Skillnad mellan versioner av "3.3 Lösning 5a"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 29: | Rad 29: | ||
::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 </math> | ::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 </math> | ||
| + | Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkter med högre derivator</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0), \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har en terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | +++ | ||
Versionen från 10 januari 2015 kl. 13.21
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x \\ f'''(x) & = & 72\,x + 24 \end{array}\]
Derivatans nollställen:
\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 & = & 0 \\ & & 12\,x^2\,(x + 1) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & x_2 & = & -1 \end{array}\]
Derivatan har två nollställen, ett i \( x_1 = 0 \) och ett i \( x_2 = -1 \).
Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 0 \)
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(x) \, = \, 36\,x^2 + 24\,x \]
- \[ f''(0) \, = \, 36\cdot 0^2 + 24\cdot 0 = 0 \]
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i tredjederivatan:
- \[ f'''(x) \, = \, 72\,x + 24 \]
- \[ f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \]
Enligt regeln om terasspunkter med högre derivator:
\( \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0), \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \).
+++
- Nollställe 2: \( {\color{White} x} t_2 = 4 \quad {\color{White} x} \)
- Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
- \[ V''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]
- Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).
