|
|
| Rad 47: |
Rad 47: |
| | | | |
| | == <b><span style="color:#931136">5.2 Exakta trigonometriska värden / Enhetscirkeln</span></b> == | | == <b><span style="color:#931136">5.2 Exakta trigonometriska värden / Enhetscirkeln</span></b> == |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <!-- <div class="border-divblue">
| |
| − | Integration är den <b><span style="color:red">inversa</span></b> operationen till derivering. <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Primitiv funktion = "Anti"derivata</span></b>
| |
| − |
| |
| − | ::{|class="wikitable"
| |
| − | ! !! Derivata !! Integral
| |
| − | |-
| |
| − | |align="left"| Fysikalisk tolkning: ||align="center"| Hastighet ||align="center"| Sträcka
| |
| − | |-
| |
| − | |align="left"| Geometrisk tolkning: ||align="center"| Kurvans lutning ||align="center"| Area under kurvan
| |
| − | |-
| |
| − | |align="left"| Matematisk tolkning: ||align="center"| Limes av differenskvot ||align="center"| Limes av oändlig summa
| |
| − | |}
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <big><b><span style="color:#931136">Ex. på </span></b> <span style="color:black">"Area under kurvan" :</span> <math> \quad </math> <b><span style="color:#931136">Rörelse med konstant hastighet 60 km/h </span></b></big>
| |
| − |
| |
| − | :::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]
| |
| − |
| |
| − | <big><b><span style="color:#931136">OBS! </span></b> <span style="color:black">Area under kurvan</span> är det <b><span style="color:red">inversa</span></b> till kurvans lutning (eng. slope), när det gäller integration vs. derivering. </big>
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div class="border-divblue">
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Sammanfattning:</span></b>
| |
| − | ----
| |
| − | <u>Givet:</u> <math> \quad f\,(x) </math>
| |
| − |
| |
| − | <u>Sökt:</u> <math> \quad </math> Primitiv funktion <math> \; F\,(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'\,(x) = f\,(x) </math>
| |
| − | </div></td>
| |
| − | <td><div class="border-divblue">
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Ex.:</span></b>
| |
| − | ----
| |
| − | <math> f\,(x) \; = \; x\,^3 + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> F(x) = \frac{1}{4} x\,^4 + 5 x + C \, , \; C={\rm const.} </math>
| |
| − | </div></td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − | <math> \;\qquad\; C \; </math> <big>kallas för <b><span style="color:red">integrationskonstanten</span></b> och bestäms av villkor (krav) som ställs på <math> \, F(x) \, </math>. <big><big><math> \quad {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} \quad </math></big></big></big>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">4.2 Primitiva funktioner med villkor</span></b> ==
| |
| | <br> | | <br> |
| − | <big><b><span style="color:#931136">Genomgång<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad </math> Övningar: Boken, sid 177 </span></b></big> | + | <big><b><span style="color:#931136">Genomgång<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad </math> Övningar: Boken, sid 209 / 210 </span></b></big> |
| − | | + | |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]] </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]] </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">4.3 Integral som area under kurvan</span></b> ==
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <big><b><span style="color:#931136">Genomgång<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad </math> Övningar: Boken, sid 180 </span></b></big>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]] </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]] </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Parentes: Integral som Limes av oändlig summa</span></b> ==
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 4 Int_Limes_Summa_30a.jpg]] </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">4.4 Integralberäkning med primitiv funktion</span></b> ==
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <big><b><span style="color:#931136">Genomgång<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad </math> Övningar: Boken, sid 185 </span></b></big>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 4 Int_ber_prim_fkt_D174_3434_20.jpg]] </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == <b><span style="color:#931136">4.5 Användning av integraler</span></b> ==
| + | |
| − | <table>
| + | |
| − | <tr>
| + | |
| − | <td><math> \quad </math></td>
| + | |
| − | <td><big><b><span style="color:#931136">Genomgång<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad </math> Övningar: Boken, sid 188-90 </span></b></big>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <b>3438 (3c-boken, sid 190):</b>
| + | |
| − | | + | |
| − | En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen.
| + | |
| − | | + | |
| − | Hastigheten <math> \, v \, </math> ökar enligt <math> \, v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math> där <math> \, t = \, </math> tiden i sek.
| + | |
| − | | + | |
| − | Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
| + | |
| − | | + | |
| − | <b>Tillägg:</b> <math> \quad </math> Vilken maximal hastighet kan hopparen inte överskrida?
| + | |
| | | | |
| − | Vilken slutsats kan man dra därav om vilken typ av fritt fall det handlar om?
| |
| − | </td>
| |
| − | <td> <math> \qquad </math> </td>
| |
| − | <td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]</td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_30.jpg]] </div>
| |
| | | | |
| | | | |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad_30.jpg]] </div>
| |
| − | -->
| |
| | </big> | | </big> |
| | | | |
