Skillnad mellan versioner av "2.3a Lösning 10a"

Versionen från 30 september 2014 kl. 12.41

Faktoriserar täljaren \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):

\[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & 0 \\ x^3 & = & 1 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ x & = & 1 \end{array}\]

Således: \[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } & \\ & = & (x-1) \; \cdot \; (\; a\,x^2 \; + \; b\,x \; + \; c\; ) & = \\ & = & a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ 1\cdot x^3 + 0\cdot x^2 + 0\cdot x - 1 & = & a\,x^3 + (b-a)\,x^2 + (c-b)\,x - c & \end{array}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

\[ \begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ b-a & = & 0 \\ c-b & = & 0 \\ c & = & 1 \end{array}\]

Genom insättning av \( a = 1\, \) i den 2:a ekvationen får vi:

\[ \begin{array}{rcl} b-1 & = & 0 \\ b & = & 1 \end{array}\]

Den 3:e ekvationen bekräftar resultaten.

Därmed blir faktoriseringen av \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):

\[ x^3\,-\,1 \, = \, (x-1) \cdot (x^2 \, + \, x \, + \, 1)\]

Faktoriserar nämnaren \( {\color{White} x} x^2\,+\,2\,x\,-\,3 {\color{White} x} \):

\[ x^2\,+\,2\,x\,-\,3 = 0 \]

Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -2 \\ x_1 \cdot x_2 & = -3 \end{align}\]

Man hittar lösningarna:

\[ \begin{align} x_1 & = 1 \\ x_2 & = -3 \end{align}\]

eftersom \( 1 + (-3) = -2 \) och \( 1 \cdot (-3) = -3 \).

Därmed blir faktoriseringen av \( {\color{White} x} x^2\,+\,2\,x\,-\,3 {\color{White} x} \):

\[ x^2\,+\,2\,x\,-\,3 \, = \, (x-1) \cdot (x+3) \]

Beräknar gränsvärdet:

\[ \lim_{x \to 1}\,{x^3-1 \over x^2+2x-3} = \lim_{x \to 1}\,{(x-1) \cdot (x^2 + x + 1) \over (x-1) \cdot (x+3)} = \lim_{x \to 1}\,{x^2 + x + 1 \over x+3} = {1 + 1 + 1 \over 1+3} = {3 \over 4} \]