Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Internetlänkar) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[2. | + | {{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|<-- Förra demoavsnitt]]}} |
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}} | {{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[2 | + | {{Not selected tab|[[Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 -->]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| Rad 14: | Rad 14: | ||
[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]] | [[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]] | ||
| − | __TOC__ | + | __TOC__ <!-- __NOTOC__ --> |
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv1 --> | ||
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]]. | Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]]. | ||
| + | </div> <!-- tolv1 --> | ||
| − | == Derivatan av en konstant == | + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en konstant</span></b> == |
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 25: | Rad 27: | ||
<b>Derivatan av en konstant är 0.</b> | <b>Derivatan av en konstant är 0.</b> | ||
| − | Om <math> | + | Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math> |
| − | då <math> | + | då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>. |
</big></div> | </big></div> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel1 --> | ||
'''Exempel:''' | '''Exempel:''' | ||
| − | För funktionen <math> | + | För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \: -5 \; </math> blir derivatan: |
| − | :::::<math> | + | :::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \: 0 </math> |
'''Bevis:''' Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]]. | '''Bevis:''' Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]]. | ||
| + | </div> <!-- exempel1 --> | ||
| − | == Derivatan av en linjär funktion == | + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en linjär funktion</span></b> == |
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 46: | Rad 50: | ||
<b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b> | <b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b> | ||
| − | Om <math> f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math> | + | Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math> |
| − | då <math> f\,'(x) \; = \; k </math> | + | då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel2 --> | ||
'''Exempel:''' | '''Exempel:''' | ||
| − | För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan: | + | För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; </math> blir derivatan: |
| − | :::::<math> f\,'(x) = -8 </math> | + | :::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; -8 </math> |
'''Bevis:''' Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]]. | '''Bevis:''' Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]]. | ||
| + | </div> <!-- exempel2 --> | ||
| − | == Derivatan av en kvadratisk funktion == | + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b> == |
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 67: | Rad 73: | ||
<b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b> | <b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b> | ||
| − | Om <math> f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math> | + | Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math> |
| − | då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math> | + | då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| − | + | <div class="exempel"> <!-- exempel3 --> | |
| + | '''Exempel 1:''' | ||
| − | :För funktionen <math> f(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 </math> blir derivatan: | + | :För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 </math> blir derivatan: |
| − | ::::::<math> f\,'(x) = 10\,x - 3 </math> | + | ::::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 </math> |
| − | + | '''Exempel 2:''' | |
| − | :För funktionen <math> f(x) = -25\,x^2 + 16\,x - 90</math> blir derivatan: | + | :För funktionen <math> f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90</math> blir derivatan: |
| − | ::::::<math> f\,'(x) \ | + | ::::::<math> f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 </math> |
'''Bevis:''' Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]]. | '''Bevis:''' Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]]. | ||
| + | </div> <!-- exempel3 --> | ||
| − | == Derivatan av en potensfunktion == | + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potensfunktion</span></b> == |
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 94: | Rad 102: | ||
<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b> | <b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b> | ||
| − | + | :::::Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math> | |
| − | + | :::::då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math> | |
</big></div> | </big></div> | ||
| − | |||
| − | <strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan | + | <div class="tolv"> <!-- tolv2 --> |
| + | <strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. | ||
| + | Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <strong><span style="color:red">faktor</span></strong> framför potensen, se regeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]]. | ||
| + | </div> <!-- tolv2 --> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel4 --> | ||
'''Exempel:''' | '''Exempel:''' | ||
| Rad 109: | Rad 122: | ||
:::::<math> f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math> | :::::<math> f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel4 --> | ||
| − | |||
| + | '''Viktigt specialfall:''' <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math> | ||
| − | <div class="border- | + | <div class="border-divblue"><big> |
<b>Derivatan av en potens:</b> | <b>Derivatan av en potens:</b> | ||
| − | Om <math> f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math> | + | Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math> |
| − | då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math> | + | då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| − | + | <div class="tolv"> <!-- tolv3 --> | |
| + | Denna regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel. | ||
| + | |||
| + | Dessutom gäller regeln för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten. | ||
| + | </div> <!-- tolv3 --> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel5 --> | ||
| + | '''Exempel 1''' <math> n \,=\, </math> positivt heltal: | ||
