Skillnad mellan versioner av "1.3 Fördjupning till Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Varför är division med 0 inte definierad?)
m
 
(858 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition Bråkräkning]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 
{{Selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.3 Internetlänkar till Rationella uttryck|Internetlänkar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
 +
[[1.3 Repetition: Tal i bråkform|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <<&nbsp;&nbsp;Repetition: Tal i bråkform]]
  
 +
<!-- [[Media: Lektion 6 Rationella uttryck Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck</span></b>]]
 +
[[Media: Lektion 7 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 7 Rationella uttryck</span></b>]]
 +
[[Media: Lektion 8 Rationella uttryck Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 8 Rationella uttryck: Fördjupning</span></b>]] -->
  
 +
<big>
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Division med <math> \, 0 \, </math> är inom de reella talen inte definierad.</span></b>
 +
</div>
  
−
__TOC__
+
<math> \quad </math> [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=Varf%C3%B6r_%C3%A4r_division_med_0_inte_definierad%3F <b><span style="color:blue">Varför?</span></b>]
 +
<math> \qquad\qquad\qquad </math> [http://34.248.89.132:1800/index.php/Vad_som_kan_hända_om_man_ändå_dividerar_med_0 <b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0?</span></b>]
 +
</big>
  
−
== Varför "rationellt"? ==
 
  
−
Ordet ratio betyder i matematiken förhållandet eller kvoten (resultatet av division) mellan två tal. Division utvidgar mängden av heltal.
+
== <b><span style="color:#931136">Rationella funktioner</span></b> ==
  
−
Man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna t.ex. lösa ekvationen:
+
<big>
 +
En <b><span style="color:red">rationell funktion</span></b> är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. <math> \, y</math>.
 +
</big>
  
−
:::::::<math>\begin{align} 4 \cdot x & = 3          \\
 
−
                                        x & = {3 \over 4} \\
 
−
        \end{align} </math>
 
  
−
De tal som ingår i ekvationen är heltal, men det sökta talet, ekvationens lösning, är inte längre heltal utan ett rationellt tal.
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 1</span> ===
 +
Det rationella uttrycket <math> \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, </math> tilldelas variabeln <math> \, y \, </math>, vilket ger den <b><span style="color:red">rationella funktionen</span></b> samt grafen:
  
−
På liknande sätt utvidgar man polynombegreppet till rationella uttryck för att kunna ange t.ex. ett uttryck <math> R(x)\, </math> så att:
+
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y = {1 \over x} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Praktisk forklaring.jpg]]
  
−
:::<math>\begin{align} (x^2 - 1)\cdot R(x) & = 6\,x                \\
+
:::::::<b><span style="color:red">Funktionen är inte definierad för <math> \; {\color{Red} {x = 0}} </math>. </span></b>
−
                                            R(x) & = {6\,x \over x^2 - 1} \\
+
−
        \end{align} </math>
+
  
−
Det sökta uttrycket <math> R(x)\, </math> blir då just det rationella uttryck ovan som inte längre är ett polynom. Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inget polynom utan ett rationellt uttryck, precis som division av två heltal i regel inte ger ett heltal, utan ett rationellt tal (bråk).
+
Till skillnad från polynomfunktioners graf har denna graf två skilda grenar, uttryckt i matematiska termer:
  
−
Övergången från polynom till rationella uttryck är i många avseenden jämförbar med övergången från heltal till rationella tal. Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till det här exemplet utan går mycket längre. Den är både intressant ur teoretiskt perspektiv och nyttig ur praktisk synvinkel. Vi kommer att se att den hjälper oss att räkna med rationella uttryck.
+
En polynomfunktion är alltid kontinuerlig: Dess graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.
  
−
== Varför är division med 0 inte definierad? ==
+
I grafen ovan måste vid <math> x = 0\, </math> pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra.
  
−
Den viktigaste förbjudna operationen i matematiken är <strong><span style="color:red">division med 0</span></strong>. Vad beror det på?
+
Dvs grafen är inte sammanhängande i <math> x = 0\, </math>.
  
−
=== Praktisk förklaring ===
+
Man säger att funktionen är <b><span style="color:red">diskontinuerlig</span></b> (icke-kontinuerlig) i <math> \, x = 0 </math>.
  
