Skillnad mellan versioner av "2.3 Fördjupning till Gränsvärde"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 3: Rad 3:
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.3 Övningar till Gränsvärde|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.3 Övningar till Gränsvärde|Övningar]]}}
−
{{Selected tab|[[2.3 Fördjupning till Gränsvärde|Fördjupning]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.3 Fördjupning till Gränsvärde|Fördjupning]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
Rad 14: Rad 14:
  
 
<big>
 
<big>
−
=== <b><span style="color:#931136">Existens av gränsvärden</span></b> ===
+
Vårt mål i detta kapitel är att definiera begreppet <b><span style="color:red">derivata</span></b>. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först veta vad gränsvärde är för något.
  
−
I exemplet till [[2.3_Gränsvärde#Gr.C3.A4nsv.C3.A4rde_f.C3.B6r_en_funktion|<b><span style="color:blue">Gränsvärde för en funktion</span></b>]] bestämdes gränsvärdet <math> \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, </math> till <math> \, 0 \, </math> utan att fråga om den överhuvudtaget ''existerade''. Själva bestämmandet av gränsvärdet <math> \, 0 \, </math> bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde ''inte'' existerar och därför inte heller kan bestämmas.
+
Förutsättning i detta avsnitt är att alla funktioner <math> \, y = f(x) \, </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">kontinuerliga</span></b>]] för alla <math> \, x \, </math> av det betraktade området.
  
−
Som exempel tar vi samma funktion som ovan, men betraktar inte längre <math> \, x \to \infty \, </math> utan <math> \, \color{Red} {x \to 2} \, </math>:
+
 
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel på gränsvärde</span></b></big> <!-- &nbsp; <b>Uppgift 3438 (3c-boken, sid 190):</b> -->
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td><div class="ovnE0">
 +
En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten
 +
 
 +
<math> \qquad\quad\;\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div>
 +
 
 +
där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. Finns det en maximal hastighet
 +
 
 +
<math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan överskrida?
 +
</div>
 +
 
 +
<b>Grafisk och fysikalisk tolkning:</b>
 +
 
 +
Grafen till <math> \, v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet <math> \, v_{max} = 80 </math> m/s <math> \;\; </math>
 +
</td>
 +
  <td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
som hopparen inte kan överskrida<span style="color:black">:</span> <math> \, v <  v_{max} </math>. Efter ca. 40 sek är <math> v \, \approx \, v_{max} \, </math> då hastigheten blir konstant <math> \, \approx 80 </math> m/s.
 +
 
 +
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>] är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> när ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet (och omvänt).
 +
 
 +
Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \qquad </math> dvs <math> \qquad </math> rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.
 +
 
 +
<b>Matematisk lösning:</b>
 +
 
 +
<div class="border-divblue"><math> </math><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>,&nbsp; då <math> \,t \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp; <b><span style="color:red">är <math> \, 80</math></span></b>&nbsp; .
 +
 
 +
Man skriver<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} {\color{Red} { \; = \; 80}} \qquad </math> och läser<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
<math> \qquad\;\; </math> Limes av <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>, då <math> t </math> går mot <math> \infty \, </math>, är <math> 80 </math>.
 +
 
 +
<math> {\color{Red} {\lim}} \, </math> står för det latinska ordet <math> \, {\color{Red} {\rm limes}} \, </math> som betyder gräns.
 +
</div>
 +
 
 +
<b>Limes kan beräknas:</b>
 +
 
 +
<math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, 80 \, </math>,
 +
 
 +
eftersom <math> \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.
 +
 
 +
=== <b><span style="color:#931136">Gränsvärde för en funktion</span></b> ===
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på att gränsvärde saknas</span></b> ====
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ====
  
−
Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad </math> <b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to 2 \; </math>?</span></b>
+
Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad </math> <b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to \infty \; </math>?</span></b>
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>Dvs bestäm <math> \qquad\quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} </math>
+
   <td><math> \quad </math>[[Image: Ex 1 Gransvarde.jpg]]</td>
 +
<td><math> \quad </math></td>
 +
  <td><div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, </math>,&nbsp; då <math> \,x \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp;  <b><span style="color:red">är <math> \, 0</math></span></b> &nbsp;<span style="color:black">:</span>
  
−
'''Svar:''' <math> \quad\;\; f(x)\, </math> är inte definierad för <math> x = 2\, </math>.
 
