Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Multiplikation & division)
m
 
(598 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition Bråkräkning]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Teori]]}}
+
{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.3 Internetlänkar till Rationella uttryck|Internetlänkar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
 +
[[1.3 Repetition: Tal i bråkform|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <<&nbsp;&nbsp;Repetition: Tal i bråkform]]
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></b>]]
  
 +
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck</span></b>]]
  
−
[[Media: Lektion 8 Rationella uttryck 2.pdf|Lektion 8 Rationella uttryck II]]
+
[[Media: Lektion 8 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning</span></b>]]
 +
-->
 +
= <b><span style="color:#931136">Exempel på rationella uttryck</span></b> =
  
−
== Vad är ett rationellt uttryck? ==
+
<div class="border-divblue">
 +
::<math> \frac{1}{x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \qquad\quad {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over 4\,x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 1} \quad  </math>
 +
</div>
  
−
Ett <span style="color:red">rationellt tal</span> är kvoten (resultatet av division) mellan två heltal, t.ex.:
+
<big>
 +
Ett <b><span style="color:red">rationellt uttryck</span></b> är kvoten (resultatet av division) mellan två [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">polynom</span></b>]].
  
−
::::::::::::::::<math>               3 \over 4  </math>
+
I rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> \, 0\, </math>, t.ex. får i<span style="color:black">:</span>
  
−
Med andra ord är rationellt tal en annan beteckning för tal i bråkform. Alla tal vi känner till är rationella tal. Nästan alla heltal kan förekomma i täljaren och nämnaren av ett rationellt tal. Det enda undantaget är 0 i nämnaren, för division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad.
+
:::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>
  
−
Ett <span style="color:red">rationellt uttryck</span> är kvoten mellan två [[1.2 Polynom|polynom]], t.ex.:
+
nämnaren <math> x^2 - 1\, </math> inte bli <math> \, 0 </math>, för division med <math> \, 0 </math> är inte definierad. Läs: [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_division_med_0_inte_definierad.3F|<b><span style="color:blue">Varför är division med 0 inte definierad?</span></b>]]
  
−
:::::::::::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>
+
Detta innebär att <math> \, x\, </math> varken får vara <math> \, 1\, </math> eller <math> \, -1\, </math>, för då blir polynomet <math> \, x^2 - 1\, </math>:s värde <math> \, 0 </math>. Och eftersom <math> \, x^2 - 1\, </math> står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 \, </math> inte definierat. Man säger:
 +
</big>
  
−
Att polynomet <math> x^2 - 1 </math> står i nämnaren har vissa konsekvenser. Precis som hos bråk får nämnaren, som i det här fallet är polynomet <math> x^2 - 1 </math>, inte vara 0. I vårt exempel innebär det att x varken får vara 1 eller -1, för då blir nämnaren, dvs polynomet <math> x^2 - 1 </math>:s värde, 0 och därmed odefinierat. Följaktligen blir även hela uttryckets värde odefinierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla x utom för <math> x = 1 </math> och <math> x = -1 </math>.
+
<div class="ovnE">
 +
Det&nbsp;rationella&nbsp;uttrycket&nbsp;<math> \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, </math>&nbsp;är&nbsp;definierat&nbsp;för&nbsp;alla&nbsp;<math> x\, </math>&nbsp;utom&nbsp;för&nbsp;<math> \, x = 1 \, </math>&nbsp;och&nbsp;<math> \, x = -1 </math>.
  
−
Man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange t.ex. ett tal som löser ekvationen:
+
Uttryckets <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math>
 +
</div>
  
−
::::::::::::::<math>\begin{align} 4 \cdot x & = 3          \\
+
<big>
−
                                        x & = {3 \over 4} \\
+
Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.
−
        \end{align} </math>
+
</big>
  
−
Det sökta talet blir då just det rationella tal (bråk) ovan som inte längre är ett heltal.
 
  
−
På liknande sätt utvidgar man polynombegreppet till rationella uttryck för att kunna ange t.ex. ett uttryck R(x) som löser ekvationen:
+
== <b><span style="color:#931136">Analogi mellan heltal och polynom samt mellan bråk och rationella uttryck</span></b> ==
  
−
::::::::::<math>\begin{align} (x^2 - 1)\cdot R(x) & = 6\,x                \\
+
<big>
−
                                            R(x) & = {6\,x \over x^2 - 1} \\
+
Repetera [http://34.248.89.132:1800/index.php/1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal<b><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></b>] från Matte 1.
−
        \end{align} </math>
+
  
−
Det sökta uttrycket R(x) blir då just det rationella uttryck ovan som inte längre är ett polynom. Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inget polynom utan ett rationellt uttryck, precis som division av två heltal i regel inte ger ett heltal, utan ett rationellt tal (bråk).
+
Ett <b><span style="color:red">rationellt tal</span></b> är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget <math> 0\, </math> i nämnaren, t.ex. <math> \; \displaystyle \frac{3}{4} \; </math>.
  