−
Ta fram din miniräknare och mata in:
+
Anledningen till denna <b><span style="color:red">diskontinuitet</span></b> är att <math> \; y = </math> <math> \displaystyle {1 \over x} \; </math> inte är definierad för <math> x = 0\, </math>.
  
 +
När <math> \, x \, </math> närmar sig <math> 0\, </math> går <math> y\, </math> mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt.
  
 +
Man måste undanta <math> x = 0\, </math> från funktionens definitionsmängd:
  
−
=== Teoretisk förklaring ===
+
Den rationella funktionen <math> y = </math> <math> \displaystyle {1 \over x}</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0} </math>
 +
</div>
  
−
== Rationella funktioner ==
 
−
Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att inkludera dem i funktioner genom att tilldela dem en annan variabel, t.ex. y:
 
  
−
:::::::::::::::<math> y = {6\,x \over x^2 - 1} </math>
+
<big>Matte 2:
  
−
En <span style="color:red">rationell funktion</span> är kvoten mellan två polynom som tilldelas en variabel y. T.ex. ger det rationella uttryck som nämndes i förra avsnitt upphov till den rationella funktionen ovan. Både täljaren och nämnaren är polynom. Av samma skäl som nämndes för uttrycket är denna funktion definierad för alla x utom för <math> x = 1 </math> och <math> x = -1 </math>.
+
<div class="border-divblue">
 +
En funktions <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad.
 +
</div>
  
−
Fördelen med funktioner är är att man kan visualisera dem med grafer. Vi ska använda detta enkla verktyg för att studera egenskaperna hos rationella uttryck. Innan vi ritar grafen till den rationella funktionen ovan ska vi titta på ett enklare exempel.
 
  
−
==== Exempel 1 ====
+
Diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> \, x \, </math> är något typiskt för alla rationella funktioner och
  
−
Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är:
+
det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för <u>alla</u> <math> x\, </math>.
  
−
::::::::::::::::<math> 1 \over x </math>
+
Diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> \, x\, </math> innebär att det är bara några isolerade <math> \, x</math>-värden som en rationell funktion <u>kan</u> vara diskontinuerlig för.
  
−
Uttrycket är rationellt därför att det är en kvot mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Uttrycket ger upphov till den rationella funktionen
+
Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella <math> \, x\, </math>. Här följer ett exempel:
 +
</big>
  
−
:::::::::::::::<math> y = {1 \over x} </math>
 
  
−
<math> y = 1/x </math> har nämligen en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:
+
<div class="ovnC">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 2</span> ===
 +
En "snäll" rationell funktion samt graf utan reell diskontinuitet:
 +
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_utan_disk.jpg]]
  
−
[[Image: y=1_div_x_70.jpg]]
 
  
−
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är <span style="color:red">kontinuerlig</span>. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i x = 0. Man säger att funktionen är <span style="color:red">icke-kontinuerlig</span> i x = 0.  
+
<b><span style="color:red">Grafen</span></b> visar inga diskontinuiteter.
  
−
Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen <math> y = 1/x </math> inte har något värde för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därmed odefinierad. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen <math> y = {1/x} </math> är <span style="color:red">inte definierad för x = 0</span>. Man måste undanta x = 0 från funktionens definitionsmängd: <math> y = {1/x} </math> är definierad för alla x utom för x = 0.
+
<b><span style="color:red">Algebraiskt</span></b> har funktionsuttryckets nämnare inga reella nollställen, dvs ekvationen
  
−
Icke-definierbarheten och diskontinuiteten <u>för vissa x</u> är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla x.
+
<math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reell lösning. Den ger nämligen <math> \, x^2 = -1 </math>. Och <math> \, \sqrt{-1} \, </math> är inget reellt tal.
  
−
==== Exempel 2 ====
+
Ekvationen har endast de komplexa lösningarna <math> \, x_1 = i \, </math> och <math> \, x_2 = -i </math>.
  