  
−
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow </math>
+
<math> \quad\qquad\qquad\qquad\, \displaystyle {\color{Red} {\lim_{x \to \infty}}}\,{10 \over x\,-\,2} {\color{Red} { \; = \; 0}} </math>
 +
</div>
  
−
<div class="border-divblue"><math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad </math> <b>existerar inte</b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<span style="color:black">:</span>
 
  
 +
'''Grafiskt''':&nbsp; Kurvan närmar sig <math> \, x </math>-axeln när <math> \, x \, </math> växer, dvs <math> \, y\, </math> blir allt mindre ju större <math> \, x \, </math> blir.
  
−
<math> \qquad </math> <b><span style="color:red">Gränsvärde saknas.</span></b>
+
Men kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Funktionen går mot <math> \, 0\, </math> utan att nå <math> \, 0 </math>.
−
</div>
+
 
</td>
 
</td>
−
  <td><math> \qquad </math></td>
 
−
  <td>[[Image: Ex 2 Gransvarde.jpg]]</td>
 
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
'''Analytiskt''':&nbsp; Ekvationen <math> \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, = \, 0 \, </math> saknar lösning, därför att täljaren <math> \, 10\, </math> är en konstant som aldrig kan bli <math> \, 0 </math>. Så kan inte heller hela uttrycket i vänsterled bli <math> \, 0 \, </math> oavsett <math> \, x </math>. Nämnaren växer däremot obegränsat när <math> \, x \, </math> växer. Därför går hela uttrycket i vänsterled mot <math> \, 0 </math>.
  
−
Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten <math> \, x = 2 </math>.
+
Man säger<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; {\rm går\;mot} \, 0 \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \, </math>, kort<span style="color:black">:</span> <math> \;\; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \;\; </math>, bättre uttryckt<span style="color:black">:</span> <math> \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, = \, 0} \, </math>.
  
−
Funktionen <math> \, f(x)\, </math> är inte definierad för <math> \, x = 2 \, </math>, för <math> \displaystyle{10 \over x\,-\,2} </math>:s nämnare blir <math> \, 0\, </math> för <math> \, x = 2 </math>.
+
<b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to - \infty \; </math>?</span></b>
  
−
Dessutom finns det två olika resultat beroende på om <math> \, x </math> går mot <math> \, 2 </math> från höger eller från vänster<span style="color:black">:</span>  
+
Något liknande visas när <math> \, x \, </math> går mot negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: &nbsp; <math> \,y\, </math> mot <math> \,0\, </math> bara att <math> \, y\, </math> nu närmar sig <math> \, 0 \, </math> nedifrån, kort<span style="color:black">:</span> <math> \;\; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}} \; </math>.
 +
</div>
  
−
<math> f(x)\, </math> går mot <math> +\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från höger och mot <math> -\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från vänster. Med pilar<span style="color:black">:</span>
 
  
−
<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ </math>
+
"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig <math> \, 0 \, </math> utan att någonsin bli <math> \, 0 </math>, löses upp och kan därmed hanteras analytiskt med hjälp av <b><span style="color:red">limes</span></b> som generellt beskriver fenomenet att närma sig ett värde allt mer utan att nå det någonsin.
  
−
<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad\; y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- </math>
+
Limesbegreppet är centralt inom <b><span style="color:red">Analys</span></b><math>-</math> den gren av matematiken som [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton <b><span style="color:blue">Newton</span></b>] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz <b><span style="color:blue">Leibniz</span></b>] på 1700-talet la grunden till, även kallad <b><span style="color:red">Differential- och Integralkalkyl</span></b>, på engelska <b><span style="color:red">Calculus</span></b>. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".
  
