Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 8"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
:<math> f\,''(x) = 2\,x - 8 </math> | :<math> f\,''(x) = 2\,x - 8 </math> | ||
| − | Derivatans nollställen: | + | Derivatans nollställen = extrempunkter: |
:<math>\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ | :<math>\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ | ||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | Andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span> | + | Andraderivatans tecken och max/min<span style="color:black">:</span> |
<math> f\,''(2) = 2 \cdot 2 - 8 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = 2 {\color{White} x} </math> är en maximipunkt. | <math> f\,''(2) = 2 \cdot 2 - 8 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = 2 {\color{White} x} </math> är en maximipunkt. | ||
<math> f\,''(6) = 2 \cdot 6 - 8 = {\color{White} -}4 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_2 = 6 {\color{White} x} </math> är en minimipunkt. | <math> f\,''(6) = 2 \cdot 6 - 8 = {\color{White} -}4 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_2 = 6 {\color{White} x} </math> är en minimipunkt. | ||
| + | |||
Extremvärden<span style="color:black">:</span> | Extremvärden<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 33: | Rad 34: | ||
:<math> f(6) = {1 \over 3} \cdot 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 12 \cdot 6 - {25 \over 3} \, = \, -{25 \over 3} </math> | :<math> f(6) = {1 \over 3} \cdot 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 12 \cdot 6 - {25 \over 3} \, = \, -{25 \over 3} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Koordinaterna<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | :<math> f(x) {\color{White} x} </math> har ett maximum i punkten <math> {\color{White} x} (2,\, {7 \over 3} \, </math>. | ||
| + | |||
| + | :<math> f(x) {\color{White} x} </math> har ett minimum i punkten <math> {\color{White} x} (6,\, -{25 \over 3} \, </math>. | ||
Versionen från 20 december 2014 kl. 12.31
För att kunna derivera \( {\color{White} x} f(x) {\color{White} x} \) utvecklar vi funktionsuttrycket till ett polynom som en summa av termer:
\[ f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} = {1 \over 3}\,(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) = \]
\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x \,- \, (x^2 - 11\,x + 25)) = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x - x^2 + 11\,x - 25) = \]
\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 12\,x^2 + 36\,x - 25) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]
Nu deriverar vi två gånger:
\[ f(x) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]
\[ f\,'(x) = x^2 - 8\,x + 12 \]
\[ f\,''(x) = 2\,x - 8 \]
Derivatans nollställen = extrempunkter:
\[\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ {\rm Vieta:} & & x_1 & = & 2 \\ & & x_2 & = & 6 \end{array}\]
Andraderivatans tecken och max/min:
\( f\,''(2) = 2 \cdot 2 - 8 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = 2 {\color{White} x} \) är en maximipunkt.
\( f\,''(6) = 2 \cdot 6 - 8 = {\color{White} -}4 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_2 = 6 {\color{White} x} \) är en minimipunkt.
Extremvärden:
\[ f(2) = {1 \over 3} \cdot 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - {25 \over 3} \, = \, {7 \over 3} \]
\[ f(6) = {1 \over 3} \cdot 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 12 \cdot 6 - {25 \over 3} \, = \, -{25 \over 3} \]
Koordinaterna:
\[ f(x) {\color{White} x} \] har ett maximum i punkten \( {\color{White} x} (2,\, {7 \over 3} \, \).
\[ f(x) {\color{White} x} \] har ett minimum i punkten \( {\color{White} x} (6,\, -{25 \over 3} \, \).