−
Genom att understryka orden <u>för vissa x</u> i exemplet 1 ovan vill vi säga att det är bara några isolerade x-värden för vilka en rationell funktion <u>kan</u> vara odefinierad. Antalet sådana x-värden kan hos rationella funktioner vara 0, 1, 2, <math>\ldots</math>. Antalet 0 innebär att det även finns rationella funktioner som inte har några x för vilka de är odefinierade, dvs de är definierade och kontinuerliga för alla x precis som vanliga polynom. Ett exempel på sådana "snälla" rationella funktioner är:
+
<b>Slutsats:</b> Den rationella funktionen <math> \, y_1</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \quad\;\; \boxed{{\rm Alla\;reella\;tal}\quad x} </math>
 +
</div>
  
−
:::::::::::::::<math> y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math>
 
  
−
Anledningen till att <math>y_1\,</math> är definierad för alla x är att funktionsuttryckets nämnare, dvs polynomet <math> x^2 + 1 </math> inte har några (reella) nollställen. Det i sin tur beror på att ekvationen <br> <math> x^2 + 1 = 0 </math> saknar lösning, därför att <math> x^2 </math> blir -1 och roten ur -1 inte kan dras. Grafen till funktionen <math>y_1\,</math> (övre kurvan) visar att <math>y_1\,</math> är definierad och kontinuerlig för alla x:
+
<div class="ovnA">
 +
=== <span style="color:#931136">Exempel 3</span> ===
 +
En liten ändring i <math> \, y_1</math>:s nämnare från <math> \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, </math> till <math> \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, </math> resulterar i en annan funktion med ett annat beteende:  
  
−
[[Image: 14Rat_fkt_utan_med_disk.jpg]]
+
<div class="border-div20"> <big><math> \displaystyle y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Rat_fkt_med_disk.jpg]]
  
−
I den undre delen av bilden ovan har vi, för att kunna jämföra, även ritat grafen till en annan rationell funktion <math>y_2\,</math> som skiljer sig från <math>y_1\,</math> endast i ett förtecken i nämnaren:
+
<b><span style="color:red">Grafen</span></b> är updelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs två ställen där den inte är kontinuerlig,
  
−
:::::::::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} </math>
+
dvs inte sammanhängande<span style="color:black">:</span> <math> \, x\, = \, -1 \, </math> och <math> \, x\, = \, 1 </math>. När <math> \, x\, </math> närmar sig dessa två ställen går <math> \, y_2\,</math> mot oändligheten.
  
−
Skillnaden i ett förtecken i nämnaren räcker för att att resultera i ett helt annorlunda beteende av funktionen <math>y_2\,</math> jämfört med <math>y_1\,</math>. Som grafen visar är <math>y_2\,</math>:s kurva uppdelad i tre grenar och har två ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig). En blick på funktionsuttrycket avslöjar detta. Här kan vi dra nytta av faktorisering som vi lärt oss i förra avsnitt. Skriver man nämnarens polynom i faktorform ser man att att <math>y_2\,</math> varken är definierad för <math> x_1 = -1 </math> eller för <math> x_2 = 1 </math>:
+
<b><span style="color:red">Algebraiskt</span></b> har nämnaren i <math> \, y_2 \, </math> nollställena <math> \, x = 1 \, </math> och <math> \, x = -1 </math>. Därför har <math> \, y_2 \, </math> diskontinuiteter i dessa punkter. 
  
−
:::::::::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math>
+
:::::::::::::<big><math> \Downarrow </math></big>
  
−
När x närmar sig -1 eller 1 går <math>y_2</math> mot oändligheten, vilket även framgår av grafen. Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner och därmed för rationella uttryck, är om polynomet i nämnaren har några nollställen och, om det är fallet, vilka de är. Med andra ord, om polynomet i nämnaren låter sig faktorisera eller ej. Om ja, kan vi genom faktorisering få fram nollställena. I vårt exempel kan man i <math> y_1 </math> inte faktorisera <math> x^2 + 1 </math>, för ekvationen <math> x^2 + 1 = 0 </math> saknar lösning. Däremot går det i <math> y_2 </math> att faktorisera <math> (x^2 - 1) = (x + 1) </math><math>\cdot</math><math>(x - 1)</math>, för ekvationen <math> x^2 - 1 = 0 </math> har lösningarna <math> x_1 = -1 </math> eller för <math> x_2 = 1 </math>.
+
<b>Slutsats:</b> Den rationella funktionen <math> \, y_2</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq -1 \; {\rm och} \; x \neq 1} </math>
 +
</div>
  
−
== Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter ==
 
  
−
Vi har hittills använt bråktalens räkneregler för att räkna med rationella uttryck utan att stöta på några hinder. Men vi får inte glömma att rationella uttryck ändå är komplexare objekt. Därför är det inte förvånansvärt att de har egenskaper som inte längre kan jämföras med motsvarigheter hos bråktal. En av dessa visas upp när man förkortar dem efter faktorisering av täljaren och nämnaren.
+
<div class="ovnC">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter</span></b> ===
  