−
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
+
I detta kapitel kommer vi att använda limes för att definiera derivatan analytiskt som ett gränsvärde. För att kunna göra det måste vi lära oss att <b><span style="color:red">beräkna</span></b> gränsvärden.
−
</div>
+
</big>
  
  
−
Följande modifierad variant av [[2.3_Gränsvärde#Exempel_2|<b><span style="color:blue">Exempel 2</span></b>]] (<math> \, {\color{Red} {x \to 0}} \, </math> istället för <math> \, x \to \infty </math>) visar samma sak:
+
== <b><span style="color:#931136">Beräkning av gränsvärden</span></b> ==
 +
 
 +
<big>
 +
I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.
 +
 
 +
Därför måste man först <b><span style="color:red">förenkla uttrycket</span></b>, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket.
 
</big>
 
</big>
  
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ====
  
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 a</span></b> ====
+
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} </math>
  
−
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
+
<b>Lösning:</b>
 +
 
 +
För <math> \, x = 0 \, </math> är uttrycket <math> \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, </math> inte definierat därför att nämnaren blir <math> \, 0 </math>.
 +
 
 +
Därför måste vi förenkla uttrycket.
 +
 
 +
Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.
 +
 
 +
Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:
 +
 
 +
::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 </math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ====
 +
 
 +
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
  
 
<b>Lösning:</b>
 
<b>Lösning:</b>
  
−
::<math> \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty </math>
+
Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan i uttrycket:
  
−
::<math> \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty </math>
+
::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>
  
−
där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>).
+
<math> \displaystyle{5 \over x} </math> går mot <math> 0 </math><span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>
  
−
<b>Anmärkning:</b> Sättet att skriva limes som ovan förklaras nedan i [[2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde#Ensidiga_och_oegentliga_gr.C3.A4nsv.C3.A4rden|<b><span style="color:blue">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b>]].
+
Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
  
−
<b>Svar:</b> <math> \qquad\;\; </math> Gränsvärde saknas.
+
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, </math>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<big>
+
<div class="ovnE">
−
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} </math> för <math> \, x = 0 </math>, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord: 
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ====
  
 +
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} </math>
  
−
<div class="border-divblue">Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.</div>
+
<b>Lösning:</b>
  
 +
Insättningen av <math> \, x = 2 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>.
  
−
Därför är det matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; </math> och <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \;</math> existerar inte.  
+
Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.
−
</big>
+
  
 +
Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
  
−
<div class="ovnA">
+
::<math> x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) </math>
−
=== <b><span style="color:#931136">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b> ===
+
  
−
Skiljer man närmandet från höger till <math> \, x = 2 \, </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. <b><span style="color:red">ensidiga gränsvärden</span></b>:
+
::<math> 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) </math>
  
−
:::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math>
+
Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
  
−
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
+
::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 </math>
 +
</div>
  
−
Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>, därav beteckningen <b><span style="color:red">ensidig</span></b>. I vårt exempel ger de också två olika resultat.
 
  
−
Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man <b><span style="color:red">oegentliga gränsvärden</span></b>.
+
<div class="ovnC">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ====
  
−
<div class="exempel">
+
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} </math>
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ====
+
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
  <td>
+
  
−
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty </math>  
+
<b>Lösning:</b>
  
 +
Insättningen av <math> \, x = 3 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>.
  
−
Grafen visar att funktionen <math> \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} </math> går mot <math> +\,\infty </math> både
+
För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:
  
−
när <math> \, x \to 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och från vänster (<math> \, x < 0 </math>). Visserligen
+
::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>
  
−
är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför <b><span style="color:red">oegentligt</span></b>. 
+
<math>p</math>-<math> q</math>-formeln kan användas, men enligt [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math> (går snabbare) <span style="color:black">:</span>
  
 +
::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-1) = 1  \\
 +
                      x_1 \cdot x_2 & = - 6
 +
          \end{align}</math>
  
−
Däremot är <math> \displaystyle \lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2} </math> varken entydigt eller ändligt. Därför existerar det inte.
+
Två tal vars produkt är <math> \, -6 \, </math> är t.ex. <math> \, 3 \, </math> och <math> \, -2 </math>. Men även deras summa är <math> \, 1 </math>. Därför:
−
</td>
+
−
  <td><math> \qquad </math></td>
+
−
  <td>[[Image: y = 1 genom x^2.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>  
+
  
−
Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar, är det o.k.
+
::<math> \begin{align} x_1 & = 3  \\
 +
                      x_2 & = - 2
 +
          \end{align}</math>
  
