Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 7d"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
* nollstället <math> \, x_1 = -4 \, </math>: | * nollstället <math> \, x_1 = -4 \, </math>: | ||
| − | ::<math> f\,'\,(-4,1) \,=\, (-4,1)^3 - 16\cdot (-4,1) \,=\, 3, | + | ::<math> f\,'\,(-4,1) \,=\, (-4,1)^3 - 16\cdot (-4,1) \,=\, -3,321 \,<\, 0 </math> |
| − | ::<math> f\,'\,(-3,9) \,=\, (-3,9)^3 - 16\cdot (-3,9) \,=\, | + | ::<math> f\,'\,(-3,9) \,=\, (-3,9)^3 - 16\cdot (-3,9) \,=\, 3,001 \,>\, 0 </math> |
* nollstället <math> \, x_2 = 0 \, </math>: | * nollstället <math> \, x_2 = 0 \, </math>: | ||
Versionen från 4 december 2014 kl. 17.41
Från c) vet vi att derivatan \( \, f\,'(x) \,=\, x^3 - 16\,x \, \) har tre nollställen. Vi sorterar (ordnar) dem på \(\,x\)-axeln genom att numrera om dem: \( \, x_1 = -4 \, \), \( \, x_2 = 0 \, \) och \( \, x_3 = 4 \, \).
Teckenstudium kring
- nollstället \( \, x_1 = -4 \, \):
- \[ f\,'\,(-4,1) \,=\, (-4,1)^3 - 16\cdot (-4,1) \,=\, -3,321 \,<\, 0 \]
- \[ f\,'\,(-3,9) \,=\, (-3,9)^3 - 16\cdot (-3,9) \,=\, 3,001 \,>\, 0 \]
- nollstället \( \, x_2 = 0 \, \):
- \[ f\,'\,(-0,1) \,=\, (-0,1)^3 - 16\cdot (-0,1) \,=\, 1,599 \,>\, 0 \]
- \[ f\,'\,(0,1) \,=\, 0,1^3 - 16\cdot 0,1 \,=\, -1,599 \,<\, 0 \]
- nollstället \( \, x_3 = 4 \, \):
- \[ f\,'\,(3,9) \,=\, 3,9^3 - 16\cdot 3,9 \,=\, -3,081 \,<\, 0 \]
- \[ f\,'\,(4,1) \,=\, 4,1^3 - 16\cdot 4,1 \,=\, 3,321 \,>\, 0 \]
Vi inför resultaten i en teckentabell:
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( f(x) \) | ↘ | ↗ | ↘ |
Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt reglerna om växande och avtagande dra slutsatserna:
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x < 1 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( {\color{White} x} 1 < x < 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) växande.
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
