Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Vad är rationellt?) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Ett enkelt exempel) |
||
| Rad 17: | Rad 17: | ||
== Ett enkelt exempel == | == Ett enkelt exempel == | ||
| − | Det | + | Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är: |
::::::::::::::::<math> 1 \over x </math> | ::::::::::::::::<math> 1 \over x </math> | ||
Versionen från 8 januari 2011 kl. 18.10
Vad är rationellt?
Ett rationellt tal är kvoten (resultatet av division) mellan två heltal, t.ex. är \( 3 \over 4 \) dvs rationellt tal är en annan beteckning för tal i bråkform.
Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex. \( 6\,x \over x^2 - 1 \). Precis som hos bråk får nämnaren inte vara 0, vilket i vårt exempel innebär att x varken får vara 1 eller -1, för då blir det rationella uttryckets nämnare 0 och därmed dess värde odefinierat.
En rationell funktion är kvoten mellan två polynomfunktioner, t.ex. \( y = {6\,x \over x^2 - 1} \). Av samma skäl som ovan är denna funktion varken definierad för x = 1 eller x = -1.
Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen \( 4 x = 3 \), utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras. Division är just den operation vi inte kan genomföra med polynom. Dvs till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom, utan ett rationellt uttryck.
Övergången från polynom till rationella uttryck är jämförbar med övergången från heltal till rationella tal (bråk) där man genom division av två heltal inte heller alltid får ett heltal utan ett rationellt tal (bråk) som t.ex.:
- \[ 3 \over 4 \]
Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till detta exempel utan går mycket längre och är ett av matematikens vackraste fenomen.
Ett enkelt exempel
Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är:
- \[ 1 \over x \]
Uttrycket är rationellt därför att det är en kvot mellan polynomet 1 och polynomet x. Intressant är nu att den rationella funktionen
- \[ y = {1 \over x} \]
har en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Man kan också säga att ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet (skärmen), medan i grafen ovan måste pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs den rationella funktionens graf är till skillnad från polynomfunktioner inte sammanhängande. Man säger att den är icke-kontinuerlig. Närmare bestämt är den icke-kontinuerlig vid x = 0. Det är just där man måste lyfta pennan för att gå över till den andra grenen.
Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen \( y = {1/x} \) inte är definierad för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. Därför har funktionen inget värde för x = 0. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten. Diskontionuiteten för vissa x-värden är något typiskt för rationella funktioner och det är den som skiljer dem från polynomfunktioner.