−
OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande <b><span style="color:red">inte</span></b> att <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; </math> eller <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \; </math> <b><span style="color:red">existerar</span></b>.
+
Täljarens faktorisering blir då:
 +
 
 +
::<math> x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) </math>
 +
 
 +
Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
 +
 
 +
::<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 </math>
 
</div>
 
</div>
  
  
 +
<div class="ovnC">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ====
 +
 +
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} </math>
 +
 +
<b>Lösning:</b>
 +
 +
För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta <math> \,x</math>-potensen, nämligen med <math> \,x^3 </math>:
 +
 +
::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} </math>
 +
 +
 +
För att förenkla sista uttrycket använder vi:
 +
 +
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 </math>
 +
 +
Insatt i det sista uttrycket blir det:
 +
 +
::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} </math>
 +
</div>
 +
 +
 +
<div class="ovnA">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ====
 +
 +
Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; </math>.
 +
 +
<b>Lösning:</b>
 +
 +
::<math> f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} </math>
 +
 +
::<math> f(2) \, = \, 2\,^2  \, = \, {\color{Blue} 4} </math>
 +
 +
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = </math>
 +
 +
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) =  4 </math>
 +
</div>
 +
 +
 +
<div class="ovnA">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 7</span></b> ====
 +
 +
Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; </math>.
 +
 +
<b>Lösning:</b>
 +
 +
Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, h \, </math> kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i <math> \, x </math>.
 +
 +
<math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, </math> innebär att gränsvärdet ska bildas för <math> \, {\color{Red} {h \to 0}} </math>. Därför borde <math> \, x\, </math> under gränsprocessen anses som en konstant.
 +
 +
::<math> {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} </math>
 +
 +
::<math> {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} </math>
 +
 +
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
 +
 +
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  \boxed{2\,x} </math>
 +
 +
Observera att <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ovan är ett specialfall av detta exempel för <math> x = 2 \, </math>.
 +
 +
Jämför även med förra avsnittets [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_2_Kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
 +
 +
<math> y \, = \, \boxed{2\,x} \, </math> är derivatan av <math> \, y \, = \, x^2 \, </math>, se [[2.4_Derivatans_definition#Derivatan_som_en_ny_funktion|<b><span style="color:blue">derivatan som en ny funktion</span></b>]].
 
</div>
 
</div>
  

Versionen från 20 oktober 2017 kl. 00.59

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


Lektion 14 Gränsvärde

Vårt mål i detta kapitel är att definiera begreppet derivata. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först veta vad gränsvärde är för något.

Förutsättning i detta avsnitt är att alla funktioner \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerliga för alla \( \, x \, \) av det betraktade området.


Exempel på gränsvärde

En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten

\( \qquad\quad\;\;\; \)
\( v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \)

där \( \, t = \, \) tiden i sek. Finns det en maximal hastighet

\( \, v_{max} \, \) som hopparen inte kan överskrida?

Grafisk och fysikalisk tolkning:

Grafen till \( \, v(t) \, \) visar att det finns en maximal hastighet \( \, v_{max} = 80 \) m/s \( \;\; \)

5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg

som hopparen inte kan överskrida: \( \, v < v_{max} \). Efter ca. 40 sek är \( v \, \approx \, v_{max} \, \) då hastigheten blir konstant \( \, \approx 80 \) m/s.

Enligt Newtons fösta lag är summan av alla krafter \( \, = 0 \, \) när ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet (och omvänt).

Därav följer: \( \qquad \) Luftmotstånd \( \, \approx \, \) gravitation \( \qquad \) dvs \( \qquad \) rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.

Matematisk lösning:

\( \)Gränsvärdet  för \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \),  då \( \,t \, \) går mot \( \, \infty \; \),  är \( \, 80\)  .

Man skriver: \( \qquad \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} {\color{Red} { \; = \; 80}} \qquad \) och läser:

\( \qquad\;\; \) Limes av \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( t \) går mot \( \infty \, \), är \( 80 \).

\( {\color{Red} {\lim}} \, \) står för det latinska ordet \( \, {\color{Red} {\rm limes}} \, \) som betyder gräns.