−
[[Image: 14f_Förkort_Diskont.jpg]]
+
<div class="exempel">
  
−
Efter faktorisering av täljaren och nämnaren samt förkortning med faktorn <math> (x+3)\, </math> förenklas det rationella uttrycket väsentligt. Men denna förkortning är endast korrekt om <math> x \not= -3 </math> eftersom förkortning med <math> (x+3)\,</math> innebär division med 0 om <math> x = -3\, </math>. Likhetstecknet mellan de rationella uttrycken gäller endast under förutsättningen <math> x \not= -3 </math>. Det enklare uttrycket är identiskt med det ursprungliga inte för alla x utan för alla utom för <math> x = -3\, </math>. Det blir ännu tydligare när vi betraktar dem som rationella funktioner. Då uppsår nämligen frågan: Vad händer med diskontinuiteten i <math> x = -3 </math> som försvinner efter att vi förkortat uttrycket med faktorn <math> (x+3) </math>? Och vad är det för skillnad mellan diskontinuiteterna i <math> x = -3 </math> och <math> x = 3 </math>? För att undersöka dessa frågor skriver vi dem som funktioner och ritar båda funktioners grafer:
+
==== <span style="color:#931136">Exempel</span> ====
  
−
::<math>\begin{align} y_3 & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,(x + 3) \over (x + 3)\,(x - 3)} \\
+
:[[Image: 14f_Förkort_Diskont.jpg]]
−
                                                                                                    \\
+
</div>
−
                y_4 & = {2\,x \over x - 3}\end{align} </math> [[Image: Vit_5,64cm.jpg]] [[Image: 14ay_Förkort_Förläng_2_1_disk.jpg]]
+
  
−
I den vänstra delen av bilden ser man grafen till funktionen <math> y_3\,</math> och i den högra delen grafen till funktionen <math> y_4\,</math>. Till synes visar resultatet helt identiska kurvor. Men i själva verket vet vi att funktionen <math> y_3 </math> inte är definierad för <math> x = -3 </math> och har en diskontinuitet där. Därför har dess graf (kurvan till vänster) ett "hål" eller en "lucka" i <math> x = -3 </math> som man inte ser. Så grafen lurar oss. Vi måste hålla oss till <math> y_3 </math>:s funktionsuttryck ovan som klart visar <u>två</u> diskontinuiteter, en i <math> x = -3 </math> och den andra i <math> x = 3 </math>. Den första som vi lyckades få bort genom förkortning, är en s.k. <span style="color:red">hävbar diskontinuitet</span> medan den andra är icke-hävbar. Utan att gå närmare in på detta (överkurs) kan vi bara säga att hävbara diskontinuiteter är sådana som är "snälla" och kan repareras. I det här fallet skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen <math> y_3 </math>:s definition med att <math> y_3 </math> ska vara 1 för <math> x = -3 </math>. Man kan nämligen visa att <math> y_3 </math> går mot ett ändligt värde när x går mot -3 båda från vänster och höger. Vi behöver inte genomföra beviset utan kan nöja oss med att förkorta uttrycket med faktorn <math> (x+3) </math>. Att det ändliga värdet, det s.k. gränsvärdet, blir 1 kan vi få fram genom att beräkna värdet av <math> y_4 </math> för <math> x = -3 </math>:
+
Vi skriver de rationella uttrycken ovan som funktioner och ritar deras grafer för att besvara
  
−
:::::::::::::::<math> y_4 (-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 </math>
+
<b>Frågan:</b> &nbsp;&nbsp; Är det <b>en</b> funktion i två olika skepnader eller är det <b>två</b> olika funktioner?
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-div20">
 +
<math>\begin{align} f\,(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\
 +
                    g\,(x) & = {2\,x \over x - 3}
 +
      \end{align} </math>
 +
</div>
 +
<b>Svaret:</b> &nbsp;&nbsp; <math> f(x) \, </math> och <math> \, g\,(x) \, </math> är <b><span style="color:red">två olika funktioner</span></b> eftersom
  