−
Övergången från polynom till rationella uttryck är i många avseenden jämförbar med övergången från heltal till rationella tal. Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till det här exemplet utan går mycket längre. Den är både intressant ur teoretiskt perspektiv och nyttig ur praktsik synvinkel. Vi kommer att se att den hjälper oss att räkna med rationella uttryck.
+
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med <math> \, 0\, </math>, t.ex. <math> \, \displaystyle \frac{3}{0} \, </math> är inte definierad.  
  
−
== Rationella funktioner ==
+
Följande analogi (motsvarighet) råder mellan heltal och polynom å ena och bråk och rationellt uttryck å andra sidan:
  
−
Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att inkludera dem i funktioner genom att tilldela dem en annan variabel, t.ex. y:
+
Heltal motsvarar polynom och rationella tal motsvarar rationella uttryck. De senaste två är kvoter av de första två. I de senaste två får nämnaren inte bli <math> \, 0 </math>.
  
−
:::::::::::::::<math> y = {6\,x \over x^2 - 1} </math>
+
De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det:  
  
−
En <span style="color:red">rationell funktion</span> är kvoten mellan två polynom som tilldelas en variabel y. T.ex. ger det rationella uttryck som nämndes i förra avsnitt upphov till den rationella funktionen ovan. Både täljaren och nämnaren är polynom. Av samma skäl som nämndes för uttrycket är denna funktion definierad för alla x utom för <math> x = 1 </math> och <math> x = -1 </math>.  
+
När vi börjar <b><span style="color:red">räkna</span></b> visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning på de regler som gäller för bråktal, fast på ett högre plan. Detta gäller inte bara <b><span style="color:red">de fyra räknesätten</span></b> utan även <b><span style="color:red">förkortning</span></b> och <b><span style="color:red">förlängning</span></b>.
  
−
Fördelen med funktioner är är att man kan visualisera dem med grafer. Vi ska använda detta enkla verktyg för att studera egenskaperna hos rationella uttryck. Innan vi ritar grafen till den rationella funktionen ovan ska vi titta på ett enklare exempel.
+
I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför: &nbsp;&nbsp;&nbsp;<b>Repetera [[1.3 Repetition: Tal i bråkform|<span style="color:blue">bråkräkning</span>]] från Matte 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;.</b>
 +
</big>
  
−
==== Exempel 1 ====
 
  
−
Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är:
+
= <b><span style="color:#931136">Addition och subtraktion av rationella uttryck</span></b> =
  
−
::::::::::::::::<math> 1 \over x </math>
+
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; </math> så långt som möjligt.
  
−
Uttrycket är rationellt därför att det är en kvot mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Uttrycket ger upphov till den rationella funktionen
+
::::::<math> \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2}}} \; = \; {\;15 \over 6\,x} \, - \, {\;8 \over 6\,x} \; = \; {\;15 - 8 \over 6\,x} \; = \; {7 \over 6\,x} </math>
 +
</big></div>
  
−
:::::::::::::::<math> y = {1 \over x} </math>
 
  
−
<math> y = 1/x </math> har nämligen en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; </math> så långt som möjligt.
  
−
[[Image: y=1_div_x_70.jpg]]
+
::::::<math> \;\, {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \;  </math>
  
−
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är <span style="color:red">kontinuerlig</span>. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i x = 0. Man säger att funktionen är <span style="color:red">icke-kontinuerlig</span> i x = 0.
+
::::::<math> \;\, = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math>
 +
</big></div>
  
−
Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen <math> y = 1/x </math> inte har något värde för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därmed odefinierad. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen <math> y = {1/x} </math> är <span style="color:red">inte definierad för x = 0</span>. Man måste undanta x = 0 från funktionens definitionsmängd: <math> y = {1/x} </math> är definierad för alla x utom för x = 0.
 
