Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Vad är rationellt?) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Vad är rationellt?) |
||
| Rad 8: | Rad 8: | ||
Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen <math> 4 x = 3 </math>, utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras. | Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen <math> 4 x = 3 </math>, utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras. | ||
| + | |||
| + | Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom inte alltid ett polynom. Det enklaste exemplet är uttrycket: | ||
| + | |||
| + | ::::::::::::::::<math> 1 \over x </math> | ||
| + | |||
| + | Detta uttryck kan å ena sidan uppfattas som kvoten (resultatet av division) mellan polynomet 1 och polynomet x. Å andra sidan är det enligt [[1.6 Potenslagarna|potenslagarna]] identiskt med <math> x^{-1} </math>. Identifierar man det som en term ser man att exponenten är negativ. Ett polynoms termer däremot måste ha exponenter till x som är positiva eller 0, se definitionen för term. Dvs uttrycket ovan är inget polynom, vilket är ett exempel på att kvoten av två polynom inte alltid är polynom. Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som kommer att behandlas i avsnitt [[1.4 Rationella uttryck|1.4 Rationella uttryck]]. <math> 1 \over x </math> är det enklast tänkbara rationella uttrycket. Övergången från polynom till rationella uttryck är jämförbar med övergången från heltal till rationella tal (bråk) där man genom division av två heltal inte heller alltid får ett heltal utan ett rationellt tal eller ett bråk som t.ex.: | ||
| + | |||
| + | ::::::::::::::::<math> 1 \over 3 </math> | ||
| + | |||
| + | Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till detta exempel utan går mycket längre och är ett av matematikens vackraste fenomen. | ||
| + | |||
| + | Intressant är också att funktionen <math> y = {1 \over x} </math> som också kallas för en <span style="color:red">rationell funktion</span>, har en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende: | ||
| + | |||
| + | [[Image: y=1_div_x_70.jpg]] | ||
| + | |||
| + | Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Man kan också säga att ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet (skärmen), medan i grafen ovan måste pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs den rationella funktionens graf är till skillnad från polynomfunktioner inte sammanhängande. Man säger att den är <span style="color:red">icke-kontinuerlig</span>. Närmare bestämt är den icke-kontinuerlig vid x = 0. Det är just där man måste lyfta pennan för att gå över till den andra grenen. Den matematiska anledningen till denna diskontionuitet är att funktionen <math> y = {1 \over x} </math> inte är definierad för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. Därför har funktionen inget värde för x = 0. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten. Diskontionuiteten för vissa x-värden är något typiskt för rationella funktioner och det är den som skiljer dem från polynomfunktioner. | ||
| + | |||
| + | Rationella uttryck samt funktioner kommer att behandlas i avsnitt 1.4. | ||
Versionen från 8 januari 2011 kl. 15.49
Vad är rationellt?
Ett rationellt tal är kvoten mellan två heltal, t.ex. är \( 3 \over 4 \) vilket visar att rationellt tal är en annan beteckning för tal i bråkform.
Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex. \( 6\,x \over x^2 - 1 \). Precis som hos bråk får nämnaren inte vara 0, vilket i vårt exempel innebär att x får varken vara 1 eller -1, för då blir det rationella uttryckets nämnare 0 och därmed dess värde odefinierat.
En rationell funktion är kvoten mellan två polynomfunktioner, t.ex. \( y = {6\,x \over x^2 - 1} \). Av samma skäl som ovan är denna funktion varken definierad för x = 1 eller x = -1.
Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen \( 4 x = 3 \), utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras.
Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom inte alltid ett polynom. Det enklaste exemplet är uttrycket:
- \[ 1 \over x \]
Detta uttryck kan å ena sidan uppfattas som kvoten (resultatet av division) mellan polynomet 1 och polynomet x. Å andra sidan är det enligt potenslagarna identiskt med \( x^{-1} \). Identifierar man det som en term ser man att exponenten är negativ. Ett polynoms termer däremot måste ha exponenter till x som är positiva eller 0, se definitionen för term. Dvs uttrycket ovan är inget polynom, vilket är ett exempel på att kvoten av två polynom inte alltid är polynom. Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som kommer att behandlas i avsnitt 1.4 Rationella uttryck. \( 1 \over x \) är det enklast tänkbara rationella uttrycket. Övergången från polynom till rationella uttryck är jämförbar med övergången från heltal till rationella tal (bråk) där man genom division av två heltal inte heller alltid får ett heltal utan ett rationellt tal eller ett bråk som t.ex.:
- \[ 1 \over 3 \]
Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till detta exempel utan går mycket längre och är ett av matematikens vackraste fenomen.
Intressant är också att funktionen \( y = {1 \over x} \) som också kallas för en rationell funktion, har en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Man kan också säga att ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet (skärmen), medan i grafen ovan måste pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs den rationella funktionens graf är till skillnad från polynomfunktioner inte sammanhängande. Man säger att den är icke-kontinuerlig. Närmare bestämt är den icke-kontinuerlig vid x = 0. Det är just där man måste lyfta pennan för att gå över till den andra grenen. Den matematiska anledningen till denna diskontionuitet är att funktionen \( y = {1 \over x} \) inte är definierad för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. Därför har funktionen inget värde för x = 0. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten. Diskontionuiteten för vissa x-värden är något typiskt för rationella funktioner och det är den som skiljer dem från polynomfunktioner.
Rationella uttryck samt funktioner kommer att behandlas i avsnitt 1.4.