−
Då är det möjligt att definiera en ny funktion <math> \tilde{y}_3 </math> som är lite modifierad gentemot <math> y_3\, </math>. Modifikationen består i att lägga till värdet 1 i den nya funktionen för <math> x = -3 </math> så att den blir både definierad och kontinuerlig för <math> x = -3 </math>. Annars är den identisk med <math> y_3\, </math>. Så här brukar man definiera den nya funktion <math> \tilde{y}_3 </math>:
+
deras definitionsmängder är olika<span style="color:black">:</span>
  
 +
<math> f(x)</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq -3 \, {\rm och} \, x \neq 3} </math>
  
−
:::::::::::::::<math>\tilde{y}_3 = \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} &, \text{om}\; x \neq -3 \\
+
<math> g\,(x)</math><span style="color:black">:s</span> <b><span style="color:red">definitionsmängd</span></b> är<span style="color:black">:</span> <math> \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq 3} </math>
−
                                                                                                                      \\
+
</td>
−
                                                \quad 1                        &, \text{om}\; x   =  -3
+
   <td>[[Image: Havbar_ickehavbar_disk.jpg]]</td>
−
                                  \end{cases}</math>
+
</tr>
 +
</table>
  
 +
<b><span style="color:red">OBS!</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Likheten <math> \, {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \, = \, {2\,x \over x - 3} \, </math> gäller inte för alla <math> \, x \, </math> utan endast för alla <math> \, x \not= -3 </math>. Anledningen är:
  
−
Denna definition är uppdelad i två olika fall: För alla x utom <math> x = -3 </math> definieras funktionen <math> \tilde{y}_3 </math> enligt det rationella uttrycket för <math> y_3\, </math>, medan för <math> x = -3 </math> har den värdet 1. <math> \tilde{y}_3 </math> kallas den <span style="color:red">kontinuerliga fortsättningen</span> av <math> y_3 </math>. Den är lämpligare att användas istället för <math> y_3 </math> eftersom man hat lyckats att eliminera åtminstone den hävbara diskontinuiteten.  
+
:::Förkortningen med <math> \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, </math> är endast korrekt om <math> \, x \not= -3 </math> eftersom den innebär division med <math> \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, </math> som är <math> \, 0\,</math> när <math> \, x = -3\, </math>.  
  
−
Den andra faktorn <math> (x-3) </math> i <math> y_3 </math>:s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten av <math> y_3 </math> i <math> x = 3 </math>. Denna diskontinuitet är dock inte hävbar. I <math> x = 3 </math> går <math> y_3 </math> inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten när x går mot 3. Därför är diskontinuiteten i <math> x = 3 </math> kvar och synlig i graferna av både <math> y_3 </math> och <math> y_4 </math>. Den är, till skillnad från den första, en <span style="color:red">icke-hävbar diskontinuitet</span> och kan inte repareras på något sätt. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen <math> \tilde{y}_3 </math> och är icke-hävbar även där.
+
:::Se upp för division med <math> \, 0 \,</math> i uttryck, för den är oftast gömd. Läs: [http://34.248.89.132:1800/index.php/Vad_som_kan_hända_om_man_ändå_dividerar_med_0 <b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</span></b>].
  
 +
Graferna lurar oss: Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan <math> f(x) \, </math> och <math> \, g\,(x) </math>. Men om du förstorar <math> f(x)</math>:s graf kan du se i den ett "hål" eller en "lucka" i <math> \, x = -3 </math>, vilket beror på att <math> f(x) \, </math> inte är definierad där. Grafen "hoppar" över <math> \, x = -3 \, </math> så att säga. Men till skillnad från <math> \, x = 3 \, </math> går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av <math> \, x = -3 </math>. Anledningen till det är att <math> \, x = -3 \, </math> är en <b><span style="color:red">hävbar diskontinuitet</span></b>, till skillnad från <math> \, x = 3 \, </math> som är en <b><span style="color:red">icke-hävbar diskontinuitet</span></b>.
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
<div class="border-divblue">
 +
<math> x = -3 </math> kallas för en <b><span style="color:red">hävbar diskontinuitet</span></b> eftersom <math> (x+3) </math> kan förkortas bort i <math> f(x) </math> och försvinner då från nämnaren.
 +
 
 +
<math> \, x = 3 \, </math> kallas för en <b><span style="color:red">icke-hävbar diskontinuitet</span></b> eftersom <math> \, (x-3) \, </math> finns kvar i nämnaren av <math> f(x) </math>.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<big>Men hur häver man en hävbar diskontinuitet?</big>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Kontinuerlig fortsättning</span></b> ===
 +
 