  
−
Icke-definierbarheten och diskontinuiteten <u>för vissa x</u> är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla x.
+
<big>
 +
<b>Hjälpsats:</b> <math> \qquad\quad \boxed{a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a)} </math>
  
−
==== Exempel 2 ====
+
<b>Bevis:</b> <math> \qquad\qquad\;\;\, a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) </math>
  
−
Genom att understryka orden <u>för vissa x</u> i exemplet 1 ovan vill vi säga att det är bara några isolerade x-värden för vilka en rationell funktion <u>kan</u> vara odefinierad. Antalet sådana x-värden kan hos rationella funktioner vara 0, 1, 2, <math>\ldots</math>. Antalet 0 innebär att det även finns rationella funktioner som inte har några x för vilka de är odefinierade, dvs de är definierade och kontinuerliga för alla x precis som vanliga polynom. Ett exempel på sådana "snälla" rationella funktioner är:
+
Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela.
 +
</big>
  
−
:::::::::::::::<math> y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math>
 
  
−
Anledningen till att <math>y_1\,</math> är definierad för alla x är att funktionsuttryckets nämnare, dvs polynomet <math> x^2 + 1 </math> inte har några (reella) nollställen. Det i sin tur beror på att ekvationen <br> <math> x^2 + 1 = 0 </math> saknar lösning, därför att <math> x^2 </math> blir -1 och roten ur -1 inte kan dras. Grafen till funktionen <math>y_1\,</math> (övre kurvan) visar att <math>y_1\,</math> är definierad och kontinuerlig för alla x:
+
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{2}{a-b} \, - \, \frac{1}{b-a} \; </math> så långt som möjligt.
  
−
[[Image: 14Rat_fkt_utan_med_disk.jpg]]
+
::::::<math> \;\, {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math>
 +
</big></div>
  
−
I den undre delen av bilden ovan har vi, för att kunna jämföra, även ritat grafen till en annan rationell funktion <math>y_2\,</math> som skiljer sig från <math>y_1\,</math> endast i ett förtecken i nämnaren:
 
  
−
:::::::::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} </math>
+
== <span style="color:#931136">Repetition: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln</span> ==
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math>\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2  \;\; \\
 +
                      {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2      \\
 +
                      {\rm \,Konjugatregeln}          \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2
 +
  \end{align}</math>
 +
</div>
 +
<big>
 +
<b><span style="color:red">OBS!</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Användningen av reglerna ovan <b><span style="color:red">baklänges</span></b> innebär <b><span style="color:red">faktorisering</span></b>.
 +
</big>
  
−
Skillnaden i ett förtecken i nämnaren räcker för att att resultera i ett helt annorlunda beteende av funktionen <math>y_2\,</math> jämfört med <math>y_1\,</math>. Som grafen visar är <math>y_2\,</math>:s kurva uppdelad i tre grenar och har två ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig). En blick på funktionsuttrycket avslöjar detta. Här kan vi dra nytta av faktorisering som vi lärt oss i förra avsnitt. Skriver man nämnarens polynom i faktorform ser man att att <math>y_2\,</math> varken är definierad för <math> x_1 = -1 </math> eller för <math> x_2 = 1 </math>:
 
  
−
:::::::::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math>
+
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> ===
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <big><big><math> \; {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; </math></big></big> så långt som möjligt.
  
−
När x närmar sig -1 eller 1 går <math>y_2</math> mot oändligheten, vilket även framgår av grafen. Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner och därmed för rationella uttryck, är om polynomet i nämnaren har några nollställen och, om det är fallet, vilka de är. Med andra ord, om polynomet i nämnaren låter sig faktorisera eller ej. Om ja, kan vi genom faktorisering få fram nollställena. I vårt exempel kan man i <math> y_1 </math> inte faktorisera <math> x^2 + 1 </math>, för ekvationen <math> x^2 + 1 = 0 </math> saknar lösning. Däremot går det i <math> y_2 </math> att faktorisera <math> (x^2 - 1) = (x + 1) </math><math>\cdot</math><math>(x - 1)</math>, för ekvationen <math> x^2 - 1 = 0 </math> har lösningarna <math> x_1 = -1 </math> eller för <math> x_2 = 1 </math>.
+
Redan i första steget används konjugatregeln baklänges för att faktorisera den första termens nämnare:
  
−
== Att räkna med rationella uttryck ==
+
:<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
  
−
Avsikten med detta avsnitt är inte att vi ska lära oss räkna med bråktal, för det har vi (förhoppningsvis!) redan gjort i Matte A-kursen. Utan avsikten är att inse att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.
+
:<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, - \, {1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; - \; {{\color{Red} {(x+2)}}\quad\cdot \quad\, 1 \quad\;\;\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
  
