Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 171: | Rad 171: | ||
Varför är det <b><span style="color:red">fel</span></b> att göra så här? | Varför är det <b><span style="color:red">fel</span></b> att göra så här? | ||
| − | Det är fel att förkorta uttrycket | + | Det är fel att förkorta uttrycket <math> \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; </math> med <math> \; {\color{Red} {6\,x}} \; </math> därför att <math> \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; </math> är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas. |
<strong><span style="color:red">Förklaring</span></strong>: | <strong><span style="color:red">Förklaring</span></strong>: | ||
Versionen från 10 september 2016 kl. 12.47
| Repetition: Bråkräkning | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \) |
\( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt
Lektion 7 Rationella uttryck: Fördjupning
Exempel på rationella uttryck
- \[ {1 \over x} \qquad\qquad {5 \over 2\,x} \qquad\qquad {7\,x \over x+2} \qquad\quad {6\,x \over x^2 - 1} \quad \]
Ett rationellt uttryck är kvoten (resultatet av division) mellan två polynom.
I rationella uttryck får nämnaren inte bli \( \, 0\, \), t.ex. får i:
- \[ 6\,x \over x^2 - 1 \]
nämnaren \( x^2 - 1\, \) inte bli \( \, 0 \), för division med \( \, 0 \) är inte definierad. Läs i fliken Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?
Detta innebär att \( \, x\, \) varken får vara \( \, 1\, \) eller \( \, -1\, \), för då blir polynomet \( \, x^2 - 1\, \):s värde \( \, 0 \). Och eftersom \( \, x^2 - 1\, \) står i nämnaren, blir hela uttryckets värde för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \, \) inte definierat. Man säger:
Det rationella uttrycket \( \, \displaystyle \frac{6\,x}{x^2 - 1} \, \) är definierat för alla \( x\, \) utom för \( \, x = 1 \, \) och \( \, x = -1 \).
Eller: Uttryckets definitionsmängd är: \( \quad {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \)
Ett uttrycks definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka uttrycket är definierat, jfr. med en funktions definitionsmängd.
Analogi mellan heltal och polynom
Ett heltal är ett tal ur mängden \( \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} \) dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.
Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex.:
- \[ 3 \over 4 \]
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( 0\, \), t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{0} \, \) är inte definierad.
Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal (bråk) och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, speciellt när vi börjar räkna med rationella uttryck. Denna analogi innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.
I själva verket är räknereglerna för rationella uttryck generaliseringar av bråkräkningens regler. Samma principer som gäller för bråkräkning, kan användas för räkning med rationella uttryck. Därför: Repetera bråkräkning från Matte 1 .
Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck:
Addition & subtraktion av rationella uttryck
Exempel 1
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5}{2\,x} \, - \, \frac{4}{3\,x} \; \) så långt som möjligt.
- \[ \;\, {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} \]
Exempel 2
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{7}{12\,x} \, - \, \frac{3}{8\,x^2} \, + \, \frac{7}{24\,x^3} \; \) så långt som möjligt.
- \[ \;\, {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]
Hjälpsats
- \[ a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) \]
Bevis: \( \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; a\,+\,(-\,b) \; = \; (-\,b)\,+\,a \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)
Dvs: Kastar man om ordningen i en subtraktion, måste minus sättas framför det hela.
Exempel 3
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{2}{a-b} \, - \, \frac{1}{b-a} \; \) så långt som möjligt.
- \[ \;\, {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]
Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln
- \[\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\]
OBS! Användningen av reglerna ovan baklänges innebär faktorisering. I följande exemplen används dessa regler flitigt.
Exempel 4
Förenkla uttrycket \( \; {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; \) så långt som möjligt.
Redan i första steget används konjugatregeln baklänges för att faktorisera den första termens nämnare:
\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]
\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]
\[ = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \]
\[ = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]
Multiplikation & division av rationella uttryck
Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
Exempel 1
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{15}{x^2} \cdot \frac{x}{3} \)
- \[ \;\, {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]
Exempel 2
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{5\,x^2}{12} \cdot \frac{3}{20\,x} \)
- \[ \;\, {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]
Exempel 3
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \frac{x}{x+3} \cdot \frac{6\,x+18}{6\,x} \; \) så långt som möjligt.
- \[ \;\, {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 \]
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} \]
Varför är det fel att göra så här?
Det är fel att förkorta uttrycket \( \; \displaystyle{{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, \; \) med \( \; {\color{Red} {6\,x}} \; \) därför att \( \; {\color{Red} {6\,x}}+18 \; \) är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.
Förklaring:
Låt oss anta \( x = 1\, \). Felaktig förkortning ger \( {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \) medan rätt svar är \( {6+18 \over 6} = {24 \over 6} \) \( = 4 \neq 18 \).
Därav följer nödvändigheten att bryta ut \( {\color{Red} 6} \) i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta:
- \[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]
Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta.
Exempel 4
I första steget har den 2:a kvadreringsregeln använts baklänges för att faktorisera 2:a gradspolynomet: \( \; x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \, \) för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).
Exempel 5
Förenkla uttrycket \( \; \displaystyle \left(\frac{x^2 - 8\,x + 16}{y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, \; \) så långt som möjligt.
\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]
\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;baklänges\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]
\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]
Internetlänkar
http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx
http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel
http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related </big>
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