 +
Hävbara diskontinuiteter är "snälla". Funktioner med hävbara diskontinuiteter kan "repareras":
 +
 
 +
Det gör man genom att definiera en ny funktion som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med den.
 +
 
 +
I exemplet ovan skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen <math> f(x)\, </math>:s definition med ett värde för <math> \, x = -3 \, </math> som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig i sin omgivning. Man får fram detta värde genom att beräkna värdet av <math> \, \displaystyle {g\,(x) = {2\,x \over x - 3}} \, </math> för <math> \, x = -3 </math><span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::::::<math> g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 </math>
 +
 
 +
Värdet <math> \, 1 \, </math> läggs till i den nya funktionen för <math> \, x = -3 </math>. Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av <math> f(x) </math> som består just av det här tillägget. För alla andra <math> \, x \, </math> är den nya funktionen identisk med den gamla <math> f(x) </math>.
 +
 
 +
Så här kan den nya funktionen <math>-</math> kallad den <b><span style="color:red">kontinuerliga fortsättningen</span></b> av <math> f(x) </math> <math>-</math> definieras<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::::<div class="border-div"> <math> \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3  \\
 +
                                                                                                                    \\
 +
                                                                                                  1              & \mbox{om } x  =  -3
 +
                              \end{cases}</math> </div>
 +
 
 +
Denna definition är uppdelad i två olika fall: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För alla <math> \, x \neq -3\, </math> definieras <math> \, \hat{f}(x) \, </math> enligt det rationella uttrycket för <math> \, f(x)\, </math>.
 +
 
 +
:::::::::::::För <math> \, x = -3 \, </math> får <math> \hat{f}(x) \, </math> värdet <math> 1 </math>, dvs <math> \hat{f}(-3) = 1 </math>.
 +
 
 +
<math>\hat{f}(x) \, </math> är både algebraiskt och grafiskt (se exemplet ovan) identisk med den förkortade form vi hade fått tidigare<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::::::<math> \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} </math>
 +
 
 +
I praktiskt beräkningssammanhang, t.ex. när man ritar grafen, föredrar man förstås denna enkla form.
 +
 
 +
Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen <math> f(x)\, </math>, att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte att den är en kontinuerlig fortsättning av <math> f(x) </math>.
 +
 
 +
Den andra faktorn <math> (x-3)\, </math> både i <math> f(x)</math>:s och <math> \, \hat{f}(x)</math>:s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten <math> \, x = 3 \, </math> som till skillnad från <math> \, x = -3\, </math> är en icke-hävbar diskontinuitet och inte kan "repareras" på något sätt. När <math> \, x\, </math> går mot <math> \, 3\, </math> går <math> f(x)\, </math> inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten, vilket syns i graferna till både <math> f(x)\, </math> och <math> \hat{f}(x) </math>. Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen <math> \hat{f}(x) </math>.
 +
 
 +
Så <math> \hat{f}(x) \, </math> har endast en diskontinuitet kvar medan <math> f(x)\, </math> hade två diskontinuiteter.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 juni 2019 kl. 12.48

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      

     <<  Repetition: Tal i bråkform


Division med \( \, 0 \, \) är inom de reella talen inte definierad.

\( \quad \) Varför? \( \qquad\qquad\qquad \) Vad händer om man ändå dividerar med 0?


Rationella funktioner

En rationell funktion är ett rationellt uttryck som tilldelas en annan variabel, t.ex. \( \, y\).


Exempel 1

Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle{\frac{1}{x}} \, \) tilldelas variabeln \( \, y \, \), vilket ger den rationella funktionen samt grafen:

\( \displaystyle y = {1 \over x} \)
          Praktisk forklaring.jpg
Funktionen är inte definierad för \( \; {\color{Red} {x = 0}} \).

Till skillnad från polynomfunktioners graf har denna graf två skilda grenar, uttryckt i matematiska termer:

En polynomfunktion är alltid kontinuerlig: Dess graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet.

I grafen ovan måste vid \( x = 0\, \) pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra.

Dvs grafen är inte sammanhängande i \( x = 0\, \).

Man säger att funktionen är diskontinuerlig (icke-kontinuerlig) i \( \, x = 0 \).

