Skillnad mellan versioner av "1.5 Potenslagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | |
| + | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| + | {{Selected tab|[[1.5 Potenslagarna|Teori]]}} | ||
| + | {{Not selected tab|[[1.5 Övningar till 1.5 Potenslagarna|Övningar]]}} | ||
| + | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Definition av potens == | ||
Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal kan <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av a: | Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal kan <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av a: | ||
| Rad 10: | Rad 18: | ||
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math> | ::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math> | ||
| + | |||
| + | Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>. | ||
| + | |||
| + | == Potenslagarna == | ||
Följande lagar gäller för potenser: | Följande lagar gäller för potenser: | ||
| Rad 16: | Rad 28: | ||
Potenslagarna ovan gäller även för exponenter <math> x\, </math> som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensen <math> a^x\, </math> endast för positiva heltal <math> x\, </math>. | Potenslagarna ovan gäller även för exponenter <math> x\, </math> som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensen <math> a^x\, </math> endast för positiva heltal <math> x\, </math>. | ||
| + | |||
| + | == Bevis av några potenslagar == | ||
| + | |||
| + | '''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''': | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math> | ||
| + | |||
| + | '''Bevis''': | ||
| + | |||
| + | Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math> | ||
'''Påstående (Nollte potens)''': | '''Påstående (Nollte potens)''': | ||
| Rad 36: | Rad 60: | ||
:::::<math> a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} </math> | :::::<math> a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} </math> | ||
| + | |||
| + | == Exempel på potenslagars använding == | ||
Versionen från 6 mars 2011 kl. 15.41
| Teori | Övningar |
Innehåll
Definition av potens
Om \( x\, \) är ett positivt heltal kan \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av a:
- \[ a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} \]
Dvs a multiplicerat med sig själv x gånger. T.ex.:
- \[ a^2 = a \cdot a \]
- \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
Ett uttryck av formen \( a^x\, \) kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser:
Potenslagarna ovan gäller även för exponenter \( x\, \) som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensen \( a^x\, \) endast för positiva heltal \( x\, \).
Bevis av några potenslagar
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Negativ exponent):
- \[ a^{-x} \; = \; {1 \over a^x} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas samt lagen om nollte potensen:
- \[ a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} \]