:För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan: | :För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan: | ||
| Rad 129: | Rad 151: | ||
::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math> | ::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math> | ||
| − | + | '''Exempel 2''' <math> n \,=\, </math> negativt heltal: | |
:Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens. | :Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens. | ||
| Rad 141: | Rad 163: | ||
:::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math> | :::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math> | ||
| − | + | '''Exempel 3''' <math> n \,=\, </math> bråktal: | |
:Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens. | :Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens. | ||
| Rad 152: | Rad 174: | ||
:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math> | :::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel5 --> | ||
| − | |||
| − | + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> == | |
| − | == Derivatan av en summa av funktioner == | + | |
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 162: | Rad 183: | ||
<b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b> | <b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b> | ||
| − | :::Om <math> y = f(x) + g(x)\, </math> | + | :::Om <math> \;\; y = f(x) + g(x)\, </math> |
| − | :::då <math> y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) </math> | + | :::då <math> \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel6 --> | ||
'''Exempel 1''': | '''Exempel 1''': | ||
| Rad 190: | Rad 212: | ||
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]]. | Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]]. | ||
| + | </div> <!-- exempel6 --> | ||
| − | == Derivatan av en funktion med en konstant faktor == | + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> == |
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 205: | Rad 228: | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel7 --> | ||
'''Exempel''': | '''Exempel''': | ||
| Rad 214: | Rad 238: | ||
::Derivatan av <math> f(x) = \sqrt{x} </math> är <math> f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>. | ::Derivatan av <math> f(x) = \sqrt{x} </math> är <math> f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>. | ||
| + | </div> <!-- exempel7 --> | ||
| − | == | + | == <b><span style="color:#931136">Vad är en konstant faktor och vad är en additiv konstant och hur deriveras de?</span></b> == |
| − | + | <div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | |
I funktionen <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> är <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket. | I funktionen <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> är <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket. | ||
| Rad 229: | Rad 254: | ||
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras: | Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras: | ||
| + | </div> <!-- tolv5 --> | ||
| + | |||
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 234: | Rad 261: | ||
<b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b> | <b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b> | ||
| − | Om <math> | + | Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math> |
| − | då <math> | + | då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>. |
</big></div> | </big></div> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel8 --> | ||
'''Exempel:''' | '''Exempel:''' | ||
| − | För funktionen <math> | + | För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan: |
| − | :::::<math> | + | :::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math> |
Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen: | Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen: | ||
:::Derivatan av <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> är <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> | :::Derivatan av <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> är <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel8 --> | ||
| − | == Produkt och kvot av funktioner == | + | == <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> == |
| − | + | <div class="tolv"> <!-- tolv7 --> | |
Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis. | Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis. | ||
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner: | Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner: | ||
| − | |||
| − | |||
| + | |||
| + | '''1)''' En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis. | ||
| + | </div> <!-- tolv7 --> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel9 --> | ||
:'''Exempel:''' | :'''Exempel:''' | ||
| Rad 270: | Rad 301: | ||
:::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math> | :::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel9 --> | ||
| − | |||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv8 --> | ||
| + | '''2)''' Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig. | ||
| + | </div> <!-- tolv8 --> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel10 --> | ||
:'''Exempel:''' | :'''Exempel:''' | ||
| Rad 282: | Rad 317: | ||
:::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> | :::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel10 --> | ||
| + | |||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv6 --> | ||
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan. | Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan. | ||
| + | </div> <!-- tolv6 --> | ||
| − | == Tabell över deriveringsregler == | + | == <b><span style="color:#931136">Tabell över deriveringsregler</span></b> == |
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv7 --> | ||
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler: | Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler: | ||
| Rad 322: | Rad 362: | ||
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]]. | Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]]. | ||
| − | + | </div> <!-- tolv7 --> | |
| − | + | ||
Versionen från 3 juli 2015 kl. 14.34
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Diagnosprov kap 2 --> |
Lektion 19 Deriveringsregler I
Lektion 20 Deriveringsregler II
Innehåll
- 1 Derivatan av en konstant
- 2 Derivatan av en linjär funktion
- 3 Derivatan av en kvadratisk funktion
- 4 Derivatan av en potensfunktion
- 5 Derivatan av en summa av funktioner
- 6 Derivatan av en funktion med en konstant faktor
- 7 Vad är en konstant faktor och vad är en additiv konstant och hur deriveras de?