−
Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan medför bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck var en naturlig fortsättning av de regler som gällde för räkning med bråktal. Därför kommer vi nu, när vi går igenom dessa räkneregler, alltid inleda med en repetition av regler som gäller för räkning med bråktal för att sedan generalisera och använda samma principer på räkning med rationella uttryck.
+
:<math> = \; {2\,x \; - \; (x+2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math>
 +
</big></div>
  
−
=== Addition & subtraktion av rationella uttryck ===
 
  
−
Vi kan nu använda samma principer för att addera och subtrahera rationella uttryck:
+
= <b><span style="color:#931136">Multiplikation och division av rationella uttryck</span></b> =
  
−
===== Exempel 3 =====
+
<big>
 +
Även här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
 +
</big>
  
−
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: <math> {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} </math>
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
  
−
<math> {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 2\,x \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} 2\,x} \over 3\,x \cdot {\color{Red} 2\,x}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} </math>
+
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{15}{x^2} \cdot \frac{x}{3} </math>
  
 +
::::::<math> \;\, {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} </math>
 +
</big></div>
  
−
===== Exempel 4 =====
 
  
−
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: <math> {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} </math>  
+
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
  
−
<math> {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} 2\,x^2} \over 12\,x \cdot {\color{Red} 2\,x^2}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math>
+
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{5\,x^2}{12} \cdot \frac{3}{20\,x} </math>
  
 +
::::::<math> \;\, {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} </math>
 +
</big></div>
  
−
===== Exempel 5 =====
 
  
−
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: <math> {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} </math>  
+
<div class="ovnE">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
  
−
<math> {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math>
+
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; </math> så långt som möjligt.
  
 +
<b><span style="color:red">OBS! Vanligt fel:</span></b> <math> \; \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3}} </math>
  
−
===== Exempel 6 =====
 
  
−
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: <math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} </math>
+
<b><span style="color:red">Korrekt lösning:</span></b> <math> \;\, \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \;{x \over x+3} \cdot {\color{Red} 6 \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; {x \cdot (x+3) \over (x+3) \cdot x} \; = \; 1} </math>
  
−
<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
+
<b><span style="color:red">Felets förklaring</span></b>:
  
 +
Låt oss i uttrycket <math> \, \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, </math> anta <math> \, x = 1\, </math>.
  
−
<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} (x+2)}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} (x+2)}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
+
Felaktig "förkortning" ger <math> \, \displaystyle{{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} </math> <math> = 18 \, </math>.
  
 +
Rätt svar är <math> \, \displaystyle{{6+18 \over 6} = {24 \over 6}} = 4 \, </math>.
  
−
<math> = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = </math>
+
Slutsats:
  
 +
Det är fel att "förkorta" uttrycket <math> \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; </math> med <math> \; {\color{Red} {6\,x}} \; </math> därför att <math> \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; </math> är en summa.
  
−
<math> = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math>
+
Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma <b><span style="color:red">faktorer</span></b> förkortas.
  
 +
Korrekt är att <b><span style="color:red">faktorisera</span></b> <math> \, 6\,x+18 \, </math> innan vi kan förkorta<span style="color:black"></span>. Det gör vi genom att bryta ut <math> {\color{Red} 6} \, </math> i täljaren:
  
 +
::::::<math> {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} </math>
  
 +
Nu får vi också rätt svar om vi i uttrycket ovan sätter in <math> \, x = 1 </math><span style="color:black">:</span> <math> \quad \displaystyle{{1+3 \over 1} \, = \, 4} \quad </math>.
 +
</big></div>
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 4</span> ===
 +
 
 +
<big>
 +
[[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]]
 +
 
 +
I första steget har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_och_konjugatregeln|<b><span style="color:blue">2:a kvadreringsregeln</span></b>]] använts  baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet<span style="color:black">:</span> <math> \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, </math> för att sedan kunna förkorta med <math> (x-1)\, </math>.
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 5</span> ===
 +
 
 +
<big>
 +
Förenkla uttrycket <math> \; \displaystyle \left(\frac{x^2 - 8\,x + 16}{y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, \; </math> så långt som möjligt.
 +
 
 +
:<math> \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot  \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, </math>
 +
 
 +
:<math> \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;baklänges\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, </math>
 +
 
 +
:<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
== Internetlänkar ==
 +
 
 +
http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html
 +
 
 +
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related
 +
</big>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 10 december 2024 kl. 14.01

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      

     <<  Repetition: Tal i bråkform

Exempel på rationella uttryck

\[ \frac{1}{x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \qquad\quad {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over 4\,x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 1} \quad \]

Ett rationellt uttryck är kvoten (resultatet av division) mellan två polynom.

