Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1) |
||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
== Gränsvärde av en funktion == | == Gränsvärde av en funktion == | ||
| − | === Exempel 1 === | + | ==== Exempel 1 ==== |
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
::<math> y = f(x) = {3\,x + 6 \over x - 2}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math> | ::<math> y = f(x) = {3\,x + 6 \over x - 2}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math> | ||
| + | |||
| + | Grafen ser ut så här: | ||
| + | |||
| + | ::[[Image: y=1_div_x_70.jpg]] | ||
| + | |||
| + | <strong><span style="color:red">a)</span></strong> Låt oss med hjälp av definitionen undersöka om den är kontinuerlig för <math> {\color{Red} x = 0}\, </math>. Dvs vi ersätter i definitionen <math> a \, </math> med <math> 0 \, </math> och <math> f(x) \, </math> med <math> 1 \over x </math>. Enligt definitionen borde då: | ||
| + | |||
| + | ::::::::<math> {1 \over x} \to f(0) </math> när <math> x \to 0 </math>. | ||
| + | |||
| + | Men <math> {1 \over x} </math> kan inte gå mot <math> f(0)\, </math> därför att <math> f(0)\, </math> dvs <math> {1 \over 0} </math> inte är definierad. Därme är definitionens krav inte uppfyllt. | ||
| + | |||
| + | <u>Slutsats:</u> Funktionen <math> y = {1 \over x} </math> är inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. | ||
| + | |||
| + | <strong><span style="color:red">b)</span></strong> Låt oss nu undersöka om funktionen är kontinuerlig för <math> {\color{Red} x = 2}\, </math>. Vi ersätter i definitionen <math> a \, </math> med <math> 2 \, </math> och <math> f(x) \, </math> med <math> 1 \over x </math>. Enligt definitionen borde då: | ||
| + | |||
| + | ::::::::<math> {1 \over x} \to {1 \over 2} </math> när <math> x \to 2 </math>. | ||
| + | |||
| + | Närmar man sig <math> 2\, </math> på <math> x\, </math>-axeln, från höger eller från vänster, närmar sig <math> y\, </math> värdet <math> 1 \over 2 </math> i båda fall, därör att <math> f(2) = {1 \over 2} </math>. Därmed är dfinitionens krav uppfyllt. | ||
| + | |||
| + | <u>Slutsats:</u> Funktionen <math> y = {1 \over x} </math> är kontinuerlig för <math> x = 2\, </math>. | ||
| + | |||
| + | På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra <math> {\color{Red} x}\, </math>. Det kommer att visa sig att: | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | ::::::<big> Funktionen <math> y = {1 \over x} </math> är kontinuerlig för alla <math> x \neq 0\, </math>. </big> | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | Resultatet kan också ses i grafen: Endast i <math> x=0\, </math> skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot <math> + \infty\, </math>, den andra mot <math> - \infty\, </math>, annars är de sammanhängande. | ||
| + | |||
Versionen från 25 juli 2014 kl. 18.42
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Gränsvärde av en funktion
Exempel 1
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {3\,x + 6 \over x - 2}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} \]
Grafen ser ut så här:
a) Låt oss med hjälp av definitionen undersöka om den är kontinuerlig för \( {\color{Red} x = 0}\, \). Dvs vi ersätter i definitionen \( a \, \) med \( 0 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Enligt definitionen borde då:
- \[ {1 \over x} \to f(0) \] när \( x \to 0 \).
Men \( {1 \over x} \) kan inte gå mot \( f(0)\, \) därför att \( f(0)\, \) dvs \( {1 \over 0} \) inte är definierad. Därme är definitionens krav inte uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = {1 \over x} \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).
b) Låt oss nu undersöka om funktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} x = 2}\, \). Vi ersätter i definitionen \( a \, \) med \( 2 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Enligt definitionen borde då:
- \[ {1 \over x} \to {1 \over 2} \] när \( x \to 2 \).
Närmar man sig \( 2\, \) på \( x\, \)-axeln, från höger eller från vänster, närmar sig \( y\, \) värdet \( 1 \over 2 \) i båda fall, därör att \( f(2) = {1 \over 2} \). Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( x = 2\, \).
På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( {\color{Red} x}\, \). Det kommer att visa sig att:
- Funktionen \( y = {1 \over x} \) är kontinuerlig för alla \( x \neq 0\, \).
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \), annars är de sammanhängande.
