Skillnad mellan versioner av "1.2 Lösning 13"
Taifun (Diskussion | bidrag) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
:<math> (x-x_1) \cdot (x-x_2) = (x\,-\,[a_1 + a_2]) \cdot (x\,-\,[a_1 - a_2]) = (x - a_1 - a_2) \cdot (x - a_1 + a_2) = </math> | :<math> (x-x_1) \cdot (x-x_2) = (x\,-\,[a_1 + a_2]) \cdot (x\,-\,[a_1 - a_2]) = (x - a_1 - a_2) \cdot (x - a_1 + a_2) = </math> | ||
| − | :<math> | + | :<math> = ([x - a_1] - a_2) \cdot ([x - a_1] + a_2) = [x - a_1]^2 \, - \, a_2^2 = x^2 - 2a_1x + a_1^2 - a_2^2 = </math> |
Versionen från 2 september 2014 kl. 15.22
Påstående: Om \( P(x) = x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]
Bevis:
Nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) till \( P(x) \, \) är lösningar till ekvationen:
\[ x^2 + p\,x + q = 0 \]
För dem gäller p-q-formeln:
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} = a_1 \pm a_2 \]
där \( a_1\, \) och \( a_2\, \) är nya beteckningar:
\[ a_1 = -\frac{p}{2} \quad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \quad a_2 = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} \]
Vi sätter in \( x_1 = a_1 + a_2\, \) och \( x_2 = a_1 - a_2\, \) i högerledet av påståendet:
\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) = (x\,-\,[a_1 + a_2]) \cdot (x\,-\,[a_1 - a_2]) = (x - a_1 - a_2) \cdot (x - a_1 + a_2) = \]
\[ = ([x - a_1] - a_2) \cdot ([x - a_1] + a_2) = [x - a_1]^2 \, - \, a_2^2 = x^2 - 2a_1x + a_1^2 - a_2^2 = \]
