Skillnad mellan versioner av "1.4 Talet e och den naturliga logaritmen"

Versionen från 20 mars 2011 kl. 06.16

Lektion 11 Den naturliga logaritmen

Talet e

En av matematikens mest kända konstanter är talet e, även kallat Eulers tal efter den schweiziske matematikern Leonard Euler som på 1700-talet presenterade formler för detta märkliga tal. Märkligt, därför att e inte ett rationellt tal, dvs inte kan skrivas som ett bråk (kvot mellan två heltal), precis som \( \pi,\, \sqrt{2},\, \cdots \). Sådana tal kallas irrationella. Anledningen till att de inte kan skrivas som kvoter mellan två heltal är att de har oändligt många decimaler utan något som helst mönster som upprepas (period). Det kan man själv övertyga sig om genom att på Internet beskåda de första 5 miljoner olika decimaler av talet e.

En av de mest uppmärksammade förekomsterna av talet e är en formel som enligt många är en av matematikens vackraste formlerna, nämligen sambandet mellan heltalet \( 1\, \) och de irrationella talen \( e,\;\pi \) och den s.k. imaginära eneheten \( i\, \) som är symbolen för det (för oss) oberäknebara "talet" \( \sqrt{-1} \):

\[ e^{\,2\,\pi\,i} \; = \; 1 \]

Men hur kan vi själva beräkna talet e? Det enklaste sättet är att ta fram en räknare, leta efter funktionen \( e^x\, \) och mata in \( e\,\)^\((1)\, \) dvs beräkna \( e^1\, \) för att få ett närmevärde för talet e. Om man nöjer sig med detta är det o.k. Men om man vill veta lite närmare hur detta närmevärde kommer till, kan man använda en av de formler Eulers har bevisat:

\[ \left(1 + {1 \over x}\right)^x \to e \] när \( x \to \infty \)

Detta betyder att uttrycket ovan närmar sig talet e allt mer ju större värden \( x\, \) antar. Dvs uttrycket går mot e när \( x\, \) går mot oändligheten (\( \infty \)). Tabellen nedan visar denna process:

\( x\, \)	\( \left(1 + {1 \over x}\right)^x \)
\( 1\,000 \)	\( {\color{Red} 2,71}6923932\cdots \)
\( 10\,000 \)	\( {\color{Red} 2,718}145927\cdots \)
\( 100\,000 \)	\( {\color{Red} 2,7182}68237\cdots \)
\( 1000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,71828}0469\cdots \)
\( 10\,000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,718281}693\cdots \)
\( 100\,000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,7182818}15\cdots \)
\( 1000\,000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,71828182}7\cdots \)
\( 10\,000\,000\,000 \)	\( {\color{Red} 2,718281828}\cdots \)

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur långsam konvergensen är. Det finns andra, mer avancerade formler som konvergerar snabbare. Så, i fortsättningen när vi räknar med talet e nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

\[ e \; = \; 2,718281828\cdots \]

Exponentialfunktionen med basen e

Ibland även kallad den (naturliga) exponentialfunktionen. Hittills har vi pratat om exponentialfunktioner, dvs i pluralis därför att det beror på vilken bas man väljer. Men nu när vi känner till talet e ställer vi upp exponentialfunktionen med basen e:

\[ y \; = \; e\,^x \]

När matematiker pratar om den exponentialfunktionen utan att specificiera basen menar de denna exponentialfunktion med basen e. Att basen e har en

Den naturliga logaritmen

Fil:Den naturliga logaritmen.jpg

Internetlänkar

http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar

Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.