Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 2b"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 27: | Rad 27: | ||
:<math> f''(x) \, = \, - 2\,x </math> | :<math> f''(x) \, = \, - 2\,x </math> | ||
| − | :<math> f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, - | + | :<math> f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math></td> |
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
Versionen från 20 januari 2017 kl. 14.32
Lokala extrema:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ f''(x) & = & - 2\,x \end{array}\]
Sätter derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar derivatans nollställen:
- \[ \qquad\;\; \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\ x^2 & = & 1 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & -1 \end{array}\]
Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan:
| \( \qquad\quad \underline{x_1 = 1} \, \):
|
\( \quad \) |
\[ f''(x) \, = \, - 2\,x \] \[ f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \] |
| \( \qquad\quad \underline{x_2 = -1} \, \): | \( \quad \) |
\( f''(-1) \, = \, - 2 \cdot (-1) \, = \, 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = -1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \) |
- \[ \; f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \]
Steg 4 Beräkna de lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:
- \[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
- \[ f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \; \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
- \[ f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad\; (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
b) Största och minsta värden: Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, 1 \, \) och \( \, 7 \) och
- jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:
- \[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
- \[ f(1) \, = \, 1^3 - 12\cdot 1^2 + 45\cdot 1 - 44 = -10 \]
- \[ f(7) \, = \, 7^3 - 12\cdot 7^2 + 45\cdot 7 - 44 = 26 \]
- Lokala minimivärdet var \( \, 6 \, \), se a), steg 4.
- \[ -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} \]
- Lokala maximivärdet var \( \, 10 \, \), se a), steg 4.
- \[ 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} \]
- De globala extremvärdena \( \, -10 \, \) och \( \, 26 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter
- därför att intervallet \( \, 1 \leq x \leq 7 \, \) är slutet, dvs ändarna tillhör intervallet.