I rationella uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \), t.ex. får i:

\[ 6\,x \over x^2 - 1 \]

nämnaren \( x^2 - 1\, \) inte bli \( \, 0 \), för division med \( \, 0 \) är inte definierad. Läs: Varför är division med 0 inte definierad?

Detta innebär att \( \, x\, \) varken får vara \( \, 1\, \) eller \( \, -1\, \), för då blir polynomet \( \, x^2 - 1\, \):s värde \( \, 0 \). Och eftersom \( \, x^2 - 1\, \) står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \, \) inte definierat. Man säger:

Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, \) är definierat för alla \( x\, \) utom för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \).

Uttryckets definitionsmängd är: \( \qquad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \)

Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.


Analogi mellan heltal och polynom samt mellan bråk och rationella uttryck

Repetera Olika typer av tal från Matte 1.

Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex. \( \; \displaystyle \frac{3}{4} \; \).

Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( \, 0\, \), t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{0} \, \) är inte definierad.

Följande analogi (motsvarighet) råder mellan heltal och polynom å ena och bråk och rationellt uttryck å andra sidan:

Heltal motsvarar polynom och rationella tal motsvarar rationella uttryck. De senaste två är kvoter av de första två. I de senaste två får nämnaren inte bli \( \, 0 \).

De senaste två är utvidgningar av de första två som har kommit till genom division. Inte nog med det:

När vi börjar räkna visar det sig att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning på de regler som gäller för bråktal, fast på ett högre plan. Detta gäller inte bara de fyra räknesätten utan även förkortning och förlängning.

I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför:    Repetera bråkräkning från Matte 1   .


Addition och subtraktion av rationella uttryck

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2}}} \; = \; {\;15 \over 6\,x} \, - \, {\;8 \over 6\,x} \; = \; {\;15 - 8 \over 6\,x} \; = \; {7 \over 6\,x} \]


Exempel 2

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; \]
\[ \;\, = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]


Hjälpsats: \( \qquad\quad \boxed{a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a)} \)

Bevis: \( \qquad\qquad\;\;\, a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela.


Exempel 3

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{2}{a-b} \, - \, \frac{1}{b-a} \; \) så långt som möjligt.

\[ \;\, {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]


Repetition: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln

\(\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \;\; \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\)

OBS!   Användningen av reglerna ovan baklänges innebär faktorisering.


Exempel 4

Förenkla uttrycket \( \; {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; \) så långt som möjligt.

Redan i första steget används konjugatregeln baklänges för att faktorisera den första termens nämnare:

\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, - \, {1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; - \; {{\color{Red} {(x+2)}}\quad\cdot \quad\, 1 \quad\;\;\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2\,x \; - \; (x+2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]


Multiplikation och division av rationella uttryck

Även här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{15}{x^2} \cdot \frac{x}{3} \)

\[ \;\, {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]


Exempel 2

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5\,x^2}{12} \cdot \frac{3}{20\,x} \)

\[ \;\, {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]


Exempel 3

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; \) så långt som möjligt.

OBS! Vanligt fel: \( \; \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3}} \)


Korrekt lösning: \( \;\, \displaystyle{{x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \;{x \over x+3} \cdot {\color{Red} 6 \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; {x \cdot (x+3) \over (x+3) \cdot x} \; = \; 1} \)

Felets förklaring:

Låt oss i uttrycket \( \, \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \) anta \( \, x = 1\, \).

Felaktig "förkortning" ger \( \, \displaystyle{{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \, \).

Rätt svar är \( \, \displaystyle{{6+18 \over 6} = {24 \over 6}} = 4 \, \).

Slutsats:

Det är fel att "förkorta" uttrycket \( \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; \) med \( \; {\color{Red} {6\,x}} \; \) därför att \( \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; \) är en summa.

Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.

Korrekt är att faktorisera \( \, 6\,x+18 \, \) innan vi kan förkorta. Det gör vi genom att bryta ut \( {\color{Red} 6} \, \) i täljaren:

\[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]

Nu får vi också rätt svar om vi i uttrycket ovan sätter in \( \, x = 1 \): \( \quad \displaystyle{{1+3 \over 1} \, = \, 4} \quad \).


Exempel 4

Ex Rationell uttryck Div.jpg

I första steget har den 2:a kvadreringsregeln använts baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet: \( \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, \) för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).


Exempel 5

Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \left(\frac{x^2 - 8\,x + 16}{y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, \; \) så långt som möjligt.

\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]

\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;baklänges\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]

\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]


Internetlänkar

http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx

http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel

http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related </big>




Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.3_Rationella_uttryck&oldid=36878"