dvs det finns endast en gemensam punkt mellan kurvan och \(\,x\)-axeln.

Dubbelrötter ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära \(\,x\)-axeln (ingen lösning alls).

Matematiskt uttrycker sig detta i faktoriseringens form:

\[ x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)\,^2 \]

Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har en lösning \( x = 3\, \) till 2:a gradsekvationen \( x^2 - 6 x + 9 = 0\, \). Fast, om vi tittar på faktorformen \( (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 \) kan man lika bra säga

att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.

Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering.


Internetlänkar

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Factoring.aspx

http://mathworld.wolfram.com/PolynomialFactorization.html

http://www.mathsisfun.com/algebra/fundamental-theorem-algebra.html

http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac04/fac04.html

http://www.lboro.ac.uk/research/helm/C_HELM_backup_24nov03/helm_website/documents/wb03_blk3.pdf





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.2_Faktorisering_av_polynom&oldid=36850"