Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Ett enkelt exempel) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 29: | Rad 29: | ||
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är <span style="color:red">kontinuerlig</span>. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs den rationella funktionens graf är till skillnad från polynomfunktioner inte sammanhängande i x = 0. Man säger att den är <span style="color:red">icke-kontinuerlig</span> i x = 0. | Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är <span style="color:red">kontinuerlig</span>. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs den rationella funktionens graf är till skillnad från polynomfunktioner inte sammanhängande i x = 0. Man säger att den är <span style="color:red">icke-kontinuerlig</span> i x = 0. | ||
| − | Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen <math> y = 1/x </math> inte har något värde för x = 0. | + | Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen <math> y = 1/x </math> inte har något värde för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen <math> y = {1/x} </math> är <span style="color:red">inte definierad för x = 0</span>. Man måste undanta x = 0 från funktionens definitionsmängd. |
| − | + | Icke-definierbarheten och dämed diskontinuiteten för vissa x är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är kontinuerliga för alla x. | |
Versionen från 8 januari 2011 kl. 19.19
Vad är rationellt?
Ett rationellt tal är kvoten (resultatet av division) mellan två heltal. T.ex. är \( 3 \over 4 \) ett rationellt tal som därmed visar sig vara en annan beteckning för tal i bråkform.
Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex. \( 6\,x \over x^2 - 1 \). Precis som hos bråk får nämnaren \( x^2 - 1 \) inte vara 0, för division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. I vårt exempel innebär detta att x varken får vara 1 eller -1, för då blir uttryckets värde odefinierat pga att \( x^2 - 1 \) blir 0.
En rationell funktion är kvoten mellan två polynomfunktioner, t.ex. \( y = {6\,x \over x^2 - 1} \). Av samma skäl som ovan är denna funktion varken definierad för x = 1 eller för x = -1.
Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen \( 4 x = 3 \), utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras. Division är just den operation vi inte kan genomföra med polynom. Dvs till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom, utan ett rationellt uttryck.
Övergången från polynom till rationella uttryck är jämförbar med övergången från heltal till rationella tal (bråk) där man genom division av två heltal i regel inte heller får ett heltal utan ett rationellt tal som \( 3 \over 4 \).
Avsikten med detta avsnitt är inte att vi ska lära oss räkna med bråktal, för det har vi (förhoppningsvis!) redan gjort i Matte A-kursen. Utan avsikten är att vi får se att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan. Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till exemplet ovan utan går mycket längre och är ett av matematikens vackraste fenomen.
Ett enkelt exempel
Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är:
- \[ 1 \over x \]
Uttrycket är rationellt därför att det är en kvot mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Intressant är nu att den rationella funktionen
- \[ y = {1 \over x} \]
har en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är kontinuerlig. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs den rationella funktionens graf är till skillnad från polynomfunktioner inte sammanhängande i x = 0. Man säger att den är icke-kontinuerlig i x = 0.
Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen \( y = 1/x \) inte har något värde för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen \( y = {1/x} \) är inte definierad för x = 0. Man måste undanta x = 0 från funktionens definitionsmängd.
Icke-definierbarheten och dämed diskontinuiteten för vissa x är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är kontinuerliga för alla x.
