Skillnad mellan versioner av "2.5 Fördjupning till Deriveringsregler"

Versionen från 12 oktober 2014 kl. 11.19

Lektion 26 Deriveringsregler I

Lektion 27 Deriveringsregler II

Härledning (bevis) av deriveringsreglerna

I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och (delvis) bevisa regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. De kallas deriveringsregler. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man använda reglerna i fortsättningen utan att behöva härleda dem.

I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en tabell som vi kommer att använda hela tiden.

Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i Matte 3c-kursens övningar.

I förra avsnitt hade vi ställt upp derivatans definition för en funktion \( y = f(x)\, \) i en viss punkt \( x = a\, \). Låter vi \( a\, \) variera, kan vi skriva derivatans definition så här:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]

Denna definition kommer att ligga till grund för alla våra bevis för deriveringsreglerna i detta avsnitt.

Derivatan av en konstant

Påstående:

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 \]

Att \( f(x+h) = c\, \) inser man när man preciserar den givna funktionen \( f(x) = c\, \) genom att betona för alla \( {\color{Red} x} \). Dvs funktionen \( \,f(x)\):s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för \( x\, \) i \( \,f(x)\). Detta även om man sätter in ett uttryck för \( x\, \), i det här fallet \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -5\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 \]

Derivatan av en linjär funktion

Påstående:

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k \]

Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man när man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 \]