Skillnad mellan versioner av "1.2 Lösning 1a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
Rad 1: Rad 1:
−
----
+
Maries bana följer en parabel eftersom den beskrivs av 2:a gradspolynomfunktionen:
−
 
+
−
 
+
−
<b>b)</b> &nbsp; Tittar man på Maries bana kan man se att höjden <math> \, y \, </math> är <math> \, 10 \, </math> när tiden <math> \, x \, </math> är <math> \, 0 </math>:
+
  
 
:::<math> y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 </math>
 
:::<math> y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 </math>
  
−
Eftersom både höjden och tiden är positiva kommer banan stanna i koordinatsystemets första kvadrant. Därför är det lämpligt att välja för både <math> \, x</math>- och <math> \, y</math>-axelns min-värdet <math> \, 0 </math>.
+
Eftersom den kvadratiska termen har negativ koefficient är grafen en parabel som är öppen nedåt och har därmed ett maximum. Parabler är alltid symmetriska kring symmetrilinjen som går genom maximipunkten. Så för hitta maximipunkten måste vi ställa upp symmetrilinjens ekvation. Det in sin tur kräver att vi skriver 2:a gradspolynomekvationen ovan i normalform, dvs så att koefficienten till den kvadratiska termen blir <math> \, 1 </math>. Därför:
−
 
+
−
Eftersom Marie enligt <b>a)</b> når en maximalhöjd på <math> \, 10,8 </math> m kan man välja ett lite större max-värde på <math> \, y</math>-axeln, säg <math> \, 12 </math>. Om <math> \, x</math>-axeln vet vi bara att symmetrilinjen går genom <math> \, x = 0,4 \, </math>. Om hon efter <math> \, 0,4 </math> sek når sin maximala höjd gissar vi att hon slår i vattnet kanske innan <math> \, 2 </math> sek. Därför:
+
  
−
:::<math> x_{min}\, = 0 </math>
+
:::<math>\begin{align} - 5\,x^2 + 4\,x + 10 & = 0   & | \;\; / (-5) \\
 +
                          x^2 - 0,8\,x - 2 & = 0                     
 +
  \end{align}</math>
  
−
:::<math> x_{max}\, = 2 </math>
+
Detta är normalformen med <math> p = -0,8\, </math>. Formeln för symmetrilinjens ekvation är:
  
−
:::<math> y_{min}\, = 0 </math>
+
:::<math> x = -{p \over 2} </math>
  
−
:::<math> y_{max}\, = 12 </math>
+
Därmed blir symmetrilinjens ekvation:
  
−
Pga de lite annorlunda storleksordningar på <math> \, x</math>- och <math> \, y</math>-axeln är det kanske lämpligt att välja skalan <math> \, 1 \, </math> på <math> \, x</math>- och <math> \, 10 \, </math> på <math> \, y</math>-axeln:
+
:::<math> x = -{-0,8 \over 2} = 0,4 </math>
  
−
:::<math> x_{scl}\, = 1 </math>
+
Maximipunkten har alltså koordinaterna:
  
−
:::<math> y_{scl}\, = 10 </math>
+
:::<math>\begin{align} x & = 0,4                                                      \\
 +
                      y & = (- 5) \cdot 0,4\,^2 + 4 \cdot 0,4  + 10 = 10,8                     
 +
  \end{align}</math>
  
−
Alla dessa värden är inte exakta och kan variera lite beroende på räknarens typ.
+
Maries maximala höjd blir <math> \underline{10,8\,\,{\rm m}}</math>.

Nuvarande version från 17 augusti 2018 kl. 16.06

Maries bana följer en parabel eftersom den beskrivs av 2:a gradspolynomfunktionen:

\[ y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 \]

Eftersom den kvadratiska termen har negativ koefficient är grafen en parabel som är öppen nedåt och har därmed ett maximum. Parabler är alltid symmetriska kring symmetrilinjen som går genom maximipunkten. Så för hitta maximipunkten måste vi ställa upp symmetrilinjens ekvation. Det in sin tur kräver att vi skriver 2:a gradspolynomekvationen ovan i normalform, dvs så att koefficienten till den kvadratiska termen blir \( \, 1 \). Därför:

\[\begin{align} - 5\,x^2 + 4\,x + 10 & = 0 & | \;\; / (-5) \\ x^2 - 0,8\,x - 2 & = 0 \end{align}\]

Detta är normalformen med \( p = -0,8\, \). Formeln för symmetrilinjens ekvation är:

\[ x = -{p \over 2} \]

Därmed blir symmetrilinjens ekvation:

\[ x = -{-0,8 \over 2} = 0,4 \]

Maximipunkten har alltså koordinaterna:

\[\begin{align} x & = 0,4 \\ y & = (- 5) \cdot 0,4\,^2 + 4 \cdot 0,4 + 10 = 10,8 \end{align}\]

Maries maximala höjd blir \( \underline{10,8\,\,{\rm m}}\).

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.2_Lösning_1a&oldid=35699"