Skillnad mellan versioner av "3.3 Lösning 5a"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 25: | Rad 25: | ||
::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 </math> | ::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 </math> | ||
| − | Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkter med högre derivator</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | + | :Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkter med högre derivator</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har i <math> \, x = 0 \, </math> en terasspunkt. | + | ::<math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har i <math> \, x = 0 \, </math> en terasspunkt. |
<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = -1 </math> | <b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = -1 </math> | ||
| Rad 35: | Rad 35: | ||
::<math> f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 </math> | ::<math> f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 </math> | ||
| − | Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | + | :Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har i <math> \, x = -1 \, </math> en minimipunkt. | + | ::<math> \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har i <math> \, x = -1 \, </math> en minimipunkt. |
Versionen från 10 januari 2015 kl. 13.37
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x \\ f'''(x) & = & 72\,x + 24 \end{array}\]
Derivatans nollställen:
\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 & = & 0 \\ & & 12\,x^2\,(x + 1) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & x_2 & = & -1 \end{array}\]
Derivatan har två nollställen, ett i \( x_1 = 0 \) och ett i \( x_2 = -1 \).
Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 0 \)
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(0) \, = \, 36\cdot 0^2 + 24\cdot 0 = 0 \]
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i tredjederivatan:
- \[ f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 \]
- \[ \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \] har i \( \, x = 0 \, \) en terasspunkt.
Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = -1 \)
- Vi sätter in \( x_2 = -1 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 \]
- \[ \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \] har i \( \, x = -1 \, \) en minimipunkt.