Limes kan beräknas:

\( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, 80 \, \),

eftersom \( \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \).

Gränsvärde för en funktion

Exempel

Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to \infty \; \)?

\( \quad \)Ex 1 Gransvarde.jpg \( \quad \)
Gränsvärdet  för \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, \),  då \( \,x \, \) går mot \( \, \infty \; \),  är \( \, 0\)  :


\( \quad\qquad\qquad\qquad\, \displaystyle {\color{Red} {\lim_{x \to \infty}}}\,{10 \over x\,-\,2} {\color{Red} { \; = \; 0}} \)


Grafiskt:  Kurvan närmar sig \( \, x \)-axeln när \( \, x \, \) växer, dvs \( \, y\, \) blir allt mindre ju större \( \, x \, \) blir.

Men kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Funktionen går mot \( \, 0\, \) utan att nå \( \, 0 \).

Analytiskt:  Ekvationen \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, = \, 0 \, \) saknar lösning, därför att täljaren \( \, 10\, \) är en konstant som aldrig kan bli \( \, 0 \). Så kan inte heller hela uttrycket i vänsterled bli \( \, 0 \, \) oavsett \( \, x \). Nämnaren växer däremot obegränsat när \( \, x \, \) växer. Därför går hela uttrycket i vänsterled mot \( \, 0 \).

Man säger: \( \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; {\rm går\;mot} \, 0 \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \, \), kort: \( \;\; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \;\; \), bättre uttryckt: \( \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, = \, 0} \, \).

Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to - \infty \; \)?

Något liknande visas när \( \, x \, \) går mot negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \):   \( \,y\, \) mot \( \,0\, \) bara att \( \, y\, \) nu närmar sig \( \, 0 \, \) nedifrån, kort: \( \;\; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}} \; \).


"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig \( \, 0 \, \) utan att någonsin bli \( \, 0 \), löses upp och kan därmed hanteras analytiskt med hjälp av limes som generellt beskriver fenomenet att närma sig ett värde allt mer utan att nå det någonsin.

Limesbegreppet är centralt inom Analys\(-\) den gren av matematiken som Newton och Leibniz på 1700-talet la grunden till, även kallad Differential- och Integralkalkyl, på engelska Calculus. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".

I detta kapitel kommer vi att använda limes för att definiera derivatan analytiskt som ett gränsvärde. För att kunna göra det måste vi lära oss att beräkna gränsvärden.


Beräkning av gränsvärden

I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som \( \,x \, \) ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.

Därför måste man först förenkla uttrycket, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket.


Exempel 1

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)

Lösning:

För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat därför att nämnaren blir \( \, 0 \).

Därför måste vi förenkla uttrycket.

Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]


Exempel 2

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)

Lösning:

Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan i uttrycket:

\[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]

\( \displaystyle{5 \over x} \) går mot \( 0 \): \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \)

Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]


Exempel 3

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).

Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]
\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 \]


Exempel 4

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).

För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]

\(p\)-\( q\)-formeln kan användas, men enligt Vieta gäller för lösningarna \( \, x_1\,\) och \( \, x_2 \, \) (går snabbare) :

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Två tal vars produkt är \( \, -6 \, \) är t.ex. \( \, 3 \, \) och \( \, -2 \). Men även deras summa är \( \, 1 \). Därför:

\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]

Täljarens faktorisering blir då:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:

\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]


Exempel 5

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)

Lösning:

För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]


För att förenkla sista uttrycket använder vi:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]

Insatt i det sista uttrycket blir det:

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]


Exempel 6

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given.   Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).

Lösning:

\[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]
\[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]
\[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]
\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]


Exempel 7

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given.   Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).

Lösning:

Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( \, x \).

\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.

\[ {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]
\[ {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]
\[ \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]
\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = \boxed{2\,x} \]

Observera att Exempel 6 ovan är ett specialfall av detta exempel för \( x = 2 \, \).

Jämför även med förra avsnittets Exempel 2 Kvadratisk funktion:

\( y \, = \, \boxed{2\,x} \, \) är derivatan av \( \, y \, = \, x^2 \, \), se derivatan som en ny funktion.


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0 </big>






Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde&oldid=34531"