Anledningen till denna diskontinuitet är att \( \; y = \) \( \displaystyle {1 \over x} \; \) inte är definierad för \( x = 0\, \).

När \( \, x \, \) närmar sig \( 0\, \) går \( y\, \) mot oändligheten, vilket kan inses både algebraiskt och grafiskt.

Man måste undanta \( x = 0\, \) från funktionens definitionsmängd:

Den rationella funktionen \( y = \) \( \displaystyle {1 \over x}\):s definitionsmängd är: \( \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 0} \)


Matte 2:

En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.


Diskontinuiteten för vissa \( \, x \, \) är något typiskt för alla rationella funktioner och

det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla \( x\, \).

Diskontinuiteten för vissa \( \, x\, \) innebär att det är bara några isolerade \( \, x\)-värden som en rationell funktion kan vara diskontinuerlig för.

Det finns även rationella funktioner som inte har några reella diskontinuiteter, dvs de är kontinuerliga för alla reella \( \, x\, \). Här följer ett exempel:


Exempel 2

En "snäll" rationell funktion samt graf utan reell diskontinuitet:

\( \displaystyle y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} \)
          Rat fkt utan disk.jpg


Grafen visar inga diskontinuiteter.

Algebraiskt har funktionsuttryckets nämnare inga reella nollställen, dvs ekvationen

\( x^2 + 1 = 0\, \) saknar reell lösning. Den ger nämligen \( \, x^2 = -1 \). Och \( \, \sqrt{-1} \, \) är inget reellt tal.

Ekvationen har endast de komplexa lösningarna \( \, x_1 = i \, \) och \( \, x_2 = -i \).

Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_1\):s definitionsmängd är: \( \quad\;\; \boxed{{\rm Alla\;reella\;tal}\quad x} \)


Exempel 3

En liten ändring i \( \, y_1\):s nämnare från \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} +}} \, 1 \, \) till \( \, x^2 \, \bf{{\color{Red} -}} \, 1 \, \) resulterar i en annan funktion med ett annat beteende:

\( \displaystyle y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} \)
          Rat fkt med disk.jpg

Grafen är updelad i tre grenar och har två diskontinuiteter, dvs två ställen där den inte är kontinuerlig,

dvs inte sammanhängande: \( \, x\, = \, -1 \, \) och \( \, x\, = \, 1 \). När \( \, x\, \) närmar sig dessa två ställen går \( \, y_2\,\) mot oändligheten.

Algebraiskt har nämnaren i \( \, y_2 \, \) nollställena \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \). Därför har \( \, y_2 \, \) diskontinuiteter i dessa punkter.

\( \Downarrow \)

Slutsats: Den rationella funktionen \( \, y_2\):s definitionsmängd är: \( \qquad \boxed{{\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq -1 \; {\rm och} \; x \neq 1} \)


Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter

Exempel

14f Förkort Diskont.jpg

Vi skriver de rationella uttrycken ovan som funktioner och ritar deras grafer för att besvara

Frågan:    Är det en funktion i två olika skepnader eller är det två olika funktioner?

\(\begin{align} f\,(x) & = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \\ g\,(x) & = {2\,x \over x - 3} \end{align} \)

Svaret:    \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \, \) är två olika funktioner eftersom

deras definitionsmängder är olika:

\( f(x)\):s definitionsmängd är: \( \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq -3 \, {\rm och} \, x \neq 3} \)

\( g\,(x)\):s definitionsmängd är: \( \boxed{{\rm Alla} \, x \, {\rm med} \, x \neq 3} \)

Havbar ickehavbar disk.jpg

OBS!        Likheten \( \, {2\,x\,{\color{Red} {(x + 3)}} \over {\color{Red} {(x + 3)}}\,(x - 3)} \, = \, {2\,x \over x - 3} \, \) gäller inte för alla \( \, x \, \) utan endast för alla \( \, x \not= -3 \). Anledningen är:

Förkortningen med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) är endast korrekt om \( \, x \not= -3 \) eftersom den innebär division med \( \, {\color{Red} {(x + 3)}} \, \) som är \( \, 0\,\) när \( \, x = -3\, \).
Se upp för division med \( \, 0 \,\) i uttryck, för den är oftast gömd. Läs: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?.

