Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 4b"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 49: | Rad 49: | ||
Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt [[3.1_Växande_och_avtagande#Regler_om_v.C3.A4xande_och_avtagande|<strong><span style="color:blue">reglerna om växande och avtagande</span></strong>]] dra slutsatserna: | Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt [[3.1_Växande_och_avtagande#Regler_om_v.C3.A4xande_och_avtagande|<strong><span style="color:blue">reglerna om växande och avtagande</span></strong>]] dra slutsatserna: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
För alla <math> \qquad\quad\;\, x \, < \,1 \, </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. | För alla <math> \qquad\quad\;\, x \, < \,1 \, </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. | ||
Nuvarande version från 15 december 2016 kl. 16.41
Från a) vet vi att derivatan
\[ f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 \]
har två nollställen \( \, x_1 = 1 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \).
Teckenstudie kring
- nollstället \( \, x_1 = 1 \, \):
- \[ f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
- \[ f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
- nollstället \( \, x_2 = 5 \, \):
- \[ f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
- \[ f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
Vi inför resultaten i en teckentabell:
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( f(x) \) | ↘ | ↗ | ↘ |
Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt reglerna om växande och avtagande dra slutsatserna:
För alla \( \qquad\quad\;\, x \, < \,1 \, \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( \; 1 < x \,< \, 5 \, \) är \(\, f(x) \) växande.
För alla \( \qquad\quad\; x \, > \, 5 \; \) är \(\, f(x) \) avtagande.