- 8 Produkt och kvot av funktioner
- 9 Tabell över deriveringsregler
- 10 Internetlänkar
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken Fördjupning.
Derivatan av en konstant
Regel:
Derivatan av en konstant är 0.
Om \( \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \: 0 \).
Exempel:
För funktionen \( \;\, f(x) \; = \: -5 \; \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \: 0 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en linjär funktion
Regel:
Derivatan av en linjär funktion är konstant.
Om \( \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; k \)
Exempel:
För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \; -8 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en kvadratisk funktion
Regel:
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.
Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)
Exempel 1:
- För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 \]
Exempel 2:
- För funktionen \( f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90\) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en potensfunktion
Regel:
Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.
- Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
- då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan.
Regeln om att derivatan av en konstant är \( 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte är en additiv term här utan bunden till produkten \( a \cdot x\,^n \) som en faktor framför potensen, se regeln för derivatan av en funktion med en konstant faktor.
Exempel:
För funktionen \( f(x) = 12\,x^4\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]
Viktigt specialfall: \( a \,=\, \)\( 1\, \)
Derivatan av en potens:
Om \( \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)
Denna regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.
Dessutom gäller regeln för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
Exempel 1 \( n \,=\, \) positivt heltal:
- För funktionen \( f(x) = x^5\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]
Exempel 2 \( n \,=\, \) negativt heltal:
- Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
- Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens:
- \[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]
- Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln för derivatan av en potens och får:
- \[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]
Exempel 3 \( n \,=\, \) bråktal:
- Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
- Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:
- \[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]
- Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln för derivatan av en potens och får:
- \[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
Derivatan av en summa av funktioner
Regel:
En summa av funktioner kan deriveras termvis:
- Om \( \;\; y = f(x) + g(x)\, \)
- då \( \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)
Exempel 1:
För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \) blir derivatan:
- \[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]
Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
- Derivatan av \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \) och
- Derivatan av \( f(x) = \sqrt{x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).
Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
Exempel 2:
För polynomfunktionen \( f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \]
Se även Derivatan av ett polynom.
Derivatan av en funktion med en konstant faktor
Regel:
En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:
- Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
- då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)
Exempel:
För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \) blir derivatan:
- \[ y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]
Även här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 3, nämligen:
- Derivatan av \( f(x) = \sqrt{x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).
Vad är en konstant faktor och vad är en additiv konstant och hur deriveras de?
I funktionen \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \) är \( \, 6 \) en konstant faktor i funktionsuttrycket.
Derivatan blir \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \) enligt regeln om derivatan av en funktion med en konstant faktor.
I funktionen \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \) är \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.
Derivatan blir \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \) enligt regeln om derivatan av en konstant.
Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av \( a\cdot f(x) \) blir \( 0\cdot f\,'(x) \) och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
Regel:
Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).
Om \( \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).
Exempel:
För funktionen \( \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} \) blir derivatan:
- \[ \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]
Här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 2, nämligen:
- Derivatan av \( y = \displaystyle {1 \over x} \) är \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)
Produkt och kvot av funktioner
Regeln om Derivatan av en summa av funktioner säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
1) En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.
- Exempel:
- \[ y = x \cdot \sqrt x \]
- \[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
- Rätt:
- \[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
- \[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]
2) Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
- Exempel:
- \[ y \,=\, \displaystyle {1 \over x} \]
- \[ y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 \]
- Rätt:
- \[ y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} \]
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
Tabell över deriveringsregler
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:
\( y\, \) \( y\,' \) \( c\, \) \( 0\, \) \( x\, \) \( 1\, \) \( a\; x \) \( a\, \) \( k\; x \, + \, m \) \( k\, \) \( x^2\, \) \( 2\,x \) \( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \) \( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \) \( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \) \( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \) \( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) \( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \) \( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY
https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk
http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