Graferna lurar oss: Med blotta ögat ser man knappast någon skillnad mellan \( f(x) \, \) och \( \, g\,(x) \). Men om du förstorar \( f(x)\):s graf kan du se i den ett "hål" eller en "lucka" i \( \, x = -3 \), vilket beror på att \( f(x) \, \) inte är definierad där. Grafen "hoppar" över \( \, x = -3 \, \) så att säga. Men till skillnad från \( \, x = 3 \, \) går funktionen inte mot oändligheten i den närmaste omgivningen av \( \, x = -3 \). Anledningen till det är att \( \, x = -3 \, \) är en hävbar diskontinuitet, till skillnad från \( \, x = 3 \, \) som är en icke-hävbar diskontinuitet.


\( x = -3 \) kallas för en hävbar diskontinuitet eftersom \( (x+3) \) kan förkortas bort i \( f(x) \) och försvinner då från nämnaren.

\( \, x = 3 \, \) kallas för en icke-hävbar diskontinuitet eftersom \( \, (x-3) \, \) finns kvar i nämnaren av \( f(x) \).



Men hur häver man en hävbar diskontinuitet?


Kontinuerlig fortsättning

Hävbara diskontinuiteter är "snälla". Funktioner med hävbara diskontinuiteter kan "repareras":

Det gör man genom att definiera en ny funktion som inte längre har den ursprungliga funktionens hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med den.

I exemplet ovan skulle man kunna t.ex. komplettera funktionen \( f(x)\, \):s definition med ett värde för \( \, x = -3 \, \) som gör att den nya funktionen blir kontinuerlig i sin omgivning. Man får fram detta värde genom att beräkna värdet av \( \, \displaystyle {g\,(x) = {2\,x \over x - 3}} \, \) för \( \, x = -3 \):

\[ g\,(-3) = {2 \cdot (-3) \over -3 - 3} = {-6 \over -6} = 1 \]

Värdet \( \, 1 \, \) läggs till i den nya funktionen för \( \, x = -3 \). Så blir den kontinuerliga fortsättningen en modifierad version av \( f(x) \) som består just av det här tillägget. För alla andra \( \, x \, \) är den nya funktionen identisk med den gamla \( f(x) \).

Så här kan den nya funktionen \(-\) kallad den kontinuerliga fortsättningen av \( f(x) \) \(-\) definieras:

\( \hat{f}(x) \, = \, \begin{cases} \displaystyle {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} & \mbox{om } x \neq -3 \\ \\ 1 & \mbox{om } x = -3 \end{cases}\)

Denna definition är uppdelad i två olika fall:      För alla \( \, x \neq -3\, \) definieras \( \, \hat{f}(x) \, \) enligt det rationella uttrycket för \( \, f(x)\, \).

För \( \, x = -3 \, \) får \( \hat{f}(x) \, \) värdet \( 1 \), dvs \( \hat{f}(-3) = 1 \).

\(\hat{f}(x) \, \) är både algebraiskt och grafiskt (se exemplet ovan) identisk med den förkortade form vi hade fått tidigare:

\[ \hat{f}(x) \, = \, g\,(x) \, = \, {2 \, x \over x - 3} \]

I praktiskt beräkningssammanhang, t.ex. när man ritar grafen, föredrar man förstås denna enkla form.

Nackdelen med den är bara att den inte längre innehåller något spår av den ursprungliga funktionen \( f(x)\, \), att den "gömmer" sina rötter. Man ser inte att den är en kontinuerlig fortsättning av \( f(x) \).

Den andra faktorn \( (x-3)\, \) både i \( f(x)\):s och \( \, \hat{f}(x)\):s nämnare som inte kan förkortas ger upphov till den andra diskontinuiteten \( \, x = 3 \, \) som till skillnad från \( \, x = -3\, \) är en icke-hävbar diskontinuitet och inte kan "repareras" på något sätt. När \( \, x\, \) går mot \( \, 3\, \) går \( f(x)\, \) inte mot ett ändligt värde utan mot oändligheten, vilket syns i graferna till både \( f(x)\, \) och \( \hat{f}(x) \). Denna "allvarliga" diskontinuitet finns även kvar i den kontinuerliga fortsättningen \( \hat{f}(x) \).

Så \( \hat{f}(x) \, \) har endast en diskontinuitet kvar medan \( f(x)\, \) hade två diskontinuiteter.





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck&oldid=36674"